lunes, 15 de febrero de 2016

806. Los "perisógonos". RESOLUCIÓN

    A Pepe Chapuzas le gusta inventarse términos matemáticos uniendo alegremente raíces griegas. Su última acuñación chapucera es el vocablo "perisógono". Un "perisógono" para Pepe es un polígono que tiene un número impar de lados (y de ángulos obviamente). El siguiente reto va de "perisógonos".

    Los ángulos interiores de cierto "perisógono" son todos diferentes pero se tiene que, ordenados de menor a mayor (o de mayor a menor), están en progresión aritmética. Como hay un número impar de términos en esta progresión hay uno que ocupa el lugar central, y resulta que es un ángulo de 172º. ¿Cuántos lados tiene este "perisógono"?
SOLUCIÓN

    Nina Guindilla sabía que si una progresión aritmética tiene un número impar de términos, la suma de ellos (S) es igual al término central (C) por el número de términos (N).

    Profe, mire. En el siguiente dibujo se ve que S = C·N. (Si hubiera un número par de términos no habría término central.)
    Por otro lado sabemos que la suma de los ángulos de un polígono es S = (N–2)·180º. (Un polígono se puede descomponer en N–2 triángulos...)
    Igualando las expresiones para S tenemos 172·N = 180·N – 360, por lo que 8·N = 360 y entonces sale que N = 360:8 = 45. El polígono tiene 45 lados (y 45 ángulos, claro).

    Los 45 ángulos están en progresión aritmética y la solución es independiente de la diferencia de la progresión... Sin embargo esta diferencia no puede ser cualquier cantidad... ¿Por qué?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso respondió que los ángulos internos tienen que estar comprendidos entre 0º y 360º por lo que la diferencia de la progresión no puede ser demasiado grande...

    Mire, profe. Si suponemos ordenados los ángulos de menor a mayor, la diferencia D de la progresión sería positiva. El término central C es el 23º: tiene 22 términos delante y 22 términos detrás... Por lo tanto, 0º < C–22D y C+22D < 360º, esto es, D < 172º/22 y D < 188º/22. La primera condición es más restrictiva y es la solución.

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