sábado, 4 de abril de 2020

2º BACHILLERATO -- soluciones ejercicios

    Hola.
    Aquí tenéis las soluciones. Los alumnos que no me hayan entregado todavía estos ejercicios tienen que enviármelos corregidos.

viernes, 3 de abril de 2020

1º BACHILLERATO -- soluciones ejercicios semana pasada

    Hola.
    Aquí tenéis las soluciones. Los alumnos que no me hayan entregado todavía estos ejercicios tienen que enviármelos corregidos.

jueves, 2 de abril de 2020

1º y 2º BACHILLERATO. Entrega de ejercicios después de Semana Santa.

Hola a todos.

    Todas las tareas que se han mandado esta semana tenéis que enviármelas por correo el martes 14 de abril antes de las 14 horas.

Un Saludo.

1º BACHILLERATO -- Repaso función compuesta

Hola a todos.

    Hoy repasamos la función compuesta (composición de funciones).

    Hacemos los apartados c), d), k) y l) del ejercicio 61 de la página 218.

    Y me los enviáis por correo después de Semana Santa. ¡Aprovechad la Semana Santa repasar y poneros al día!

Hasta luego.

2º BACHILLERATO -- Función integral.

Hola. Hoy hablamos de la función integral.

    Una función integral tiene esta forma   F(x) = ʃ ax f(t) dt . Observad que la variable es  x  (es el límite de integración superior). Se lee "integral entre  a  y  x ". La variable  "t"  es muda porque podía haber empleado otra letra:  F(x) = ʃ ax f(w) dw La función integral  F(x)  es la primitiva de  f(x)  que cumple que  F(a) = 0  ya que  F(a) = ʃ aa f(t) dt = 0

    Esto se denomina teorema fundamental del cálculo:  F'(x) = f(x) .
    Por ejemplo, la derivada de  F(x) =ʃ 2x arctg w  dw  es  f(x) = arctg x .

    A veces nos topamos con funciones compuestas así:


E(x) = ʃ g(x)h(x) f(t) dt
    Es decir,  
E = F  h – F g

    Pues bien, su derivada se haría aplicando la regla de la cadena:


E'(x)  =  f(h(x)) · h'(x)  –  f(g(x)) · g'(x)

    Por ejemplo. La derivada de la función


 ʃ ln xsen x t5 dt
sería


(sen x)5 · cos x  –  (ln x)5 / x

    ¡Fácil! ¿Verdad?

    Hacemos los ejercicios 15 y 16 de la página 155.

    Y los entregamos después de Semana Santa.

Hasta luego.

miércoles, 1 de abril de 2020

1º BACHILLERATO -- Trabajando con el infinito

Hola.

    Unas sencillas "operaciones" con infinito. Mirad las tablas de ayer y a ver si adivináis los resultados. Me los enviáis después de Semana Santa. Apuntadlo en la agenda para que no se os olvide.


∞ – 1000000  =  ¿?
(–7) · ∞  =  ¿?  
(−∞) / (−8)   ¿? 
222 / ∞  =  ¿? 
–66  =  ¿?
0,003   ¿?
0,9  =  ¿?   
0,0001  =  ¿?
88−∞  =   ¿?
5  =  ¿?


2º BACHILLERATO -- Ejemplos de áreas

Hola.
    Aquí tenéis unos ejemplos de áreas. Os ayudarán a hacer los ejercicios de ayer...

    1) El área encerrada por una "loma" de  f(x) = sen x  y el eje de abscisas.
     ʃ 0π sen(x) dx  =  – cos(π) + cos(0)  =  1 + 1  =  2 u2

    2) El área encerrada entre las parábolas  x = y2  e  y = x2 .


    La primera parábola se corresponde con la función  y = x . Para calcular las abscisas de los puntos de corte resolvemos la ecuación
x = x2
x = x4
x4 – x = 0
x (x3 – 1) = 0
x = 0         x = 1
    Por lo tanto el área encerrada es

 ʃ 01 (x – x2) dx  = 2x3/2/3 – x3/3 ]01  =  2/3 – 1/3  =  1/3 u2

    3) El área encerrada entre las gráficas de  f(x) = x3 – 4x + 6  y  g(x) = x2 + 5x – 3 .

