miércoles, 23 de mayo de 2018

1533. Razón y sinrazón... (2ª parte). RESOLUCIÓN

    Los ángulos de un triángulo rectángulo están en progresión geométrica... Calcula la razón de dicha progresión...

    Este es el problema con que nos ha obsequiado Pepe Chapuzas para alegrarnos el día... Alégranos tú con la solución...

SOLUCIÓN

    A Nina Guindilla se le da bien alegrar el día con soluciones...

    Mire, profe. Podemos suponer que la razón  r  de la progresión es mayor que 1, por lo que en la progresión de los ángulos  a < ar < ar, el ángulo recto será  ar2 , y los ángulos agudos, que son complementarios, serán  a  y  ar . Esto es
r > 1
ar= 90º
a + ar = 90º
y por tanto
ar2 = ar + a
ar2 – ar – a = 0
que dividiendo entre  a
r2 – r – 1 = 0
r = (1+5) / 2 = φ = 1,618...

    ¡La razón de la progresión es la razón áurea!

    Calcula en forma compleja (grados, minutos y segundos) los ángulos agudos de este triángulo...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso realizó los cálculos...

    Mire, profe. Un ángulo será
90º / φ = 55,623059 = 55º 37' 23"
y el otro
90º – 55º 37' 23" = 34º 22' 37"

    Por supuesto, la solución no es exacta: Yoyó ha redondeado...

    El que esté interesado en triángulos rectángulos con lados en progresión geométrica puede visitar la entrada... 

1532. Razón y sinrazón... RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas ha retado a la clase:

    Los lados de un triángulo están en progresión geométrica de razón  r . ¿Qué valores puede tomar dicha razón  r ?

    ¡Gana el reto!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla razonó...

    Mire, profe. El lado mayor de un triángulo es menor que la suma de los otros dos...

    Si  r = 1  entonces los tres lados son iguales y el triángulo es equilátero... (Hay gente que opina que la razón de una progresión geométrica no puede ser 1, lo cual es una sinrazón.)

    Si  r > 1 , entonces  a < ar < ar. Y por lo tanto


a + ar > ar2
1 + r > r2
r2 – r – 1 < 0
1 < r < (1+5)/2 = φ

    La razón de la progresión tiene que ser menor que la razón áurea  φ = 1,618...


    Si  r < 1 , entonces  a > ar > ar. Y por lo tanto


a < ar + ar2
1 < r + r2
r2 + r – 1 > 0

 y con la fórmula de la solución de la ecuación cuadrática...

1 > r > (–1+5)/2 = 1/φ

    La razón de la progresión tiene que ser mayor que  1/φ = 0,618...

    Por lo tanto
1/φ < r < φ

    Y si en vez de un triángulo tuviéramos un cuadrilátero con lados en progresión geométrica... ¿Qué valores podría tomar la razón de dicha progresión?
    Y si fuera un polígono de  n  lados... ¿Quá valores podría tomar la razón si  n  tiende a infinito?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso tomó el relevo en el razonamiento...

    Mire, profe. Los lados del cuadrilátero serán a, ar, ar2 y ar3.
    Si r = 1 tenemos un cuadrado...
    Si r > 1, tenemos 
a < ar < ar2 < ar3
a + ar + ar2 > ar3
1 + r + r2 > r3
 r3 – r– r – 1 < 0

y con la fórmula de la solución de la ecuación cúbica...


    Si r < 1, podemos invertir el orden de los lados del cuadrilátero y la razón de la progresión sería entonces 1/r > 1, y por lo anterior

    Aproximadamente...
0,543689... < r < 1,839286...

