1688. El teorema de Rolle

     Mire, profe. El teorema de Rolle dice que si f es una función real de variable real que es continua en un intervalo cerrado [a, b], derivable en el intervalo abierto (a, b) y tal que f(a) = f(b), entonces se tiene que existe al menos un valor c ∈ (a, b) para el cual f '(c) = 0.

    Pepe Chapuza enunció este teorema. El número (punto de la recta real) c, donde se anula la derivada, se denomina punto crítico. Con este enunciado Pepe propuso el siguiente ejercicio.

    Profe, mire la siguiente función definida a trozos:

f(x) = Ax² + Bx − C + 1   si 1≤ x ≤ 2

f(x) = Cx³ + Bx² − Ax    si 2 ≤ x ≤  3

    ¿Para qué valores A, B y C se verifican las hipótesis del teorema de Rolle y dónde se cumple la tesis?

    ¿Quién quiere resolver este ejercicio?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla planteó un sistema de ecuaciones:

    Mire, profe. 

    Si la función tiene que ser continua en [1, 3], entonces los límites laterales de f cuando x tiende a 2 deben coincidir. (En los demás valores de x no hay problemas por tratarse de polinomios.) Además f(2) está definida en ambos trozos... Por lo tanto  4A + 2B − C + 1 = 8C + 4B −2A . 

    Si la función tiene que ser derivable en (1, 3), entonces las derivadas laterales de f en x = 2 deben coincidir:

f '(x) = 2Ax + B    si 1≤ x ≤ 2

f '(x) = 3Cx² + 2Bx − A    si 2 ≤ x ≤  3

    Por lo tanto  4A + B = 12C + 4B − A .

    Si además tiene que ser f(1) = f(3), 3ntonces  A + B − C + 1 = 27C + 9B − 3A.

    Tenemos que resolver el sistema:

6A − 2B − 9C = −1

5A − 3B − 12C = 0

4A − 8B − 28C = −1

    Con la calculadora obengo

A = −15/4

B = 119/4

C = −9

    Falta el punto crítico...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota anuló la derivada...

    Mire, profe. En el primer trozo no está

2(−15/4)c + 119/4 = 0

c = 2·119/15 = 15,8666... ∉ (1, 2]

y en el segundo...

3(−9)c² + 2(119/4)c − (−15/4) = 0

− 108c² + 238c + 15 = 0

c = −0,06132... ∉ [2, 3)

c = 2,26502... ∈ [2, 3)

    Este último valor es la solución...