    Primero calculo las abscisas de los puntos de corte...

x3 – 4x + 6  =  x2 + 5x – 3 
x3 – x2 – 9x + 9  =  0

    Por lo tanto el área encerrada es

ʃ-31 (x3 – x2 – 9x + 9) dx |  +  ʃ 13 (x3 – x2 – 9x + 9) dx |  =
=  x4/4 – x3/3 – 9x2/2 + 9x ]-3|  +  x4/4 – x3/3 – 9x2/2 + 9x ]13 |  =
=  1/4 – 1/3 – 9/2 + 9 – 81/4 – 9 + 81/2 + 27 |  +  | 81/4 – 9 – 81/2 + 27 – 1/4 + 1/3 + 9/2 – 9 |  =  ...

    4) El área encerrada del dibujo
    Calculamos las abscisas de los tres puntos de corte

1/x = 4    ==>   x = 1/4
1/x = x2   ==>   x = 1
x2 = 4    ==>   x = 2

    Por lo tanto el área encerrada es

 ʃ 1/41 (4 – 1/x) dx  +  ʃ 12 (4 – x2) dx  =
=  [ 4x – ln |x| ]1/41  4x – x3/3 ]12  =
=  4 – 0 – 1 + ln(1/4) + 8 – 8/3 – 4 + 1/3  =  ...

martes, 31 de marzo de 2020

1º BACHILLERATO. "operaciones" con infinito e indeterminaciones

Hola a todos.

    Aprendemos hoy las “operaciones” con  ∞ . Nos van a resultar imprescindibles para calcular límites.

K  representa un número positivo y  −K  un número negativo.
0+  indica que tendemos a 0 por la derecha y  0  ídem por la izquierda.

∞ + K  =  ∞ − K  =  ∞ + ∞  =  
− ∞ + K  =  − ∞ − K  =  − ∞ − ∞  =  − ∞

· K  =  (−∞) · (−K)  =  ∞ · ∞  =  (−∞) · (−∞)  =  
(−∞) · K  =  ∞ · (−K)  =  (−∞) · ∞  =  − ∞

∞ / K  =  (−∞) / (−K)  =  ∞ / 0+  =  (−∞) / 0  =  K  / 0+  =  (−K) / 0  =  
(−∞) / K  =  ∞ / (−K)  =  (−∞) / 0+  =  ∞ / 0  =  K  / 0  =  (−K) / 0+  =  − ∞

K / ∞  =  (−K) / ∞  =  K / (−∞)  =  (−K) / (−∞)  =  0

 =  K  =  (0+)  =  
 =  K  =  (0+)  =  0
K  =      si K > 1
K  =  0    si  0 < K  < 1
K  =  0    si K > 1
K  =      si  0 < K  < 1

    Hay “operaciones” cuyos resultados no se pueden predecir. Se llaman indeterminaciones. Son estas:

∞ − ∞
∞ · 0         (−∞) · 0
∞ / ∞        (−∞) /∞       ∞ / (−∞)       (−∞) / (−∞) 
0 / 0     
K / 0         (−K) / 0       ∞ / 0       (−∞) / 0
0          00          1         1

    Ya aprenderemos a calcular límites y a resolver indeterminaciones.

    Tenéis que ir aprendiendo estas tablas en Semana Santa. Hoy no mando ejercicios.

Hasta pronto.

2º BACHILLERATO -- Gráficas y áreas.

Hola.

    Vamos a ver la interpretación geométrica de la integral definida: cuál el significado del número que obtenemos al integrar.
    Si la función es positiva la integral definida nos proporciona el área de la región limitada por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas verticales indicadas por los límites de integración.
    Si la función es negativa y a < b, la integral definida  ʃ ab f(x) dx  sale negativa y el área se calcula de cualquiera de estas tres maneras    ʃ ab f(x) dx  = ʃ ba f(x) dx = | ʃ ab f(x) dx | . Yo prefiero la tercera.

