viernes, 15 de junio de 2018

1538. Con dos medianas perpendiculares. RESOLUCIÓN

    El reto que ha traído hoy Pepe Chapuzas es bellísimo...

    Mire, profe. Un triángulo isósceles tiene dos medianas perpendiculares... ¿Cuánto miden sus ángulos? (Pista: dos ángulos son iguales, jajaja.)   ;-) 

    Imagínate el triángulo porque Pepe no nos ha dejado ningún dibujo y... ¡A medir!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla dedujo...

    Profe, mire. La mediana sobre el lado desigual es perpendicular a este lado y por lo tanto no puede ser perpendicular a otra mediana, de lo que se deduce que las dos medianas perpendiculares han de ser las medianas sobre los lados iguales...
    Estas medianas perpendiculares son iguales y forman con el lado desigual una escuadra. Como el baricentro divide a las medianas en proporción  1:2  tenemos las proporciones indicadas en el dibujo. Por lo tanto los ángulos iguales miden  arctg 3  =  71.565051177078º  y el ángulo desigual mide  180º – 2 · 71.565051177078º  =  36.869897645844º .

    Nina propuso un problema similar...

    Un triángulo rectángulo tiene dos medianas perpendiculares... ¿Cuánto miden sus ángulos? (Pista: un ángulo mide 90º, jajaja.)   ;-)

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso dedujo...

    Profe, mire. Como los catetos son perpendiculares, las medianas sobre los catetos no pueden ser perpendiculares, así que una de las medianas perpendiculares ha de ser la mediana sobre la hipotenusa.

    Si nombramos los segmentos como en el dibujo tenemos (gracias a Pitágoras).

(2x)2 + y2  =  (c/2)2             4x2 + y2  =  c2/4
(2y)2 + x2  =  (h/2)2             4y2 + x2  =  h2/4
y sumando...
5x2 + 5y2  =  h2/4 + c2/4
20·(x2 + y2)  =  h2 + c2
    Por otro lado...
(2x)2 + (2y)2  =  12                x2 + y2  =  1/4
de donde 
h2 + c=  5
    Y como
1 + c2  =  h2
tenemos
1 + c2 + c2  =  5
2·c2  =  4
c  =  2

    Por lo tanto los ángulos agudos del triángulo son

arctg2  =  54.735610317245º
90º – 54.735610317245º  =  35.264389682755º

miércoles, 13 de junio de 2018

1537. La cuarta dimensión. RESOLUCIÓN

    Pregunté ayer en clase si alguien podía imaginarse una cuarta dimensión..., y si podía explicar lo que se imaginaba... Esta mañana Pepe Chapuzas, cómo no, quería hablar y le di la palabra...

    Mire, profe. Yo me imagino las dimensiones duplicando puntos... Me explico... Un punto tiene dimensión cero.
    Dos puntos, determinan un segmento, esto es, una dimensión.
    Un cuadrado tiene cuatro vértices. En un cuadrado se ven claramente dos dimensiones: la base y la altura, o el largo y el ancho, o la abscisa y la ordenada, o la longitud y la latitud, o como queramos llamarlas... (Aunque para conseguir las dos dimensiones del plano bastarían tres puntos no alineados...)
    Con ocho puntos tenemos un cubo y visualizamos bien los tres ejes x-y-z. (Bastarían los cuatro vértices de un tetraedro, pero yo lo explico mejor con el cubo.)

    Para imaginarse bien la cuarta dimensión necesitamos dieciséis puntos (aunque bastarían solo cinco). La serie de objetos en orden creciente de dimensiones se completa así: punto-segmento-cuadrado-cubo-teseracto. Un segmento está limitado por 2 puntos, un cuadrado por 4 segmentos, un cubo por 6 cuadrados, y un teseracto... por 8 cubos... Un teseracto se puede dibujar así...
    Creo que a partir de este momento Pepe empezó a explicar lo que soñó anoche...

