viernes, 18 de diciembre de 2020

1561. Bisectrices externas

    Comenté en clase el teorema de Steiner-Lehmus: si un triángulo tenía dos bisectrices iguales, entonces era isósceles... A continuación planteé este problemita: si esas dos bisectrices fueran también iguales a alguno de los lados del triángulo, ¿cuánto medirían entonces los ángulos del triángulo? Pepe Chapuza no tardó en contestar.

     Mire, profe. Cada bisectriz igual divide el triángulo isósceles en dos triángulos y uno de estos es semejante al inicial.

    Por lo tanto
α + α + α/2 = π radianes
5α/2 = π radianes
α = 2π/5 radianes
β = π/5 radianes 

    Pero profe. ¿Qué pasaría si en vez de bisectrices internas hablamos de bisectrices externas?

    La cuestión quedó abierta para la clase... 

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla rebuscó entre los triángulos isósceles...

    Profe, mire. Todo triángulo isósceles tiene dos bisectrices externas iguales. Hay dos posibilidades: que esas bisectrices externas sean iguales al lado desigual del triángulo isósceles, o que esas bisectrices externas sean iguales a los lados iguales del triángulo isósceles...

    En el primer caso tenemos

α + α + π/2 + α/2 = π
5α/2 = π/2
α = π/5
β = 3π/5

    En el segundo caso tenemos

α + α + β = π
 β + β + π/2 + α/2 = π
y resolviendo este sistema
α = 3π/7
β = π/7

    ¿Habrá alguna solución con algún triángulo escaleno?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota dio con el triángulo de Albrecht Emmerich...


    Mire, profe.
α + α + π/2 + β/2 = π
π/2 − α + π − β + π − β = π
y resolviendo el sistema
α = π/15 = 12°
β = 11π/15 = 132°
γ = π/5 = 36°

viernes, 11 de diciembre de 2020

1560. Cevianas cuadrisectrices...

     Mire, profe. Desde el vértice A de un triángulo se trazan la altura, la bisectriz y la mediana, y resulta que estas tres cevianas dividen el ángulo  en cuatro partes iguales (lo cuadrisecan). Son cevianas cuadrisectrices...
    ¿Cuánto miden los ángulos del triángulo?

    ¿Quién contesta a Pepe Chapuza?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla trajo la respuesta:

    Mire, profe. La segunda ceviana (bisectriz) divide el triángulo inicial en dos. La primera ceviana (altura inicial) es bisectriz, mediatriz, altura y mediana de uno de los triángulos nuevos, que es isósceles. La tercera ceviana (mediana inicial) es una bisectriz del otro triángulo nuevo. Si tomamos como unidad el lado  a = 1  tenemos las siguientes medidas...

    Aplicando el teorema de la bisectriz al triángulo inicial y al segundo triángulo nuevo tenemos:

b = c (1−2p)/(2p)
b = c (1/2)/(1/2−2p)
de donde
2p · 1/2 = (1−2p)·(1/2−2p)
p = 1/2 − 3p + 4p2
4p2 − 4p + 1/2 = 0
p = 1/2 − √2/4
b = c (1 + √2)

    La primera ceviana divide el triángulo inicial en dos triángulos rectángulos. Dicha ceviana es cateto común. Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos...

h2 c2 − p2
h2 = b2 − (1−p)2
de donde
c2 − p2 = b2 − (1−p)2 = b2 − 1 − p2 + 2p
b2 = c2 + 1 − 2p = c2 + √2/2

    Combinando los resultados de ambos teoremas tenemos...

c2 + √2/2 = c2 (1 + √2) 2 = c2 (3 + 2√2)
c2 = (√2/2) / (2 + 2√2) = 1/2 − √2/4
b2 = 1/2 − √2/4 + √2/2 = 1/2 + √2/4

de donde  b2 + c2 = 1/2 − √2/4 + 1/2 + √2/4 = 1  por lo que...