    En el caso de un polígono de  n  lados...
    Si fuera r < 1, tendríamos
a > ar > ar2 > ar3 > ... > arn
a < ar + ar2 +...+ arn
1 < r + r2 +...+ rn

    Cuando n tiende a infinito...
1 < r / (1–r)
1–r < r
1 < 2r
r > 1/2
    Y si fuera r > 1, invirtiendo el orden...
1/r < 1
a > a/r > a/r2 > a/r3 > ... > a/rn
y por lo anterior
1/r > 1/2
r < 2
    Por tanto
0,5 < r < 2

lunes, 21 de mayo de 2018

1531. Explementarios. RESOLUCIÓN

    El reto de la semana era sencillo... Había que calcular el ángulo x. Pepe Chapuzas lo resolvió al instante...
    Mire, profe. La suma de tres ángulos internos de un cuadrilátero es igual al explementario del cuarto. De esta forma es muy fácil resolver el reto...  x = 22º + 33º + 44º = 99º

    ¿Qué significa explementario? Explica la solución de Pepe...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla explicó:

    Profe, mire. El ángulo de 0º se llama nulo,,, A partir de aquí...

    Los ángulos entre 0º y 90º se llaman agudos
        Dos ángulos agudos son complementarios si suman 90º. 
            El ángulo de 45º se llama inglete y es "autocomplementario" (45º+45º = 90º). 
                Los ángulos entre 90º y 180º se llaman obtusos.

    Los ángulos entre 0º y 180º se llaman convexos
        Dos ángulos convexos son suplementarios si suman 180º.
            El ángulo de 90º se llama recto es "autosuplementario" (90º+90º = 180º).
                Los ángulos entre 180º y 360º se llaman cóncavos.

    Los ángulos entre 0º y 360º se llaman propios.
        Dos ángulos son explementarios o conjugados si suman 360º.
            El ángulo de 180º se llama llano y es "autoexplementario" (180º+180º = 360º).
                Los ángulos entre 360º e infinito se llaman impropios...

    El ángulo de 360º, por último, se llama completo... 

    Nina ha clasificado los ángulos sin signo (no orientados). Los libros de texto hablan de complementarios y suplementarios, pero absurdamente omiten los explementarios... Nina añadió:

    El argumento de Pepe, por tanto, se puede decir de otra manera: la suma de los cuatro ángulos internos de un cuadrilátero es un ángulo completo.

    Y no terminó sin una pregunta:

    ¿Cuánto mide el explementario del suplementario del complementario de 55º?

    Parece un trabalenguas...

RESOLUCIÓN

    He aquí la respuesta de Yoyó Peluso:

    El complementario de 55º es 90º–55º = 35º.
    El suplementario de 35º es 180º–35º = 145º.
    El explementario de 145º es 360º–145º = 215º.

    Solo añadí que los ángulos explementarios también se denominan conjugados...

jueves, 17 de mayo de 2018

1530. Cuadriláteros ortodiagonales. RESOLUCIÓN

    Profe, mire. La fórmula del área del rombo...  A = D·d/2  se puede aplicar a todos los cuadriláteros ortodiagonales, esto es, a aquellos cuyas diagonales "D" y "d" son perpendiculares... (Está claro que los rombos son ortodiagonales...) El siguiente dibujo muestra lo que he dicho:
    Pepe Chapuzas ha abierto una vía de investigación... Buscad información acerca de los cuadriláteros ortodiagonales y ya nos contaréis...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla encontró un precioso teorema relacionado con los cuadriláteros ortodiagonales...

    Mire, profe. Si construimos un cuadrado sobre cada lado de un cuadrilátero ortodiagonal, entonces el área de dos cuadrados opuestos coincide con la de los otros dos... En el dibujo tendríamos  ÁREA AZUL = ÁREA NARANJA .

    Por supuesto, Nina traía una demostración...

    Mire, profe. Nombremos  P ,  Q ,  R  y  S  a los vértices del cuadrilátero y  T  a la intersección de las diagonales. Por el teorema de Pitágoras...


PS2 + RQ2= (PT2 + TS2) + (RT2 + TQ2) =

reordenando y de nuevo con Pitágoras...


= (PT2 + TQ2) + (RT2 + TS2) = PQ2 + RS2

que es lo que había que demostrar...