    Mire, profe. Cada dimensión tiene dos sentidos y cada uno se corresponde con un adjetivo terminado en -erior... Así tenemos el cubo SUPerior y el cubo INFerior, el cubo INTerior y el cubo EXTerior, el cubo CITerior y el cubo ULTerior, y el cubo ANTerior y el cubo POSTerior. Algunos de estos adjetivos hacen referencia tanto al lugar como al tiempo: ¡son adjetivos del "espaciotiempo"!
    En realidad vivimos en 4D..., en el espaciotiempo: x-y-z-t...
    Científicamente, el espacio y el tiempo están íntimamente unidos en el espaciotiempo... Pero no hace falta recurrir a la ciencia... Uno advierte que el espacio y el tiempo están intrincada e inextricablemente relacionados en el "espaciotiempo" no científico... ¿Tienes algo que aportar?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla añadió que los adjetivos en -erior se han utilizado para dividir países:

    Profe, mire...
    Hispania: Citerior y Ulterior
    Germania: Superior e Inferior
    Mongolia: Exterior e Interior
    Pomerania: Anterior y Posterior

    ¡El mundo no siempre se ha observado desde la perspectiva norte-sur y este-oeste!

    Por otro lado, cuando mencionamos "paleolítico superior" o "pleistoceno inferior" los adjetivos en -erior tienen connotaciones "espaciotemporales"... ¡Cuánto más hondo es lo que se excava... tanto más antiguo es lo que se halla!

    ¿Alguna aportación más?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso habló del año luz...

    Profe, mire. No dejará de sorprenderme esta unidad de longitud para medir las distancias a la que se encuentran las estrellas. Mejor dicho..., a la que se encontraban... Porque si la distancia es de 2000 años luz, entonces la estrella se encontraba ahí hace 2000 años... y ahora a lo mejor ni siquiera existe porque estalló hace 1000 años... y "nosotros" la seguiremos viéndola todavía durante 1000 años más... ¡No se pueden separar el espacio y el tiempo!

miércoles, 6 de junio de 2018

1536. Un enlace geométrico (2ª parte). RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas tenía un cuadrado y un círculo enlazados de la siguiente manera y una cuestión:
    Mire, profe. Si el área naranja mide 1m2, ¿cuánto mide el área amarilla?

    ¡Se ha abierto la veda! ¿Quién caza la solución?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla dividió el área naranja en un semicírculo y una escuadra mediante un segmento...
    Mire, profe. Como el ángulo recto de la escuadra está inscrito en el círculo, entonces la hipotenusa de la escuadra es el diámetro del círculo. Si la longitud de este segmento es 2R, entonces el área del semicírculo mide  π·R2/2  y la de la escuadra  R, por tanto

π·R2/2 + R2 = 1
R2 · (π/2 + 1) = 1
R2 = 1 / (π/2 + 1)

    El área del círculo mide  π·R2 = π / (π/2 + 1) .
    Por otro lado, el lado del cuadrado mide  R + R/2 = (1+1/2)·R  como se ve aquí...
    Por lo tanto, el área del cuadrado mide  (3/2 + 2) · R2  =  (3/2 + 2) / (π/2 + 1) .
    El área amarilla será el área del círculo más el área del cuadrado menos dos veces el área naranja: 
 (π + 3/2 + 2) / (π/2 + 1) – 2  =  0,3556 m, aproximadamente.

    ¿Cuánto mide el perímetro de la región naranja?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso comentó que era muy sencillo con los datos calculados por Nina...

    Profe, mire. Solo hay que sumar la semicircunferencia más ambos catetos de la escuadra. Esto es,  π·R + 2·R + 2·R  =  (π + 22) / R  =  (π + 22) / (π/2 + 1)  =  3,7234 m , aproximadamente.

martes, 5 de junio de 2018

1535. Una progresión aritmeticogeométrica. RESOLUCIÓN

    Demuestra que esta sucesión es el producto de una progresión aritmética y una progresión geométrica...

    ¡Otro reto de Pepe Chapuzas!
    Pepe podía haber escrito "progresión aritmeticogeométrica" que es el nombrecito que reciben tales sucesiones...