 = 90° ,  B̂ = ¾ 90° = 67°30'  y  Ĉ = ¼ 90° = 22°30' .

    Perdonando que adolecía de pasos intermedios, Nina lo tenía resuelto. ¡Y sin usar trigonometría! ¿Cómo se podría afrontar el problema con trigonometría?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota hizo uso de las potentes herramientas de la trigonometría...

    Mire, profe.

    La primera ceviana divide el triángulo inicial en dos triángulos rectángulos, lo que me permite escribir  B̂ = 90° − ¼   y  Ĉ = 90° − ¾  .

    La tercera ceviana divide el triángulo inicial en dos triángulos en los que puedo aplicar el teorema de los senos:

1/2 / sen (Â/4) = m / sen (90° − 3Â/4)
1/2 / sen (3Â/4) = m / sen (90° − Â/4)
de donde
sen (Â/4) sen (90° − Â/4) = sen (3Â/4) sen (90° − 3Â/4)
sen (Â/4) cos (Â/4) = sen (3Â/4) cos (3Â/4)
sen (Â/2) = sen (3Â/2)
por tanto
Â/2 = 180° − 3Â/2
2Â = 180°
 = 90°
B̂ = 67°30' 
Ĉ = 22°30'

lunes, 7 de diciembre de 2020

1559. Un polinomio capicúa

    Mire, profe. Si escribo el polinomio  x4 + 6x3 + 11x2 + 6x + 1  como se escribe en la regla de Ruffini se entiende por qué digo que es un polinomio capicúa... (UNO SEIS ONCE SEIS UNO)

    Un polinomio capicúa no es homogéneo por lo que si tuviera alguna raíz real  a , no sería nula y además  1/a  sería otra raíz. Con el polinomio del ejemplo se entiende esto muy bien... 
    Si  a4 + 6a3 + 11a2 + 6a + 1 = 0  entonces

(1/a)4 + 6(1/a)3 + 11(1/a)2 + 6(1/a) + 1 =
= 1/a4 + 6/a3 + 11/a2 + 6/a + 1 =

y multiplicando por  a4

=  1 + 6a + 11a2 + 6a3 + a4  =  0

    El caso es que de este polinomio no he podido encontrar sus raíces reales...

    Con la regla de Ruffini estaba claro que no había raíces enteras... pero os aseguro que sí hay raíces reales

    ¿Quién quiere buscarlas y factorizar el polinomio?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla lo consiguió y su procedimiento no tiene desperdicio...

    Mire, profe. Puedo sacar el factor común  x  a los términos dependientes...

(x3 + 6x2 + 11x + 6)x + 1

... y factorizar el polinomio que está entre paréntesis con la regla de Ruffini..

(x+1)(x+2)(x+3)x + 1 

     Los siguientes pasos no necesitan demasiadas explicaciones...

((x+1)·(x+2))·((x+3)·x) + 1
(x2+3x+2)·(x2+3x) + 1
((x2+3x+1)+1)·((x2+3x+1)−1) + 1 

    Y ahora, la tercera identidad notable (suma por diferencia)... 

(x2+3x+1)2 − 12 + 1
(x2+3x+1)2 

    Con la fórmula general de la ecuación cuadrática obtengo las raíces:

((x+1,5+√1,25)·( x+1,5−√1,25))2
(x+1,5+√1,25)2·( x+1,5−√1,25)2

    Como dije, no tiene desperdicio. ¿Alguna otra opción?

RESOLUCIÓN

    El procedimiento de Yoyó Gaviota tampoco tiene ningún desperdicio...

    Mire, profe. No sabía por donde empezar así que empecé a dar valores a la  x ...

