martes, 5 de abril de 2016

875. Inscrito y circunscrito. RESOLUCIÓN

    En un examen de Trigonometría se pedía calcular el área de un triángulo. Pero Pepe Chapuzas la calculó sin usar las razones trigonométricas. Utilizó para ello la fórmula de Herón y eso que no la habíamos visto en clase... (El enunciado está en negro y la respuesta de Pepe en azul).
    Le pregunté a Pepe por la fórmula y la respuesta fue sorprendente...

    La fórmula de Herón es el límite cuando d tiende a 0 de la fórmula de Brahmagupta. Me explico. La fórmula de Brahmagupta nos da el área de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia a partir de sus cuatro lados, a, b, c y d. Si el lado d fuera tan diminuto como un punto, tendríamos un triángulo (que siempre está inscrito en su circunferencia circunscrita) y la fórmula se convierte en la de Herón. ¿Lo ve?
    Visto de esa manera Pepe tenía razón, pero aún quedaba otra sorpresa...

    Profe, mire. Hay cuadriláteros inscritos en una circunferencia y circunscritos en otra. (El cuadrado sería uno de ellos). Pues resulta que, para estos cuadriláteros, la fórmula de Brahmagupta se simplifica...
    Demuestra esta última fórmula.

SOLUCIÓN

    Mire, profe. En un cuadrilátero circunscrito en un círculo se cumple que a+c=b+d. Esto se aprecia observando detenidamente esta figura... 
    Si a=e+f, b=f+g, c=g+h y d=h+e, entonces a+c = e+f+g+h = b+d. De este manera tenemos que s–a = (a+b+c+d)/2 – a = (a+c+a+c)/2 – a = (2a+2c)/2–a = a+c–a = c. De la misma manera se consigue s–b=d, s–c=a y s–d=b, de donde sale rápidamente la fórmula.  

    Detalla el razonamiento de Nina Guindilla...

    Hay un teorema interesantísimo sobre cuadriláteros inscritos en una circunferencia (cuadriláteros cíclicos)...
    Intenta o busca una demostración...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso demostró el teorema de Tolomeo a partir de identidades trigonométricas...
    Mire, profe. Sean A el ángulo azul, B el beige, C el castaño y D el verde. Si tomamos como unidad de longitud el diámetro de la circunferencia tenemos que:
a = senA, 
b = senB, 
c = senC, 
d = senD = sen(A+B+C), 
e = sen(B+C) y 
f = sen(A+B)
    Por un lado 
a·c+b·d = 
= senA·senC + senB·sen(A+B+C) = 
= senA·senC + senB · (senB·cos(A+C) + cosB·sen(A+C)).
= senA·senC + sen2B·(cosA·cosC–senA·cosC) + senB·cosB·sen(A+C) =
= senA·senC + sen2B·cosA·cosC – sen2B·senA·cosC + senB·cosB·sen(A+C) =
= cos2B·senA·senC + sen2B·cosA·cosC + senB·cosB·sen(A+C) .
    Por otro lado 
e·f = 
= sen(B+C)·sen(A+B) = 
= (senB·cosC+cosB·senC) · (senA·cosB+cosA·senB) =
= senB·cosC·senA·cosB + sen2B·cosC·cosA + cos2B·senC·senA + cosB·senC·cosA·senB =
= senB·cosB·(cosC·senA+senC·cosA) + sen2B·cosC·cosA + cos2B·senC·senA =
= senB·cosB·sen(A+C) + sen2B·cosC·cosA + cos2B·senC·senA .
    Con lo que queda demostrado.

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