    ¿A qué esperáis?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla fue la primera en abordar el problema...

    Mire, profe. El término general de una progresión aritmética  A  viene dado un polinomio de primer grado y el término general de una progresión geométrica   B  viene dado por una función exponencial (de variable natural).

An = A1 + (n–1)·D
Bn = B1 · Rn–1

    Por lo tanto, el término general de una progresión aritmeticogeométrica  C  vendrá dado así

Cn = (A1 + (n–1)·D) · B1 · Rn–1 = (C1 + (n–1)·K) · Rn–1
    
    Para  n = 1 , tenemos que  C1 = 16
    Para  n = 2 , tenemos que  C2 = (16 + K) · R = 16 , por tanto  K = 16/R – 16
    Para  n = 3 , tenemos que  C3 = (16 + 2·K) · R2 = 12 , por tanto  K = 6/R2 – 8
    Igualando...
16/R – 16  =  6/R2 – 8
8 – 16/R + 6/R2  =  0
4·R2 – 8·R + 3  =  0

R1 = 1 + (16–12) / 4 = 3/2          K1 = 16 / (3/2) – 16 = 32/3 – 16 = –16/3
R2 = 1 – (16–12) / 4 = 1/2          K2 = 16 / (1/2) – 16 = 32 – 16 = 16

    Para  n = 4 , tenemos, o bien  C4 = (16 + 3·K1) · R13 = (16 – 16) · 27/8 = 0 , que es falso..., o bien C4 = (16 + 3·K2) · R23 = (16 + 48) · 1/8 = 64 / 8 = 8 , que es cierto.
    Para  n = 5 , tenemos que  C5 = (16 + 4·K2) · R24 = (16 + 64) · 1/16 = 80/16 = 5 , que es cierto.

    Así pues,  C(16 + 16·(n–1)) · (1/2)n–1  es una progresión aritmeticogeométrica.

    Pedí a mis boquiabiertos alumnos que calcularan la suma de sus infinitos términos (la serie infinita). Solo les indiqué que la convergencia estaba asegurada porque  –1 < R < 1 .

RESOLUCIÓN

    Veamos cómo se le da la suma a Yoyó Peluso...

    Profe, mire. Llamemos  S  a la suma de los infinitos términos que me ha asegurado que existe.
S  =  C+ (C+ K) · R + (C+ 2·K) · R2 + (C+ 3·K) · R3 + (C+ 4·K) · R4 + ...

    Multiplicando por  R

S · R  =  C· R + (C+ K) · R2 + (C+ 2·K) · R3 + (C+ 3·K) · R4 + ...

    Restando las dos igualdades...

S – S · R  =  C+ K·R + R2 + K·R3 + K·R4 + ...
S · (1–R)  =  C+ K·R / (1–R)
S  =  C/ (1–R) + K·R / (1–R)2   
    En nuestro caso...

S  =  16 / (1/2) + 16 · 1/2 / (1/2)2  =  32 + 32  =  64

lunes, 4 de junio de 2018

1534. Las progresiones armónicas. RESOLUCIÓN

    Si tomamos 3 términos consecutivos de una progresión aritmética, el del medio es la media aritmética de los otros dos. Esto es obvio porque si  M  es el término del medio y  D  es la diferencia de la progresión, entonces  M–D  y  M+D  son los otros dos, y su media aritmética...

( M–D + M+D ) / 2  =  2·M / 2  =  M

    Si tomamos 3 términos consecutivos de una progresión geométrica, el del medio es la media geométrica de los otros dos. Esto es obvio porque si  M  es el término del medio y  R  es la razón de la progresión, entonces  M/R  y  M·R  son los otros dos, y su media geométrica...

(M/R · M·R)  =  M2  =  M

    Mire, profe... Si en cada trío de términos consecutivos de una sucesión, el del medio fuera la media armónica de los otros dos, ¿podríamos decir que se trata de una progresión armónica?



    Mi respuesta a Pepe Chapuzas fue afirmativa... Efectivamente existían, y así se llamaban, tales progresiones: armónicas... Pero nunca habíamos hablado de ellas en clase...

