martes, 17 de mayo de 2016

992. Una razón irracional. RESOLUCIÓN

    Profe, mire. El cuadrado de un número par es un número par y el cuadrado de un número impar es un número impar. La prueba es muy sencilla... Si un número es par, entonces termina en 0, 2, 4, 6 u 8 y su cuadrado terminará en 0, 4, 6, 6 o 4 respectivamente. Y si es impar, entonces termina en 1, 3, 5, 7 o 9 y su cuadrado terminará en 1, 9, 5, 9 o 1 respectivamente...

    Pepe Chapuzas estaba orgulloso de haber deducido algo... que todo el mundo sabía...
    Aprovechando su "demostración" le hablé de la irracionalidad de 2. Le recordé que 2 era el valor de la razón entre la diagonal y el lado de un cuadrado como ya habíamos visto con el teorema de Pitágoras. ¡Era una razón irracional! Y añadí que esto se podía demostrar por reducción al absurdo, es decir, suponiendo que 2 fuera racional y llegando a una contradicción... Pepe estuvo muy atento a la explicación: esto es lo que apuntó en su cuaderno...
    Si 2 fuera racional, se podría escribir como una fracción irreducible, o sea, 2 = a/b  (siendo a y b coprimos)... 
    Por lo tanto, elevando al cuadrado, a2/b2 2, 
y despejando, a2 2b2,    (*) 
por lo tanto a2 sería par... y a también,
o sea, a = 2c, para cierto número natural c.
por tanto, a2 = 4c2,    (**)
e igualando (*) y (**) tenemos 2b2  4c2, y despejando, b2  2c2, 
y por lo tanto b2 sería par... y b también...
    Pero si a y b fueran ambos pares, no serían coprimos... y la fracción irreducible a/b sería una fracción reducible (se podría simplificar dividiendo por 2)... en evidente contradicción...
    Por todo ello, 2 no se puede escribir como una fracción irreducible... y no es un número racional... sino irracional....

    Ahora te toca a ti. Demuestra que es un número irracional.

SOLUCIÓN

    Mire, profe. Si 3 fuera racional, habría dos números naturales, a y b, primos entre sí tales que 3 = a/b, por lo que a2/b2 = 3, y a2 = 3b2, por lo que a2  y a serían múltiplos de 3, o sea, a = 3c, y por lo tanto a2 = 9c2, o sea, b2 = 3c2, por lo que b2  y b serían múltiplos de 3, lo que contradice la hipótesis de que a y b eran primos entre sí.

    La demostración de Nina Guindilla era similar a la de 2. Parecería que se podría aplicar el mismo argumento para cualquier n, pero hay raíces cuadradas de naturales que son racionales, (4 sin ir más lejos). ¿Dónde fallaría el argumento para la "demostración" de 4?

RESOLUCIÓN

    Si 4 = a/b entonces a2/b2  = 4 y a= 4b2. De aquí se deduce que a2 es múltiplo de 4 pero a puede ser múltiplo de 2 por lo que el hilo argumental se interrumpe...

    Yoyó Peluso es racional...

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