jueves, 28 de abril de 2016

946. Un cuadrado perfecto. RESOLUCIÓN

    Un día llegué a clase comentando que había encontrado un número natural de dos cifras muy interesante. Resultaba que si a ese número le sumábamos el que se obtenía permutando las cifras, entonces la suma era un cuadrado perfecto.
    Reté a mi clase para que encontraran ese número... Entonces saltó Pepe Chapuzas:

    Profe, ¿le damos las ocho soluciones o basta con una?

    Bueno... Después de la intervención de Pepe tendrás que buscar las ocho soluciones...

SOLUCIÓN

    Mire, profe. "AB+BA" es en realidad 10A+B+10B+A = 11(A+B). Por lo tanto, el cuadrado perfecto es un múltiplo de 11. En realidad, solo puede ser 112=121 y por lo tanto A+B = 11. Hay efectivamente ocho soluciones: 29+92, 38+83, 47+74, 56+65, 65+56, 74+47, 83+38 y 92+29.

    Después de dar la solución Nina Guindilla propuso el siguiente reto:
    Si a un número de dos cifras le restamos el que se obtiene al permutar sus cifras, entonces la resta es un número triangular...

    Resuelve este reto teniendo en cuenta que hay nueve soluciones.

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso dio con las nueve soluciones...

    Mire, profe: 10A+B–10B–A = 9A–9B = 9(A–B) = N(N–1)/2, por lo tanto A–B = 4 o 5. Las soluciones son 51–15, 62–26, 73–37, 84–48 y 95–59 (donde el número triangular es 9·8 = 36), y 61–16, 72–27, 83–38 y 94–49 (donde el número triangular es 10·9/2 = 45).

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