1686. El teorema de Haruki

    Mire, profe. Tres circunferencias son mutuamente secantes. En total hay 6 puntos de intersección, A, B, C, D, E y F, que son vértices consecutivos de un hexágono en el que ningún lado es cuerda común de dos circunferencias y tres lados consecutivos cualesquiera son sucesivamente sendas cuerdas de las tres circunferencias. Entonces se tiene la siguiente relación entre las longitudes de los lados del hexágono AB·CD·EF = BC·DE·FA.

    Pepe Chapuza enunció el teorema de Haruki con este dibujo para situarnos... Habrá que proporcionar una demostración, ¿verdad?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla se sirvió del dibujo para ofrecer una demostración...

    Profe, mire. Cada pareja de circunferencias tiene un eje radical que pasa por sus dos puntos de intersección. La intersección de los tres ejes radicales es el centro radical G de las tres circunferencias. Los triángulo ABG y EDG son semejantes porque tienen los mismos ángulos (opuestos por el vértice o inscritos en la misma circunferencia y abarcando el mismo arco), por lo que AB:BG = DE:DG. Igualmente son semejantes los triángulos CDG y AFG, por lo que CD:DG = FA:FG; y los triángulos CBG y EFG, por lo que EF:FG = BC:BG. Multiplicando las tres igualdades tenemos AB·CD·EF:BG:DG:FG = BC·DE·FA:BG:DG:FG, de donde se obtiene el resultado.

    ¿Se sigue cumpliendo el teorema si la disposición de las circunferencias no es la del dibujo de Pepe?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota dibujó distintas disposiciones comprobando que todo seguía funcionando:

    Se deja al lector investigar otras disposiciones y los casos límite: con puntos de intersección coincidentes, con circunferencias tangentes en vez de secantes, con los centros de las circunferencias alineados (con ejes radicales paralelos y sin centro radical) o si en vez de circunferencia hay alguna recta...