martes, 5 de abril de 2016

874. Suma de arcotangentes. RESOLUCIÓN

    La enorme cantidad de fórmulas de la Trigonometría "impulsa" a los estudiantes a realizar "enormes" chuletas. Un día "incauté" a Pepe Chapuzas una "presunta" chuleta, que resultó ser unas "enigmáticas" sumas de arcotangentes:
     Profe, si le da la vuelta a la "chuleta" verá una "demostración" de la segunda suma...
    Lo que Pepe llamaba "demostración" no era otra cosa que un dibujo chapucero coloreado con rotuladores...

   Completa y explica la demostración de Pepe, realiza otra demostración para la primera suma (con dibujo) y busca otra suma de arcotangentes similar. ¡Buena suerte!

SOLUCIÓN

    Nina comentó que el dibujo estaba superclaro y que para que sirviera de demostración solo había que comprobar que el ángulo marcado era realmente de 90º... y que la razón de catetos cuadraba con el valor de la tangente dada...

    Mire, profe. Ambas cosas se dilucidan sin más que completar el rectángulo de la figura. Se comprueba fácilmente que los dos triángulos rosados son semejantes (2º criterio de semejanza) por lo que el ángulo en cuestión es recto y la razón de catetos del triángulo amarillo (tangente) es la razón de semejanza (1/2) tal como reza el enunciado.
    Los siguientes dibujos "demuestran" dos sumas de arcotangentes. El primer dibujo es la primera suma de arcotangentes de Pepe: arctg(1/2)+arctg(1/3)=arctg1. El segundo ilustra la siguiente: arctg(3/5)+arctg(1/4)=arctg1.
    Completa las "demostraciones".
    "Demuestra" que arctg(1/4)+arctg(1/13)=arctg(1/3).
    "Demuestra" que arctg(2/5)+arctg(1/12)=arctg(1/2).
    Busca más sumas de arcotangentes...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso se conformó con las "demostraciones" gráficas:
    Pero la intriga le movió a darle vueltas al asunto...
 
    Profe, mire. Si arctg(a/b) + arctg(c/d) = arctg(e/f), las fracciones tienen que cumplir la fórmula de adición de la tangente, esto es, e/f = (a/b+c/d)/(1–a/b·c/d) = (a·d+b·c)/(b·d–a·c), como se puede comprobar con los ejemplos anteriores:
(1·3+1·2)/(3·2–1·1) = 5/5  =1
(1·7+1·3)/(7·3–1·1) = 10/20 = 1/2
(3·4+5·1)/(5·4–3·1) = 17/17 = 1
(13·1+4·1)/(13·4–1·1) = 17/51 = 1/3
(2·12+5·1)/(5·12–1·2) = 29/58 = 1/2


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