    Al hilo de esta pregunta enuncié un ejercicio fácil... Había que demostrar que una sucesión  S  era una progresión armónica si y solo si la sucesión inversa  1/S  era una progresión aritmética...

    ¿Hay algún demostrador por ahí?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla demostró primero que si  1/S  era una progresión aritmética, entonces  S  era una progresión armónica tal como la había definido Pepe... 

    Mire, profe.

    Consideremos 3 términos consecutivos L, M y N de la sucesión  S . Si D es la diferencia de la progresión aritmética  1/S , entonces

1/L  =  1/M – D   y   1/N  =  1/M + D

y la media armónica de L y N será

2 / (1/L+1/N)  =  2 / (1/M–D + 1/M+D)  =  2 / (2/M)  =  M

    Por lo tanto,  S  es una progresión armónica.

    A continuación, Nina demostró lo recíproco por inducción...

    Consideremos los 2 primeros términos A y B  de la progresión armónica  S  y sea

D  =  1/B – 1/A

    Si suponemos que para 3 términos consecutivos L, M y N de la progresión armónica  S  se cumple que 
1/M – 1/L  =  D

entonces, como M es la media armónica de L y N

1/N – 1/M =
= 1/N – (1/L+1/N) / 2  =
=  (1/N–1/L) / 2  = 
=  (1/L+1/N) / 2 – 1/L  =
=  1/M – 1/L =
=  D

    Por lo tanto,  1/S  es una progresión aritmética.

    Nina Guindilla comentó que de forma paralela se puede demostrar que si en cada trío de términos consecutivos de una sucesión, el del medio fuera la media aritmética [geométrica] de los otros dos, entonces la sucesión sería una progresión aritmética [geométrica positiva]...

    ¡En Matemáticas, el rigor es el rigor...!

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso mató dos pájaros de un tiro... por inducción...

    Mire, profe. Sea  D  [R]  la diferencia [razón] entre los dos primeros términos A y B de la sucesión...
D = B–A
R = B/A ]

    Dados tres términos consecutivos L, M y K de la sucesión, , si suponemos que


M–L = D
[ M/L = R ]

como M es la media aritmética [geométricade L y K, tenemos...


K–M  =  K – (L+K)/2  =  (K–L)/2  =  (L+K)/2 – L  =  M–L  =  D
[ K/M  =  K / (L·K)  =  (K/L)  =  (L·K) / L  =  M/L  =  R ]

    Para terminar, Yoyó comentó que el ejemplo más sencillo de progresión armónica era:

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, ...

que estaba relacionada con los armónicos musicales...

miércoles, 23 de mayo de 2018

1533. Razón y sinrazón... (2ª parte). RESOLUCIÓN

    Los ángulos de un triángulo rectángulo están en progresión geométrica... Calcula la razón de dicha progresión...

    Este es el problema con que nos ha obsequiado Pepe Chapuzas para alegrarnos el día... Alégranos tú con la solución...

SOLUCIÓN

    A Nina Guindilla se le da bien alegrar el día con soluciones...

    Mire, profe. Podemos suponer que la razón  r  de la progresión es mayor que 1, por lo que en la progresión de los ángulos  a < ar < ar, el ángulo recto será  ar2 , y los ángulos agudos, que son complementarios, serán  a  y  ar . Esto es
r > 1
ar= 90º
a + ar = 90º
y por tanto
ar2 = ar + a
ar2 – ar – a = 0
que dividiendo entre  a
r2 – r – 1 = 0
r = (1+5) / 2 = φ = 1,618...

    ¡La razón de la progresión es la razón áurea!

    Calcula en forma compleja (grados, minutos y segundos) los ángulos agudos de este triángulo...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso realizó los cálculos...

    Mire, profe. Un ángulo será
90º / φ = 55,623059 = 55º 37' 23"
y el otro
90º – 55º 37' 23" = 34º 22' 37"

    Por supuesto, la solución no es exacta: Yoyó ha redondeado...