    Nina nos propone otro tema para investigar:

    Profe, mire. Se dice que un cuadrilátero es equidiagonal si sus diagonales tienen la misma longitud... ¡Buscad información!

RESOLUCIÓN

     Yoyó Peluso encontró un bonito teorema:

    Mire, profe. Este cuadrilátero es equidiagonal porque  |PR| = |QS| . Resulta que el área de un cuadrilátero equidiagonal es igual al producto de sus bimedianas. (Una bimediana de un cuadrilátero es el segmento que une los puntos medios de dos lados opuestos.) Si K, L, M y N son los puntos medios de los lados como se muestra en la figura, entonces...


A = |KM|·|LN|

    Además, las bimedianas de un cuadrilátero equidiagonal son perpendiculares...

    Veamos la demostración:

    Mire, profe. El cuadrilátero KLMN es el paralelogramo de Varignon del cuadrilátero PQRS. Los lados KL y MN son paralelos a la diagonal PR y los lados LM y NK son paralelos a la diagonal QS. Como...
|KL| = |MN| = |PR|/2 = |QS|/2 = |LM| = |NK|

...el paralelogramo KLMN es un rombo y KM y LN son sus diagonales, lo que asegura su perpendicularidad... Y como el área de un cuadrilátero es el doble del área de su paralelogramo de Varignon...


A = 2·|KM|·|LN|/2 = |KM|·|LN|

    Yoyó terminó con el siguiente comentario...

    Mire, profe. Si un cuadrilátero es ortodiagonal y equidiagonal a la vez, entonces su paralelogramo de Varignon es un cuadrado...

martes, 8 de mayo de 2018

1529. Puntos comunes... RESOLUCIÓN

    Había planteado tres cuestiones no tan inocentes como aparentaban...

    ¿Cuántos puntos comunes tienen dos rectas (no coincidentes)?
    ¿Cuántos puntos comunes tienen una recta y una circunferencia?
    ¿Cuántos puntos comunes tienen dos circunferencias (no coincidentes)?

    Pepe Chapuzas nos habló de las intersecciones...

    Mire, profe. 
    Dos rectas no tienen intersección si son paralelas, en caso contrario son secantes y tienen un punto de corte.
    Un punto y una recta pueden tener 0, 1 o 2 puntos de intersección según su posición relativa y se denominan exteriores, tangentes o secantes respectivamente.

    Exactamente lo mismo podemos decir de dos circunferencias: pueden tener 0, 1 o 2 puntos comunes...

    Le contesté a Pepe que su respuesta era demasiado... "trivial". La respuesta que se pedía dependía del "medio ambiente geométrico"...

    Danos tu opinión...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla razonaba bien con coordenadas y ecuaciones...

    Mire, profe. Los matemáticos son personas raras. No les gusta distinguir casos, no les gustan las excepciones... Se divierten diciendo que dos rectas diferentes siempre tienen un punto común en el plano proyectivo... O que una recta y una circunferencia siempre se cortan aunque sea en puntos imaginarios...

    El plano proyectivo se puede considerar como el plano euclídeo al que se le ha añadido una recta ideal en el infinito (horizonte o línea de tierra) formada por infinitos puntos ideales (puntos en el infinito o puntos de fuga)... En el plano proyectivo un punto tiene tres coordenadas homogéneas  P(X, Y, Z)  lo que quiere decir que estas no son únicas para tal punto ya que también valen  P(kX, kY. kZ)  si k ≠ 0. Los puntos en el infinito del plano proyectivo tienen Z = 0. Los demás puntos (con Z ≠ 0) son del plano euclídeo y tienen coordenadas cartesianas  P(X/Z, Y/Z) .
    Dos rectas paralelas del plano euclídeo...
r : ax + by + c = 0
s : ax + by + d = 0
se podrían escribir
r : aX/Z + bY/Z + c = 0
s : aX/Z + bY/Z + d = 0

y tendrían estas ecuaciones proyectivas homogéneas...


r : aX + bY + cZ = 0
s : aX + bY + dZ = 0

que cortan a la recta del infinito  w : Z = 0  en el punto que cumple  aX + bY = 0  esto es, en el punto ideal  W(–b, a, 0) . Así, las rectas paralelas  r  y  s  se cortan en el punto  W . La respuesta a la primera pregunta ahora sería: dos rectas (no coincidentes) siempre tienen un punto común.

