miércoles, 13 de abril de 2016

897. Empieza la función... RESOLUCIÓN

    Lo último que habíamos explicado en clase era el concepto de función. Pedí a mis alumnos que buscaran ejemplos e inventaran ejercicios con esos ejemplos... Esta fue la propuesta de Pepe Chapuzas:

    Profe, mire. Sean  f  la función que aplicada a un número natural nos devuelve la suma de sus dígitos pares y  g  la que nos devuelve la suma de sus dígitos impares. Por ejemplo f(45923)=4+2=6 y g(45923)=5+9+3=17. El ejercicio es el siguiente...
SOLUCIÓN
 
    Profe, mire. "Solo" hay que sumar las cifras pares y las cifras impares de todos los naturales hasta mil. "Solo" hay que averiguar cuántos unos hay, cuántos doses, cuántos treses, cuántos cuatros, etc. Se me ocurre una idea: como los ceros no influyen en la suma puedo considerar las variaciones con repetición de 10 elementos tomados de 3 en 3. El 7 sería 007 y así estarían todos los números menos el último (1000). La cifra 8 aparecería 100 veces como centena, 100 veces como decena y 100 veces como unidad, o sea, 300 veces. Eso mismo le ocurre a las demás cifras. (El 1 aparecería una vez como unidad de millar.) Por lo tanto la suma de las cifras pares sería (2+4+6+8)·300 = 20·300 = 6000 y la suma de las cifras impares (1+3+5+7+9)·300+1 = 25·300+1 = 7501.
 
    ¡Bravo por Nina Guindilla! (Aunque lo de las variaciones con repetición sobraba.)
    ¿Para cuántos números naturales N menores que 1000 se cumple que g(g(N))=2?
 
RESOLUCIÓN
 
    Mire, profe. Si N está acotado entre 1 y 1000, entonces g(N) está acotado entre 0 y 27. (El valor máximo se alcanza en g(999)=27.) Si g(g(N))=2, entonces g(N)=11 porque 11 es el único número entre 0 y 27 cuya suma de cifras impares es 2. Si g(N)=11, el número N tiene 3 cifras impares, ¿verdad? En total hay quince posibilidades:
 
119, 137, 155, 173, 191, 317, 335, 353, 371, 515, 533, 551, 713, 731 y 911.
 
    Yoyó Peluso no deja escapar ningún positivo...

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