    Si la función cambia de signo, la integral definida  ʃ ab f(x) dx  nos da la resta de las áreas que quedan por encima del eje de abscisas menos las que quedan por debajo. En este ejemplo ...
... el área total se calcula así:  ʃ au f(x) dx | + ʃ uv f(x) dx | + ʃ vw f(x) dx | + ʃ wb f(x) dx | .

    Si las gráficas de dos funciones f y g se cortan en dos puntos de abscisas a y b ...
... entonces el área encerrada es  ʃ ab f(x) dx  –  ʃ ab g(x) dx |  =  ʃ ab (f(x) – g(x)) dx | . Ponemos las barras de valor absoluto para no tener que averiguar cuál función está encima y cuál debajo, ni cuál límite de integración está a la izquierda y cuál a la derecha.

    Para recintos complicados, se separa el área en regiones como las anteriores y se integra por separado: es la estrategia de "divide y vencerás". Ya pondré ejemplos.

    Hacemos los ejercicios de la página 157.

Nos vemos.

lunes, 30 de marzo de 2020

1º BACHILLERATO -- soluciones números complejos


1º BACHILLERATO -- Límite de una función

Hola a todos.

    Hoy estudiamos el concepto de límite (páginas 200 y 201). Con un ejemplo gráfico se entiende muy bien.
    En el ejemplo, el valor numérico de la función en x = 5 es f(5) = 4.
    El límite por la izquierda de la función cuando x tiende a 5 es 2.
    El límite por la derecha de la función cuando x tiende a 5 es 1.

    Hacemos los ejercicios de la página 201.
    Los ejercicios de esta semana se entregarán después de Semana Santa.

Hasta luego.

2º BACHILLERATO -- La integral definida


Hola a todos. Empezamos hoy la integral definida (tema 6).

    El libro se mete en "honduras" de teoría que vamos a simplificar hasta lo imprescindible.

    Un par de cosas que reseñar...

    En primer lugar el aspecto. Una integral definida tiene este aspecto:

     Como veis, se diferencia de una integral indefinida porque hay dos numeritos  "a"  y  "b"  que aparecen como subíndice y superíndice del símbolo de integral. Se llaman límites de integración y generalmente es  a < b .

    En segundo lugar la naturaleza. La integral indefinida representa infinitas funciones, mientras que la integral definida representa un número. Ya veremos lo que significa ese número. De momento comento cómo se calcula: la integral definida es el incremento de una primitiva. Esto se denomina la regla de Barrow y se puede escribir de diferentes maneras:

    Da igual la primitiva que se elija por lo que elegiremos siempre la constante de integración  C = 0 .
    La variable de integración se denomina ahora variable muda porque el resultado no depende de la letra:  "x""t" u otra cualquiera, pero veamos un ejemplo:


    Una integral definida por partes se haría así:



    Recuerdo que trabajamos en radianes...

    Una integral definida por cambio de variable se haría así:


    Como veis, no hay que deshacer el cambio de variable, solo hay que calcular los nuevos límites de integración. 

    Una integral definida de una función definida a trozos se haría así:

    Y basta por hoy...

    Hacemos el ejercicio 7 de la página 151 y los ejercicios 12 y 13 de la página 153.
    Los ejercicios que mande esta semana hay que entregarlos después de Semana Santa.

Hasta luego.

viernes, 27 de marzo de 2020

1º BACHILLERATO -- Soluciones páginas 171 y 173

Hola.
    El que tenga algún ejercicio no resuelto o mal resuelto debe corregirlo en su cuaderno con las soluciones que veis, completándolas con los pasos intermedios que faltan. No tenéis que volver a enviarme los ejecicios corregidos.
Un saludo.

1º BACHILLERATO. Tarea para la semana que viene.

Hola.

    Aquí tenéis un resumen de toda la tarea que tenéis que entregar el lunes 30 o el martes 31 de marzo. No olvidéis poner en el asunto, el nombre, los apellidos y el curso.

    Ejercicios 4, 8a y 8e de la página 195. (Se mandó el lunes 23.)
    Rectángulos amarillos y gráficas de las páginas 196 y 197. (Se mandó el martes 24.)
    Ejercicio 9 de la página 199.  (Se mandó el miércoles 25.)
    Ejercicio 61, apartados h) i) y j), de la página 218. (Se mandó el jueves 26.)