    En el caso de una recta y una circunferencia...

r : ax + by + c = 0
q : (x–d)2 + (y–e)2 + f = 0

tenemos una ecuación de segundo grado que tendrá 0, 1 o 2 soluciones dependiendo de si el discriminante es negativo, nulo o positivo... Pero si admitimos coordenadas complejas, entonces siempre hay dos soluciones, ya sean reales o imaginarias, distintas o coincidentes (dobles). La respuesta a la segunda pregunta ahora sería: una recta y una circunferencia siempre tienen dos puntos comunes.

    Nina se había adentrado en geometrías diferentes... Quedaba por resolver la tercera pregunta... ¿Qué pasa con dos circunferencias?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso unió las dos geometrías que había utilizado Nina (añadiendo puntos ideales y puntos imaginarios y admitiendo coordenadas homogéneas complejas) para responder a la tercera pregunta... ¿Cuántos puntos comunes tenían dos circunferencias (no coincidentes)?

p : (x–a)2 + (y–b)2 + c = 0
q : (x–d)2 + (y–e)2 + f = 0

    Mire, profe. Las circunferencias son cónicas... y dos cónicas (no coincidentes) pueden tener hasta cuatro puntos de corte...

    Si queremos evitar excepciones... ¿qué cuatro puntos de corte pueden tener dos circunferencias no coincidentes?
    Veamos. Si restamos las ecuaciones de  p  y  q ...
(x–a)2 + (y–b)2 + c – (x–d)2 – (y–e)2 – f = 0
x– 2ax + a+ y– 2by + b2 + c – x+ 2dx – d– y+ 2ey – e2 – f  = 0
(2d–2a) x + (2e–2b) y + (a+ b2 + c – d e2 – f) = 0
obtenemos la ecuación de una recta (el eje radical). Esta recta corta a cada circunferencia en dos puntos (como expuso Nina)... Y son puntos comunes a las dos circunferencias... ¡Ya tenemos dos puntos comunes! ¿Dónde estarán los otros dos?

    Para pasar a coordenadas homogéneas, las ecuaciones de las circunferencias quedarían


p : (X/Z–a)2 + (Y/Z–b)2 + c = 0
q : (X/Z–d)2 + (Y/Z–e)2 + f = 0
y por tanto
p : (X–aZ)2 + (Y–bZ)2 + cZ2 = 0
q : (X–dZ)2 + (Y–eZ)2 + fZ2 = 0


    La intersección de las circunferencias con la recta del infinito Z = 0 son puntos que tienen que satisfacer  X2 + Y2 = 0 , esto es, los puntos ideales imaginarios  U(i, 1, 0)  y  V(–i, 1, 0) . ¡Estos puntos son comunes a todas las circunferencias del plano y por eso se llaman puntos cíclicos! Y por tanto son los otros dos puntos comunes... ¡Dos circunferencias no coincidentes tienen siempre 4 puntos comunes en esta geometría!

    Solo añadí que si las circunferencias son concéntricas, entonces el eje radical es la recta ideal del infinito y los puntos cíclicos son puntos comunes dobles... 
    Por otro lado Yoyó todavía nos sorprendió...

    Mire, profe. Una recta que pase por un punto cíclico es ¡perpendicular a sí misma! Mire, la recta  t : x – iy + c = 0  tiene vector director u = (i, 1) y pasa por el punto cíclico U(i, 1, 0). Y el producto escalar  v · v = (i, 1)·(i, 1) = i·i + 1·1 = –1+1 = 0 . ¡Una recta autoperpendicular!

    (En realidad se denomina recta isótropa.)