martes, 26 de abril de 2016

940. Polígonos naturales, naturalmente. RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Estos polígonos regulares tienen todos un ángulo interior que mide una cantidad entera (un número natural) de grados sexagesimales. Ayer me puse a averiguar cuántos polígonos regulares (y cuáles) comparten esta peculiaridad... pero se me hizo de noche... Y esta mañana tenía demasiado sueño... ¿Me podría echar una mano?
    Parece que a Pepe Chapuzas se le han pegado las sábanas. Ha llegado tarde a clase... y encima con este problema. Igual piensa que así no le voy a poner un retraso en el parte... Al final, él se quedará con su retraso en el parte y el que resuelva su problema se llevará un positivo. ¡Ánimo!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla partió de la fórmula que nos da el ángulo interior de un polígono regular de N lados: Î =  180º·(N–2):N...

    Profe, voy a despejar el número de lados N...
ηN = 180º·N–360º
(180º–Î)·N = 360º
N = 360º:(180º–Î) = 360º:Ê
    Tengo que buscar divisores naturales Ê de 360º menores que 180º. Ê es el suplementario de Î, (por ejemplo el ángulo exterior o el ángulo central del polígono). Para cada posible valor de Ê tendré una solución, esto es, un polígono regular de N lados cuyo ángulo interior Î mide un número natural de grados sexagesimales... Por lo anterior, se deduce que N tiene que ser un divisor de 360 mayor que 2. Hay 22 en total... 


N


3


4


5


6


8


9


10


12


15


18


20


Î


60º


90º


108º


120º


135º


140º


144º


150º


156º


160º


162º




N


25


30


36


40


45


60


72


90


120


180


360


Î


165º


168º


170º


171º


172º


174º


175º


176º


177º


178º


179º

 
   Prueba que en todo polígono regular, el ángulo central y el ángulo exterior coinciden.

RESOLUCIÓN

    Yoyó dibujo un polígono regular y un ángulo central y un ángulo exterior (en rojo).

    Mire, profe. Los ángulos amarillos son iguales... Y cada ángulo rojo es suplementario del ángulo doble del amarillo...

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