1687. Las constantes de Feigenbaum

    Pepe Chapuza estaba trabajando con el siguiente polinomio de segundo grado: 

P_m(x) = x² + m

    Mire, profe. Si componemos P_m consigo mismo tenemos un polinomio de cuarto grado:

P_m²⁾(x) = P_m(P_m(x)) = P_m(x² + m) = (x² + m)² + m = x⁴ + 2mx² + m² + m

    Si volvemos a componer tenemos P_m³⁾(x) que será un polinomio de octavo grado... y así sucesivamente P_mⁿ⁾(x) será un polinomio de grado 2ⁿ. Pues bien, consideremos ahora la sucesión P_mⁿ⁾(0) (donde P_m¹⁾(0) = P_m(0) = m). Los primeros términos de esta sucesión son: m, m² + m, (m² + m)² + m, ... La cuestión es: ¿Cuál es el comportamiento de esta sucesión?

     Dicho comportamiento dependerá del valor de m, ¿verdad?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla probó con algunos valores para m.

    Profe, mire. Si m = 0, la sucesión es constante: 0, 0, 0, 0, 0, 0, ... Si m = 1, la sucesión diverge rápidamente: 1, 2, 5, 26, 677, 458330, ... Si m = −1, la sucesión es oscilante: −1, 0, −1, 0, −1, 0, ... Pongamos un poco de orden... ¿Para qué valores de m, la sucesión P_mⁿ⁾(0) tiene puntos límite y cuántos? Consideramos la "función" L(m) que a cada valor de m le hace corresponder el conjunto de los puntos límite de la sucesión P_mⁿ⁾(0). En los casos anteriores, L(0) = {0}, L(1) = {} y L(−1) = {−1, 0}. 

    Buscaremos primero sucesiones con un punto límite l_m = lim _n→∞ P_mⁿ⁾(0), esto es, L(m) = {l_m}, es decir, sucesiones convergentes... Para ese valor, l_m = P_m(l_m). Buscaremos los casos seguros en los que −1 < P_m'(l_m) < 1.

P_m(l_m) = l_m² + m = l_m

l_m² − l_m + m = 0

l_m = 1/2 ± √(1/4−m)

    La derivada...

P_m'(l_m) = 2·l_m

 −1 < 2·l_m < 1

−1 < 1 ± 2√(1/4−m) < 1

−1 < −√(1/4−m) < 0

−1 < m − 1/4 < 0

−3/4 < m < 1/4

    Estos no son los únicos valores de m que aseguran la convergencia. Para m = −2 tenemos la sucesión: −2, 2, 2, 2, 2, 2, esto es, L(−2) = {2}. También se tiene la convergencia para m = 1/4 con L(1/4) = {1/2} y para m = −3/4 con L(−3/4) = {−1/2}.

    Busquemos ahora las sucesiones con dos puntos límite, o sea, L(m) = {l_m, P_m(l_m)}. Ahora tenemos que l_m = lim _n→∞ P_m²ⁿ⁻¹⁾(0)  y que l_m = P_m²⁾(l_m).

P_m²⁾(l_m) = l_m⁴ + 2·m·l_m² + m² + m = l_m

l_m⁴ + 2·m·l_m² − l_m² + m² + m = 0

    Simplificamos la ecuación eliminando las soluciones correspondientes a sucesiones convergentes, en las que l_m= P_m(l_m) = P_m²⁾(l_m).

( l_m⁴ + 2·m·l_m² − l_m² + m² + m ) / ( l_m² − l_m + m ) = 0

  l_m² + l_m + m + 1 = 0

l_m = −1/2 − √(1/4−m−1)

P_m(l_m) = −1/2 + √(1/4−m−1

    La derivada...

−1 < P_m²⁾ '(l_m) < 1

−1 < 4·l_m³ + 4m·l_m < 1

−1/4 < l_m·(l_m² + m) < 1/4

−1/4 < l_m·(−l_m−1) < 1/4

−1/4 < − l_m² − l_m < 1/4

−1/4 < m + 1 < 1/4

−5/4 < m < −3/4

    Podemos dibujar a mano estos dos arcos de parábola en una gráfica... pero el grado de las ecuaciones crecen exponencialmente respecto del número de puntos límite... así que solo con la fuerza bruta de los ordenadores podemos ver cómo se duplican una y otra vez los puntos límite en el denominado diagrama de bifurcaciones o árbol de Feigenbaum.  ;-)

    Los arcos entre bifurcaciones son cada vez más pequeños. ¿A qué ritmo menguan?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota encontró en Internet las llamadas constantes de Feigenbaum que nos dan una idea de cómo menguan los arcos a lo largo y a lo ancho: ¡casi como progresiones geométricas!

    Profe, mire. La primera constante de Feigenbaum es δ = 4,6692... = lim _n→∞ (d_n/d_n+1) y la segunda constante de Feigenbaum es α = 2,5029... = lim _n→∞ (a_n/a_n+1).

    Mire, profe. ¡Hemos estado estudiando la parte real del conjunto de Mandelbrot!