                                                     x                x4 + 6x3 + 11x2 + 6x + 1
                                                    --------------------------------------------------
                                                     0                                1 = 12             
                                                     1                              25 = 52             
                                                     2                            121 = 112          
                                                     3                            361 = 192          
                                                     4                            841 = 292         

    ¿Se da cuenta, profe? Para valores enteros de  x  obtengo cuadrados perfectos. Intuí que el polinomio era el cuadrado de un polinomio de segundo grado. Pero al calcular las diferencias sucesivas de la sucesión de las raíces cuadradas de estos cuadrados perfectos me convencí:

1    5   11   19   29

4    6    8   10

2    2    2 

    Como el coeficiente principal y el término independiente del polinomio de cuarto grado son 1, los del polinomio de segundo grado también serán uno, así que... 

x4 + 6x3 + 11x2 + 6x + 1  =  (x2 + bx + 1)2  =  x4 + 2bx3 + (2+b2)x2 + 2bx + 1

de donde  2b = 6  y  2+b2 = 11 ,  de donde  b = 3 .

    A partir de aquí procedió como Nina... Aunque también comprobó que efectivamente las raíces  −1,5−√1,25  y  −1,5+√1,25  eran inversas:

    Profe, mire. Si las multiplico...

(−1,5−√1,25)·(−1,5+√1,25) = 1,52 −(√1,25)2 = 2,25 − 1,25 = 1

miércoles, 2 de diciembre de 2020

1558. Infinito o nada


    
Pepe Chapuza me enseñó esta curiosa medalla. En una de sus caras se apreciaba el símbolo de infinito y en la otra cara había un cero... Pepe me soltó la siguiente pregunta:

    Profe, ¿por qué entre los términos de una progresión aritmética no constante de números naturales, o hay infinitos cuadrados perfectos o no hay ninguno?

    Las preguntas de Pepe siempre me pillan descolocado..., así que redirigí la pregunta a la clase. Tenían una semana para darme una respuesta razonada...

    SOLUCIÓN

    Nina Guindilla respondió...

    Mire, profe. Hay progresiones aritméticas no constantes de números naturales que no contienen ningún cuadrado perfecto. Por ejemplo, todos los términos de la progresión 

A(n) = 10 n + 2 , esto es, { 12 , 22 , 32 , 42 , 52 ... } 

acaban en 2, y por tanto ninguno es un cuadrado perfecto porque los cuadrados perfectos solo pueden acabar en 0, en 1, en 4, en 5, en 6 o en 9.

    Sin embargo, si en una progresión no constante de números naturales hay un cuadrado perfecto, entonces hay infinitos.

    Nina demostró esto obviamente:

    Si para algún  n  es  A(n) = p n + q = k2 , entonces para todo  m  será

(k + m p)2 =
= k2 + 2 k m p + m2 p2 =
= p n + q + 2 k m p + m2 p2 =
= p (n + 2 k m + m2 p) + q =
= A ( n + 2 k m + m2 p ) 

    Nina añadió...

    Profe, mire. El mismo resultado se tiene para los cubos perfectos y para las demás potencias perfectas. En particular, si el primer término de una progresión aritmética no constante de números naturales es  A(1)=1 , entonces la progresión contiene infinitos cuadrados perfectos, infinitos cubos perfectos e infinitas potencias perfectas de cualquier exponente natural.

    Esto había que demostrarlo...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota lo demostró:

    Mire, profe. Si  A(1) = p + q = 1 , entonces para todo  m  y todo  j

(1+mp)j =
= 1 + jmp + j(j−1)m2p2 / 2 + ... + mjp=
= p + q + jmp + j(j−1)m2p2 / 2 + ... + mjpj =
= p (1 + jm + j(j−1)m2p / 2 + ... + mjpj−1) + q =
= A ( 1 + jm + j(j−1)m2p / 2 + ... + mjpj−1 )

    Queda para el lector determinar en que conjuntos numéricos se mueven j, k, m. n. p y q...