    El que esté interesado en triángulos rectángulos con lados en progresión geométrica puede visitar la entrada... 

1532. Razón y sinrazón... RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas ha retado a la clase:

    Los lados de un triángulo están en progresión geométrica de razón  r . ¿Qué valores puede tomar dicha razón  r ?

    ¡Gana el reto!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla razonó...

    Mire, profe. El lado mayor de un triángulo es menor que la suma de los otros dos...

    Si  r = 1  entonces los tres lados son iguales y el triángulo es equilátero... (Hay gente que opina que la razón de una progresión geométrica no puede ser 1, lo cual es una sinrazón.)

    Si  r > 1 , entonces  a < ar < ar. Y por lo tanto


a + ar > ar2
1 + r > r2
r2 – r – 1 < 0
1 < r < (1+5)/2 = φ

    La razón de la progresión tiene que ser menor que la razón áurea  φ = 1,618...


    Si  r < 1 , entonces  a > ar > ar. Y por lo tanto


a < ar + ar2
1 < r + r2
r2 + r – 1 > 0

 y con la fórmula de la solución de la ecuación cuadrática...

1 > r > (–1+5)/2 = 1/φ

    La razón de la progresión tiene que ser mayor que  1/φ = 0,618...

    Por lo tanto
1/φ < r < φ

    Y si en vez de un triángulo tuviéramos un cuadrilátero con lados en progresión geométrica... ¿Qué valores podría tomar la razón de dicha progresión?
    Y si fuera un polígono de  n  lados... ¿Quá valores podría tomar la razón si  n  tiende a infinito?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso tomó el relevo en el razonamiento...

    Mire, profe. Los lados del cuadrilátero serán a, ar, ar2 y ar3.
    Si r = 1 tenemos un cuadrado...
    Si r > 1, tenemos 
a < ar < ar2 < ar3
a + ar + ar2 > ar3
1 + r + r2 > r3
 r3 – r– r – 1 < 0

y con la fórmula de la solución de la ecuación cúbica...


    Si r < 1, podemos invertir el orden de los lados del cuadrilátero y la razón de la progresión sería entonces 1/r > 1, y por lo anterior

    Aproximadamente...
0,543689... < r < 1,839286...

    En el caso de un polígono de  n  lados...
    Si fuera r < 1, tendríamos
a > ar > ar2 > ar3 > ... > arn
a < ar + ar2 +...+ arn
1 < r + r2 +...+ rn

    Cuando n tiende a infinito...
1 < r / (1–r)
1–r < r
1 < 2r
r > 1/2
    Y si fuera r > 1, invirtiendo el orden...
1/r < 1
a > a/r > a/r2 > a/r3 > ... > a/rn
y por lo anterior
1/r > 1/2
r < 2
    Por tanto
0,5 < r < 2

lunes, 21 de mayo de 2018

1531. Explementarios. RESOLUCIÓN

    El reto de la semana era sencillo... Había que calcular el ángulo x. Pepe Chapuzas lo resolvió al instante...
    Mire, profe. La suma de tres ángulos internos de un cuadrilátero es igual al explementario del cuarto. De esta forma es muy fácil resolver el reto...  x = 22º + 33º + 44º = 99º

    ¿Qué significa explementario? Explica la solución de Pepe...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla explicó:

    Profe, mire. El ángulo de 0º se llama nulo,,, A partir de aquí...

    Los ángulos entre 0º y 90º se llaman agudos
        Dos ángulos agudos son complementarios si suman 90º. 
            El ángulo de 45º se llama inglete y es "autocomplementario" (45º+45º = 90º). 
                Los ángulos entre 90º y 180º se llaman obtusos.

    Los ángulos entre 0º y 180º se llaman convexos
        Dos ángulos convexos son suplementarios si suman 180º.
            El ángulo de 90º se llama recto es "autosuplementario" (90º+90º = 180º).
                Los ángulos entre 180º y 360º se llaman cóncavos.

