viernes, 29 de abril de 2016

961. El teorema de Varignon. RESOLUCIÓN

    En un examen de Geometría propuse que demostraran el teorema de Varignon. El enunciado afirmaba que los puntos medios de los lados de un cuadrilátero son vértices de un paralelogramo. Pepe Chapuzas pidió permiso para usar tijeras y cartulina. Recortó el cuadrilátero más irregular que pudo: un horrible trapezoide azul... Y ahí estaba esperando el paralelogramo, que también recortó: un precioso romboide rojo...
    Para la demostración se sirvió de las diagonales del trapezoide y, para rematar la faena, también demostró que el área del romboide era la mitad del área del trapezoide...

    Rehaz las demostraciones de Pepe y me las envías por correo electrónico.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla no dio una demostración del teorema... Dio dos.

    Primera demostración. Si A, B, C y D son los vértices del cuadrilátero y E, F, G y H los puntos medios de sus lados tal como se muestra en la figura, para demostrar que E, F, G y H determinan un paralelogramo bastaría con probar que los vectores EF y HG son equipolentes. Si O es el origen del sistema de referencia, entonces EF = OF – OE = (OC + OB)/2 – (OA + OB)/2 = (OC – OA)/2 = (OC + OD)/2 – (OA + OD)/2 = OG – OH = HG.
    Segunda demostración: Si trazamos la diagonal AC, entonces como E es el punto medio de AB y F es el punto medio de EF, los triángulos ABC y EBF son semejantes y EF // AC. Del mismo modo se deduce que HG // AC, EH // BD y FG // BD, por lo que EF // HG y EH // FG, y EFGH es un paralelogramo.

    Te toca rematar la faena con la cuestión del área.

    Demuestra además que para un deltaedro ABCD, el paralelogramo EFGH es un rectángulo.

RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Las diagonales determinan en el cuadrilátero cuatro triángulos y en cada uno de ellos el área roja es igual al área azul... Pero si el cuadrilátero es cóncavo y una de las diagonales es exterior, entonces el cuadrilátero no es la suma de los triángulos sino suma y resta de ellos, el razonamiento sigue siendo el mismo pero en el dibujo se ve mucho peor...

    Si el cuadrilátero es un deltoide, las diagonales son perpendiculares y el paralelogramo será un rectángulo. Si el cuadrilátero es un trapecio isósceles, las diagonales son iguales y el paralelogramo será un rombo...

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