jueves, 28 de abril de 2016

956. El teorema de la bisectriz. RESOLUCIÓN

    Mandé un trabajo de búsqueda. Había que buscar el enunciado y una demostración de un teorema clásico de geometría: el teorema de la bisectriz. Aquí os dejo el dibujo que hizo Pepe Chapuzas para ilustrar el teorema.
    A partir del dibujo redacta un enunciado del teorema y proporciona una demostración. Hay muchas formas de hacerlo.

SOLUCIÓN

    He aquí en enunciado y la demostración que aportó Nina Guindilla.

    TEOREMA DE LA BISECTRIZ
    Enunciado: La bisectriz de un ángulo de un triángulo corta al lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los lados contiguos.

    Demostración: A partir del teorema de los senos, a/senα = c/senθ y b/senβ = d/senθ. Como α y β son suplementarios, senα = senβ, y dividiendo las igualdades desaparecen todos los senos y nos queda a/b = c/d, o lo que es lo mismo, ad – bc = 0.

    Demuestra el teorema de la bisectriz sin utilizar el teorema de los senos.
 
RESOLUCIÓN
    Observe, profe, cómo la bisectriz divide al triángulo en los dos triángulos amarillo y rosado. Sean A y R las áreas de los triángulos amarillo y rosado respectivamente... Observe ahora el segmento verde: es una altura del triángulo amarillo y también es una altura del triángulo rosado, por lo tanto c/d = A/R. Observe ahora los segmentos rojo y azul, son alturas de los triángulos amarillo y rosa respectivamente, y son iguales porque los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo... por lo tanto a/b = A/R. ¡Ya está!
 
    Ya habéis oído a Yoyó Peluso... ¡Ya está!

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