jueves, 25 de febrero de 2016

831. La sucesión de Fibonacci. RESOLUCIÓN

    Como ejemplo de sucesiones recurrentes siempre recurro a la sucesión de Fibonacci, por la gran cantidad de propiedades y aplicaciones que posee. Les dejo a mis alumnos que investiguen y jueguen con ella y que "descubran" algún resultado curioso. Pepe Chapuzas ha "descubierto" lo siguiente...

    Profe mire. Si tomamos cuatro términos consecutivos, el producto de los extremos menos el producto de los medios es 1 o –1.
    ¿Ocurrirá siempre así? Si así lo crees, tienes que demostrarlo...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla "descubrió" en Internet la siguiente propiedad de la sucesión de Fibonacci:

    La suma de 10 términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci es siempre un múltiplo de 11.

    ¿Te atreves a demostrarlo?

    Por otro lado, Nina demostró lo que había "descubierto" Pepe de la siguiente manera...

    Mire, profe. Vamos a utilizar el método de inducción... 
    Para  n = 1  tenemos 1·3–1·2 = 1. 
    Si suponemos que el caso es cierto para  n–1 , es decir, si  an–1 · an+2 – a· an+1 ±1 , entonces...
a· an+3 – an+1 · an+2 =
= a· (an+2 an+1) – (aan–1) · an+2 =
a· an+2 a· an+1 – a· an+2 – an–1 · an+2 =
a· an+1 – an–1 · an+2 =
±1.
    O sea, se va alternando +1 y –1... 

RESOLUCIÓN
 
    Yoyó Peluso probó que la suma de 10 términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci es un múltiplo de 11 también con el método de inducción:
 
    Profe, mire. Esto es cierto para los 10 primeros términos...
1+1+2+3+5+8+13+21+34+55 = 143 = 11·13.
    Y también
1+2+3+5+8+13+21+34+55+89 = 231 = 11·21
    Si suponemos que es cierto para la suma de 10 términos consecutivos anteriores a an, entonces...
an–9+an–8+an–7+an–6+an–5+an–4+an–3+an–2+an–1+an =
=(an–11+an–10)+(an–10+an–9)+(an–9+an–8)+(an–8+an–7)+...+(an–3+an–2)+(an–2+an–1) =
= (an–11+an–10+an–9+an–8+...+an–3+an–2) + (an–10+an–9+an–8+an–7+...+an–2+an–1) =
= 11·an–5 + 11·an–4 = 11·an–3

    Yoyó proporcionó también la siguiente explicación de la sucesión de Fibonacci:
 
    Mire, profe. Si solo tenemos monedas de 1€ y 2€, ¿de cuántas maneras se puede pagar una cuenta de N€? Pues de 1 manera 1€, de 1 manera 2€, de 2 maneras 3€ (1€+1€+1€ y 1€+2€), de 3 maneras para 4€, de 5 maneras para 5€, etc.

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