martes, 3 de mayo de 2016

967. El teorema de Apolonio. RESOLUCIÓN

    Mandé buscar información sobre el teorema de Apolonio, también llamado teorema de la mediana, y Pepe Chapuzas dio el siguiente enunciado:

    En un triángulo, una mediana parte un lado por la mitad. El teorema de Apolonio afirma que la suma de los cuadrados de la mediana y del medio lado es igual a la media de los cuadrados de los otros dos lados...
    El enunciado era un poco confuso, por no decir chapucero... Menos mal que venía acompañado de dibujos que lo aclaraban bastante bien.
    No incluyo la demostración que dio Pepe. Esa me la tienes que dar tú...

SOLUCIÓN
    Mire, profe. Por el teorema del coseno tenemos...
a2 = m2 + c2/4 – m·c·cosθ    *
b2 = m2 + c2/4 – m·c·cosθ'     
    Como θ y θ' son suplementarios...
b2 = m2 + c2/4 + m·c·cosθ    *
    Y haciendo la media de las dos igualdades marcadas con * tenemos...
(a2 + b2 )/2 = m + c2 /4.      

    Demuestra que si aplicamos el teorema de Apolonio a un triángulo isósceles, tenemos el teorema de Pitágoras...

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. Un triángulos isósceles tiene 2 lados iguales (a=b), y la mediana (m) sobre el lado desigual (c) divide al triángulo isósceles en 2 triángulos rectángulos simétricos... El teorema de Apolonio se transforma en el teorema de Pitágoras aplicado a uno de esos triángulos rectángulos, ya que "a" es ahora la hipotenusa y "m" y "c:2" los catetos...

(a2 + b2 )/2 = m + (c:2)2
(a2 + a2 )/2 = m + (c:2)2
a2 = m + (c:2)2

    Le dije a Yoyó Peluso que acompañara su explicación con un dibujo...

    Profe, el dibujito lo tiene cada uno en su imaginación...

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