    Yoyó se despidió con la progresión  A(n) = 24 n − 23  que tiene la particularidad de que sus tres primeros términos son cuadrados perfectos:

A(1) = 24·1 − 23  = 1 = 12
A(2) = 24·2 − 23 = 25 = 52
A(3) = 24·3 − 23 = 49 = 72

    Solo le advertí de que no buscara una progresión aritmética cuyos cuatro primeros términos fueran cuadrados perfectos: tal cosa no existe...

sábado, 28 de noviembre de 2020

1557. Una distribución "normal"

 

    Habíamos terminado el tema de distribuciones de probabilidad, las campanas de Gauss, etc.,  y ya estaba Pepe Chapuza con su “ejercicio de afianzamiento”...

 

    Mire, profe. Se sabe que el peso al nacer de los bebés de un determinado país tiene una distribución normal. Se sabe también que el 5% de los bebés nace con más de 4 kg y que el 20% de los bebés nace con menos de 2,5 kg . Calcula la esperanza y la varianza de un bebé al nacer.

 

    Pues... eso. A afianzar los conocimientos...

 

SOLUCIÓN

 

    Nina Guindilla demostró su afianzamiento:

 

    Profe, mire. Me están dando   P(X>4) = 0,05   y   P(X<2,5) = 0,2   con   X ~ N(μ, σ) .

    Tipificando   P(Z>(4−μ)/σ) = 0,05   y   P(Z<(2,5−μ)/σ) = 0,2   con   Z ~ N(0, 1) .

    Por lo tanto   0,05 = 1 − Φ((4−μ)/σ)   y   0,2 = 1 − Φ(−(2,5−μ)/σ) .

    De donde   Φ((4−μ)/σ) = 1,95   y   Φ(−(2,5−μ)/σ) = 0,8  .

    Buscando en la tabla de la normal estándar   (4−μ)/σ = 1,645   y    −(2,5−μ)/σ = 0,84.

    Tenemos el sistema   

4 − μ = 1,645 σ

−2,5 + μ = 0,84 σ

 

    Sumando las ecuaciones   1,5 = 2,485 σ  .

    De donde   σ = 1,5 / 2,485 = 0,6036 kg .  LA VARIANZA ES    σ2 = 0,365 kg2  .

    Y   μ = 4 − 1,645·0,6036 = 3,0071 kg .   LA ESPERANZA ES    μ = 3,007 kg  .

 

    Para terminar, Nina preguntó cuántos bebés habría que elegir al azar para que la probabilidad de que al menos uno de ellos pese más de 4 kg sea mayor que 0,95...

 

    Pues... ¡termina!

 

RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Estamos ante una distribución binomial con  p = 0,05 . Si elegimos  n  bebés,  0,95 < P(X>0) = 1 − P(X=0) = 1 − (1−0,05)n = 1 − 0,95 n . Por tanto

 

0,95 n < 1 − 0,95 = 0,05

n > log 0,05 / log 0,95 = 58,4

    La solución es 59 bebés.

    Yoyó Peluso terminó...

1556. El primer centro isogónico...

     Pepe Chapuza trajo una extraña herramienta. Consistía en tres varillas coplanarias de la misma longitud unidas por un extremo y separadas entre sí 120º. (Parecían unos ejes de perspectiva isométrica.) Donde se juntaban las tres varillas había en realidad un agujerito. Pepe no nos dejó mucho tiempo con la curiosidad...

    Mire profe. Con esta herramienta puedo localizar el primer centro isogónico de un triángulo. Solo hay que deslizar y girar la herramienta hasta que pase por los tres vértices del triángulo... Meto la punta del lápiz por el agujerito y ahí esta. ¡El primer centro isogónico del triángulo! ¿Qué le parece que llame a esta herramienta "ye"?

 

    Pepe nos mostró cómo funcionaba su "ye"...


    Mi asombro era mayúsculo. Pero Pepe no había terminado...