    Los ángulos entre 0º y 360º se llaman propios.
        Dos ángulos son explementarios o conjugados si suman 360º.
            El ángulo de 180º se llama llano y es "autoexplementario" (180º+180º = 360º).
                Los ángulos entre 360º e infinito se llaman impropios...

    El ángulo de 360º, por último, se llama completo... 

    Nina ha clasificado los ángulos sin signo (no orientados). Los libros de texto hablan de complementarios y suplementarios, pero absurdamente omiten los explementarios... Nina añadió:

    El argumento de Pepe, por tanto, se puede decir de otra manera: la suma de los cuatro ángulos internos de un cuadrilátero es un ángulo completo.

    Y no terminó sin una pregunta:

    ¿Cuánto mide el explementario del suplementario del complementario de 55º?

    Parece un trabalenguas...

RESOLUCIÓN

    He aquí la respuesta de Yoyó Peluso:

    El complementario de 55º es 90º–55º = 35º.
    El suplementario de 35º es 180º–35º = 145º.
    El explementario de 145º es 360º–145º = 215º.

jueves, 17 de mayo de 2018

1530. Cuadriláteros ortodiagonales. RESOLUCIÓN

    Profe, mire. La fórmula del área del rombo...  A = D·d/2  se puede aplicar a todos los cuadriláteros ortodiagonales, esto es, a aquellos cuyas diagonales "D" y "d" son perpendiculares... (Está claro que los rombos son ortodiagonales...) El siguiente dibujo muestra lo que he dicho:
    Pepe Chapuzas ha abierto una vía de investigación... Buscad información acerca de los cuadriláteros ortodiagonales y ya nos contaréis...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla encontró un precioso teorema relacionado con los cuadriláteros ortodiagonales...

    Mire, profe. Si construimos un cuadrado sobre cada lado de un cuadrilátero ortodiagonal, entonces el área de dos cuadrados opuestos coincide con la de los otros dos... En el dibujo tendríamos  ÁREA AZUL = ÁREA NARANJA .

    Por supuesto, Nina traía una demostración...

    Mire, profe. Nombremos  P ,  Q ,  R  y  S  a los vértices del cuadrilátero y  T  a la intersección de las diagonales. Por el teorema de Pitágoras...


PS2 + RQ2= (PT2 + TS2) + (RT2 + TQ2) =

reordenando y de nuevo con Pitágoras...


= (PT2 + TQ2) + (RT2 + TS2) = PQ2 + RS2

que es lo que había que demostrar...

    Nina nos propone otro tema para investigar:

    Profe, mire. Se dice que un cuadrilátero es equidiagonal si sus diagonales tienen la misma longitud... ¡Buscad información!

RESOLUCIÓN

     Yoyó Peluso encontró un bonito teorema:

    Mire, profe. Este cuadrilátero es equidiagonal porque  |PR| = |QS| . Resulta que el área de un cuadrilátero equidiagonal es igual al producto de sus bimedianas. (Una bimediana de un cuadrilátero es el segmento que une los puntos medios de dos lados opuestos.) Si K, L, M y N son los puntos medios de los lados como se muestra en la figura, entonces...


A = |KM|·|LN|

    Además, las bimedianas de un cuadrilátero equidiagonal son perpendiculares...

    Veamos la demostración:

    Mire, profe. El cuadrilátero KLMN es el paralelogramo de Varignon del cuadrilátero PQRS. Los lados KL y MN son paralelos a la diagonal PR y los lados LM y NK son paralelos a la diagonal QS. Como...
|KL| = |MN| = |PR|/2 = |QS|/2 = |LM| = |NK|

...el paralelogramo KLMN es un rombo y KM y LN son sus diagonales, lo que asegura su perpendicularidad... Y como el área de un cuadrilátero es el doble del área de su paralelogramo de Varignon...


A = 2·|KM|·|LN|/2 = |KM|·|LN|

    Yoyó terminó con el siguiente comentario...

    Mire, profe. Si un cuadrilátero es ortodiagonal y equidiagonal a la vez, entonces su paralelogramo de Varignon es un cuadrado...