    También hay que entregar el trabajo de cónicas el lunes 30 de marzo.

A ver si os salen.

2º BACHILLERATO -- Una integral

Hola.

    Aquí os dejo esta integral para que penséis.
    En el numerador aparece  "dx" . La  "dx"  suele aparecer en el numerador cuando el integrando es una fracción. En esta integral, el numerador del integrando es  "1" .
    En el denominador aparece  "log" . No es el logaritmo neperiano sino el logaritmo decimal (en base 10).

¡Ánimo!

1º BACHILLERATO. Truco para calcular el argumento

Hola a todos.

    Veo que todavía hay problemas para calcular el argumento de un número complejo. Aquí tenéis unas pautas para hacerlo con la calculadora.
     Lo primero que hay que hacer es averiguar en qué cuadrante está el número complejo  A+Bi . Para ello observamos los signos de la parte real  A  y de la parte imaginaria  B . Después calculamos el cociente de la parte imaginaria entre la parte real  B/A . Por ejemplo:

8 + 7i      A>0   B>0     está en el I cuadrante    B/A = 7/8 = 0,875
–5 + 3i      A<0   B>0    está en el II cuadrante    B/A = 3/(–5) = –0,6
–2 – 4i      A<0   B<0    está en el III cuadrante    B/A = (–4)/(–2) = 2
6 – 9i      A>0   B<0    está en el IV cuadrante    B/A = (–9)/6 = –1,5

    Ahora hay que calcular el argumento con la función arcotangente (SHIFT TAN) pero la calculadora no sabe en qué cuadrante está el número complejo. En grados sexagésimales (modo DEG) nos tiene que salir entre 0º y 360º así que...

    En el I cuadrante    Arg (A+Bi) = arctg (B/A)
    En el II cuadrante    Arg (A+Bi) = arctg (B/A) + 180º
    En el III cuadrante    Arg (A+Bi) = arctg (B/A) + 180º
    En el IV cuadrante    Arg (A+Bi) = arctg (B/A) + 360º
 
    En los cuatro ejemplos tenemos:

Arg (8+7i) = arctg (0,875) = 41º11'9"    está entre 0º y 90º
Arg (–5+3i) = arctg (–0,6) + 180º = 149º2'10"     está entre 90º y 180º
Arg (–2–4i) = arctg (2) + 180º = 243º26'5"     está entre 180º y 270º
Arg (6–9i) = arctg (–1,5) + 360º = 303º41'24"     está entre 270º y 360º

    Finalmente, si falta la parte real o la parte imaginaria, todo es más fácil. Por ejemplo:
 
10i     está entre el I y el II       Arg (10i) = 90º
–15     está entre el II y el III      Arg (–15) = 180º
–6i     está entre el III y el IV      Arg (–6i) = 270º
7     está entre el IV y el I      Arg (7)  = 

OJO: El argumento del número  0 , esto es, de  0+0i , está indeterminado.

    Hay calculadoras que tienen una tecla para calcular directamente la forma polar. En algunos modelos es la tecla  POL  y en otros es la tecla  R=>P  pero su uso difiere de unos modelos a otros y no se pueden dar pautas generales. Si tenéis las instrucciones de vuestra calculadora lo podéis mirar.

Un saludo.

jueves, 26 de marzo de 2020

2º BACHILLERATO -- Un ejemplo más de cambio de variable


2º BACHILLERATO -- Más ejemplos con cambios de variable

1º BACHILLERATO --- Función inversa

Hola a todos.

   Estudiamos la página 199 del libro (Función inversa).

   La función inversa se denomina en otros textos función recíproca. La inversa de  f  se escribe  f -1  ¡pero cuidado! no es lo mismo que  1/f . El elemento neutro de la composición de funciones es la función identidad  i(x) = x , pues bien, al componer una función con su inversa el resultado es la función identidad. Las funciones inversas se pueden calcular como vemos en los siguientes ejemplos:


    Es decir, solo hay que despejar la "x".

    Hacemos el ejercicio 61, apartados h) i) y j), de la página 218.
    Fecha de entrega: lunes 30 o martes 31 de marzo.

Un saludo