 

    Profe. El primer centro isogónico de un triángulo minimiza la suma de distancias de un punto del triángulo a los tres vértices... Siempre que ningún ángulo del triángulo sea mayor de 120º. (Si es 120º tenemos un caso límite.)


    Había que investigar el asunto...


SOLUCIÓN

 

    Nina Guindilla investigó... ¡Ya lo creo!

 

    Profe mire. Si trazamos perpendiculares a las varillas de la "ye" por los vértices del triángulo obtenemos un triángulo equilátero:



     Para cualquier otro punto del triángulo (en negro), tenemos que la suma de distancias a los vértices del triángulo inicial   g + h + i  <  d + e + f   porque no todos los segmentos son perpendiculares a los lados del triángulo equilátero, pero   d + f + g  =  a + b + c   por el teorema de Viviani, con lo cual se tiene el resultado.


   
Le dimos un aplauso a Nina.


    Han quedado un par de asuntos en el aire...

    ¿Qué pasa si algún ángulo es mayor de 120º? ¿Y qué pasa con el segundo centro isogónico?

    Habrá que seguir investigando...


RESOLUCIÓN


    Yoyó Gaviota añadió una varilla más a la herramienta de Pepe. Ya no podía llamarse "ye", la llamó sencillamente "psi".


 

    Profe mire.

    La "psi" es mejor que la "ye" porque localiza al primer centro isogónico para todo tipo de triángulos.

    Y también al segundo centro isogónico. (Si un ángulo es de 60º tenemos aquí otro caso límite.)

    Mire los ejemplos:


 

    Yoyó no había terminado...

 

    Profe, el triángulo equilátero es un caso especial... No sé si no tiene segundo centro isogónico, o si tiene infinitos... Mire lo que pasa con los puntos de la circunferencia circunscrita...



1555. Una geometría compleja...

     Estábamos viendo el plano de Gauss y Pepe Chapuza me comentó que era genial poder operar con vectores como si fueran números. Le comenté que sí, que era una potente herramienta el poder trabajar en geometría vectorial del plano mediante la aritmética de los números complejos. Insistió en el asunto y me comentó que había que tener cuidado para no confundir el producto escalar de vectores con el producto de números complejos... No sabía qué rondaba por su cabeza..., así que le dije si podía investigar cuál era la relación entre los dos productos... Esto fue lo que me trajo al día siguiente:

 

    Mire profe. La suma de vectores y la suma de complejos son equivalentes. Y el producto de un escalar por un vector es equivalente al producto de un real por un complejo...

    Pero si escribo  u v  o  u · v  nadie sabe si se trata de un producto escalar de vectores o de un producto de números complejos (que no son para nada productos equivalentes). Para evitar confusiones, en lo que viene a continuación voy a indicar el producto escalar con punto y el producto de números complejos sin punto.

    También voy a indicar el conjugado de  w  como  w  tanto si se interpreta como número complejo o como vector del plano. Aquí y ahora  w  =  Re(w) + Im(w) i  =  ( Re(w) , Im(w) ) .

    Primera fórmula:

u · v  =

=  Re(u) Re(v) + Im(u) Im(v)  =

=  (u/2 + u/2) (v/2 + v/2) + (u/2/i – u/2/i) (v/2/i – v/2/i)  =

=  ( u v + u v + u v + u v – u v + u v + u v – u v ) / 4  =

=  ( u v + u v ) / 2

 

    Se da cuenta. Si dos vectores u y v son ortogonales entonces ¡ u v + u v = 0 !

    Además, es fácil deducir ahora que

 

w · w  =  w · w  =  w w     (el cuadrado del módulo)

    Y también...

w · w  =  (w w + w w) / 2  =  Re (w w)  =  Re (w w)

    Segunda fórmula:

u v  =

=  Re(u) Re(v) – Im(u) Im(v) + Re(u) Im(v) i + Im(u) Re(v) i  =

=  Re(u) Re(v) + Im(u) Im(v) + Re(u) Re(vi) i + Im(u) Im(vi) i  =

=  (u · v) + (u · vi)  i

 

    (Recuerdo que se obtiene wi girando w un ángulo de 90º.)

