988. El teorema de Marden. RESOLUCIÓN

    A Pepe Chapuzas le apasionan los resultados en los que se mezclan distintas partes de las Matemáticas... Por ejemplo, la identidad de Euler:

    Así que un día le hablé del teorema de Marden...
    Empecé con Gauss: que demostró que un polinomio complejo de grado N tenía exactamente N raíces (teorema fundamental del Álgebra); y que representó los números complejos como puntos de un plano (el plano de Gauss).
    Después seguí con Steiner: que resolvió el problema de encontrar la elipse de mayor área inscrita en un triángulo, que resultó ser la que pasa por los puntos medios de los tres lados (la inelipse de Steiner.)
    Y así llegué a Marden: que cogió un triángulo en el plano de Gauss y un polinomio complejo de tercer grado... de tal manera... que las raíces de este fueran los vértices de aquel, y descubrió que las raíces de la derivada del polinomio... eran los focos de la inelipse de Steiner (teorema de Marden).

 

    Pepe no podía disimular su asombro... Se puso a garabatear en su cuaderno y al cabo de un rato me comentó:

   

    Profe, mire. La raíz de la segunda derivada del polinomio cae en el baricentro del triángulo... y el centro de la inelipse de Steiner también...

    Demuestra lo que ha dicho Pepe y me lo mandas... pero sin garabatos.

    Si te resulta difícil imaginarte polinomios con coeficientes imaginarios, supón que son reales (incluido el término independiente). ¡Entiéndelo bien!: un polinomio complejo con coeficientes reales... En tal caso...

    a) El triángulo no puede ser escaleno... ¿Por qué?

    b) ¿Cuándo será equilátero el triángulo?

    c) ¿Cuándo serán reales y cuándo imaginarios los focos de la inelipse de Steiner?

SOLUCIÓN

    A Nina Guindilla la identidad de Euler le despertó la curiosidad... ¿Estaban los números "mágicos" e, i y π tan íntimamente relacionados? Con el teorema de Marden le pasó algo parecido... ¡Se juntaban en un teorema cosas tan diferentes: cónicas, complejos, derivadas, baricentros...!

    Profe, a ver si he entendido bien el teorema de Marden... Sean a, b y c tres números complejos no alineados (para que puedan ser vértices de un triángulo). Y sea P(z) un polinomio complejo de tercer grado cuyas raíces sean a, b y c, es decir, P(z) = (z–a)·(z–b)·(z–c)·d, donde d es el coeficiente principal (complejo)...

    La derivada P'(z) = ((z–a)·(z–b)+(z–a)·(z–c)+(z–b)·(z–c))·d = (3z² – 2(a+b+c)z + ab+ac+bc)·d es un polinomio de segundo grado cuyas raíces, según el teorema de Marden, son los focos de la inelipse de Steiner... El centro de una elipse es el punto medio de los focos... en este caso, el punto medio de las raíces, o sea, 2(a+b+c)/6 = (a+b+c)/3 = g, que no es otra cosa que el baricentro del triángulo...

    Ahora había que contestar a las preguntas sobre polinomios con coeficientes reales...

    a) Si el polinomio de tercer grado tiene coeficientes reales, no puede tener las tres raíces reales, pues hemos supuesto que las raíces no están alineadas, así que una raíz es real y las otras dos imaginarias conjugadas. Las raíces serían pues, vértices de un triángulo isósceles o equilátero, no escaleno. 

    b) Si el triángulo es equilátero, la elipse degenera en una circunferencia, los focos en el centro, y las raíces de la derivada en una raíz doble: P'(z) = (z–g)²·3d. Por lo tanto el polinomio es de la forma P(z) = (z–g)³·d + k.

    c) Si el triángulo isósceles es acutángulo, el eje mayor de la inelipse de Steiner está en eje real y sus focos serán reales. Si el triángulo isósceles es obtusángulo, el eje mayor de la inelipse de Steiner es vertical y sus focos serán imaginarios conjugados.

     Profe, con coeficientes reales todavía queda un caso... (que hemos excluido). Puede ser una raíz real y las otras dos imaginarias conjugadas... y las tres estar alineadas... (No habría ningún triángulo...) Y por supuesto, quedan excluidos los polinomios de tercer grado con raíces dobles o triples...

    Investiga la relación que existe entre un polinomio real de tercer grado P(x) y su homólogo complejo P(z). En particular, la relación entre los máximos y mínimos relativos de P(x) y los focos de la inelipse de Steiner de P(z)... y entre el punto de inflexión de P(x) y el baricentro del triángulo de P(z)...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso superpuso la gráfica de un polinomio real (en el plano real R²) sobre el triángulo y la inelipse del polinomio complejo (en el plano complejo C)...

    Profe, mire. Un polinomio real de tercer grado siempre tiene una raíz real (como consecuencia del teorema de Bolzano) y su derivada es un polinomio de segundo grado que tendrá o no raíces (puntos críticos) según el signo del discriminante... Si el discriminante es nulo hay un punto crítico que es un punto de inflexión con recta tangente horizontal (centro de la inelipse degenerada en circunferencia). Si el discriminante es positivo hay dos puntos críticos que son un mínimo y un máximo relativos (focos reales de la inelipse). Y si el discriminante es negativo entonces no hay puntos críticos (focos imaginarios de la inelipse)... Finalmente, la segunda derivada del polinomio es un polinomio de primer grado que siempre tiene solución: es el punto de inflexión (centro de la inelipse).