Profe, mire. En un estuche caben dos perlas sueltas, y también una pulsera de perlas ensartadas. Cuando cierro el estuche, las perlas sueltas se tocan y también tocan la pared del estuche; y cada perla de la pulsera toca las dos perlas sueltas, la pared del estuche y, lógicamente, sus dos perlas contiguas en la pulsera. Las perlas pueden no ser del mismo tamaño pero son perfectamente esféricas; el interior del estuche también es una esfera perfecta... ¿Cuántas perlas tiene la pulsera?
Este enunciado que nos ha leído Pepe Chapuza apareció en un templo de Japón. Busca la solución...
SOLUCIÓN
Nina Guindilla encontró que esta disposición se denominaba sexteto de Soddy y que la pulsera está formada por seis perlas... Nos mostró un dibujo... y luego explicó este resultado...
Profe, mire. La función "vectorial" del "espacio" R³ ∪ {∞} en sí mismo
inv (v) = v/v² si v ≠ o y v ≠ ∞
inv (o) = ∞ e inv (∞) = o
se denomina inversión.
Mire, profe. En lo que sigue supondremos que v no es ni o ni ∞...
La inversión es una función autorrecíproca, esto es, inv ○ inv = id, y por tanto es biyectiva,
inv (inv (v)) = inv (v/v²)= (v/v²)/(v²/(v²)²) = (v²)²/(v²)² v = v
inv (inv (o)) = o inv (inv (∞) = ∞
Veamos cómo se invierte una esfera (superficie esférica) σ de centro c y radio r...
Si la esfera no pasa por o entonces c² ≠ r²
σ : (v−c)² − r² = 0
σ : v² − 2c·v + c² − r² = 0
inv(σ) : 1/v² − 2c·v/v² + c² − r² = 0
inv(σ) : 1/(c² − r²) − 2c·v/(c² − r²) + v² = 0
inv(σ) : (v − c/(c² − r²))² + 1/(c² − r²) − c²/(c² − r²)² = 0
inv(σ) : (v − c/(c² − r²))² − r²/(c² − r²)² = 0
que es una esfera...
Si la esfera pasa por o entonces c² = r²
σ : (v−c)² − c² = 0
σ : 2c·v − v² = 0
inv(σ) : 2c·v/v² − 1/v²= 0
inv(σ) : c·v − 1/2 = 0
inv(σ) : c·v − c²/c²/2 = 0
inv (σ) : c · (v − c/c²/2)= 0
que, añadiendo ∞, es un "plano".
Consideremos las esferas del problema... Sean α y β las de las perlas sueltas, γ la del estuche y δ, ε, ζ, η, ... las de la pulsera. Ubiquemos o en el punto de contacto entre α y β, entonces inv(α) e inv(β) son dos "planos" "paralelos" porque solo tienen en común ∞, e inv(γ), inv(δ), inv(ε), inv(ζ), inv(η), ... son esferas tangentes a esos dos "planos" por lo que todas tienen el mismo tamaño y, debido a la tangencia de las esferas de la pulsera entre sí y con las esfera del estuche, tienen la siguiente disposición:
De donde se deduce que en la pulsera hay seis esferas... δ, ε, ζ, η, θ y ι, esto es, seis perlas.
¡Bien deducido! ¿Qué relación guardan los radios de las nueve esferas?
RESOLUCIÓN
Yoyó Gaviota encontró estas relaciones en Internet:
1/rδ + 1/rε + 1/rζ + 1/rη + 1/rθ + 1/rι =
= 2/rδ + 2/rζ + 2/rθ = 2/rε + 2/rη + 2/rι =
= 3/rδ + 3/rη = 3/rε + 3/rθ = 3/rζ + 3/rι =
= 6/rα + 6/rβ − 6/rγ
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