 

    Además, es fácil deducir ahora que  (ui · v) + (u · vi)  =  0 .

 

    Pepe Chapuza hace honor a su apellido. Le advertí que también habría confusión con  w2  pero Pepe lo tenía previsto:  w2  =  w w  mientras que  w · w  =  |w|2 .

 

    En fin, pedí a mis alumnos que utilizaran la primera de las fórmulas de Pepe para demostrar el siguiente resultado...



    Si adherimos a los cuatro lados de un cuadrilátero convexo las hipotenusas de cuatro escuadras (triángulos rectángulos isósceles) como se aprecia en la figura, entonces los vértices de los ángulos rectos de las escuadras determinarán un cuadrilátero ortodiagonal e isodiagonal, o sea, los segmentos rojos serán perpendiculares y tendrán la misma longitud. ¡A ver quién lo consigue antes!

 

SOLUCIÓN


    ¡Cómo no iba a ser Nina Guindilla!


    Mire profe. Llamemos de la siguiente manera a estos vectores (números complejos):

 

 

    Solo hay que demostrar que u y v son ortogonales y que tienen el mismo módulo...

    Para lo primero utilizo la primera fórmula de Pepe: ¿ u v + v u = 0 ?

    Veamos...

u  =  ai + b + bi + c      y también      u  =  − a − di − d  − ci

 

sumando las dos expresiones...

 

2u  =  ( ai + b + bi + c − a − di − d  − ci )  =  ( (c−a)(1−i) − (d−b)(1+i) )

 

y análogamente...

2v  =  ( (c−a)(1+i) + (d−b)(1−i) )

2u  =  ( (ca)(1+i) − (db)(1−i) )

2v  =  ( (ca)(1−i) + (db)(1+i) )

por tanto...

4 (u v + v u)  =

=  ( (c−a)(1−i) − (d−b)(1+i) ) ( (ca)(1−i) + (db)(1+i) ) +

+ ( (c−a)(1+i) + (d−b)(1−i) ) ( (ca)(1+i) − (db)(1−i) )  =

=  − 2(c−a)(ca)i + 2(c−a)(db) − 2(d−b)(ca) − 2(d−b)(db)i +

+ 2(c−a)(ca)i − 2(c−a)(db) + 2(d−b)(ca) + 2(d−b)(db)i  =

=  0

 

    Para lo segundo hay que demostrar que  u u = v v , o sea , ¿ u u − v v = 0 ?

    Es similar...

4 (u u − v v)  =

=  ( (c−a)(1−i) − (d−b)(1+i) ) ( (ca)(1+i) − (db)(1−i) ) +

− ( (c−a)(1+i) + (d−b)(1−i) ) ( (ca)(1−i) + (db)(1+i) )  =

=  2(c−a)(ca) + 2(c−a)(db)i − 2(d−b)(ca)i + 2(d−b)(db) −

− 2(c−a)(ca) − 2(c−a)(db)i + 2(d−b)(ca)i − 2(d−b)(db)  =

=  0

 

    Nina nunca defrauda... Queda para el lector investigar hasta qué punto se puede generalizar este resultado para rectángulos no convexos... y para escuadras adosadas por el interior del rectángulo...

 

    Demuestra la afirmación de Pepe:  (ui · v) + (u · vi)  =  0


RESOLUCIÓN


    Yoyó Gaviota se adelantó a los demás:


    Mire profe. A partir de la segunda fórmula de Pepe...

    Por un lado  u v  =  (u · v) + (u · vi) i .

    Por otro lado  v u  =  (v · u) + (v · ui) i .

    Pero  u v  y  v u  son conjugados, de donde se tiene que  (u · vi)  y  (v · ui)  son opuestos.


   
Sin palabras...