sábado, 27 de febrero de 2016

835. Una ecuación trigonométrica. RESOLUCIÓN

 
    Esta ecuación trigonométrica estaba en la última página del cuaderno de Pepe Chapuzas. Me dijo que no la había resuelto porque no tenía espacio. ¿Tienes espacio tú para resolverla?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla nunca se quedaba sin espacio en el cuaderno. Era lo suficientemente previsora para tener siempre cuadernos de repuesto... Mirad cómo resolvió la ecuación trigonométrica...

    Profe, mire. Partimos de las fórmulas del ángulo doble y del ángulo triple:
cos2x = 2cos2x–1
cos3x = 4cos3x–3cosx
    Sus cuadrados son identidades notables:
cos22x = 4cos4x–4cos2x+1
cos23x = 16cos6x–24cos4x+9cos2x
    Sustituyendo en la ecuación inicial queda una ecuación en cosx:
16cos6x–20cos4x+6cos2x = 0
    La solución trivial se tiene cuando cosx = 0, es decir, si  x = 90º y 270º.
    Para hallar otras soluciones simplificamos la ecuación:
4cos4x–5cos2x+1,5 = 0
    Esta ecuación bicuadrada en cosx se resuelve con la fórmula general:
cos2x = (5±1):8
    Si cos2x = (5+1):8 = 3/4 entonces cosx = ±3/2 y x = 30º, 150º, 210º y 330º.
    Si cos2x = (5–1):8 = 1/2 entonces cosx = ±2/2 y x = 45º, 135º, 225º y 315º.
    Aquí represento las soluciones...
    Nina ha escrito solamente las soluciones propias. Escribe las infinitas soluciones de la forma más sencilla posible.
 
RESOLUCIÓN
 
    Yoyó Peluso escribió las infinitas soluciones en radianes.
 
    Profe, mire. Para cada entero K tengo estas soluciones:
x = p/6 + Kp/3.
x =  p/4 + Kp/2.

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