jueves, 25 de febrero de 2016

828. Alfa, beta, gamma y delta. RESOLUCIÓN

    En ningún cuaderno de Matemáticas de Pepe Chapuzas falta un alfabeto griego. Pepe lo utiliza con frecuencia como en el siguiente problema (que en realidad son tres) que se inventó, donde las letras griegas representan ángulos:
     Los 4 ángulos interiores,  a ,  b  g  y  d de un cuadrilátero están en progresión geométrica y, expresados en grados, son números naturales. Calcula  a ,  b  y  d  sabiendo que  g  vale... 
    a) ... 81º.
    b) ... 90º.
    c) ... 96º.

    Calcula las soluciones "naturales".

SOLUCIÓN

    Mire, profe. La suma de los 4 ángulos de un cuadrilátero es 360º, si R es la razón de la progresión, será a+b+g+d = (g/R2+g/R+g+g·R) = 360. Multiplicando por R2 en la última igualdad nos queda este polinomio de tercer grado: gR3+(g–360)R2+gR+g=0. Vamos a buscar soluciones "naturales" en los 3 apartados:
    a) La ecuación 81R3–279R2+81R+81=0 se simplifica: 9R3–31R2+9R+9=0. 
    Si R=3 la solución "natural" es a=9º, b=27º, g=81º y d=243º.
    b) La ecuación 90R3–270R2+90R+90=0 se simplifica: R3–3R2+R+1=0. 
    Si R=1 la solución "natural" es a=b=g=d=90º: es un rectángulo (o un cuadrado).
    c) La ecuación 96R3–264R2+96R+96=0 se simplifica: 4R3–11R2+4R+4=0. 
    Si R=2 la solución "natural" es a=24º, b=48º, g=96º y d=192º.

    Nina Guindilla ha calculado las soluciones "naturales". Calcula tú las soluciones no "naturales".

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso solo tenía que resolver las ecuaciones de 2º grado que había obtenido Nina con la regla de Ruffini... (Solo calculó las razones de las progresiones.)

    Para el caso a):

    Para el caso b):

    Para el caso c):

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