jueves, 28 de abril de 2016

953. Origami y triángulos egipcios. RESOLUCIÓN

    Bajamos al patio para hacer una demostración de cómo los antiguos egipcios usaban la cuerda de 12 nudos para trazar ángulos rectos. Teníamos una cuerda cerrada de 12 metros, con un nudo a cada metro, y la tensamos para formar un triángulo de lados de 3, 4 y 5 metros respectivamente. Todos sabíamos que este era un triángulo rectángulo... Comenté que los triángulos semejantes a este (con lados directamente proporcionales a 3, 4 y 5) se llamaban triángulos egipcios...
    Ya en el aula, Pepe Chapuzas, al que últimamente le ha dado por el origami, cogió una hoja de papel cuadrada y la plegó llevando un vértice inferior al punto medio del lado superior...
     Profe, ¿a que los triángulos marcados con un asterisco son egipcios?

     Demuéstralo y te llevarás un positivo.
 
SOLUCIÓN
 
    Mire, profe. Es fácil demostrar (con el primer criterio de semejanza) que los tres triángulos marcados con un asterisco son semejantes entre sí. Así que basta con probar que uno de los tres triángulos es egipcio. Por ejemplo el del asterisco de la izquierda... de catetos A y B e hipotenusa C.

    Si tomamos como unidad de longitud el lado del cuadrado, entonces A = 1/2 y B = 1–C. Y por el teorema de Pitágoras C2 = 1/4 + (1–C)2 = 1/4 + 1 – 2C + C2. De donde 2C = 5/4 y por lo tanto  C = 5/8 y B = 1 – 5/8 = 3/8. Si multiplicamos los lados por 8 tenemos 8·A = 4, 8·B = 3 y 8·C = 5, lo que demuestra que el triángulo es egipcio.
 
    ¡Positivo para Nina Guindilla!
    Tomando como unidad de longitud el lado del cuadrado, calcula el área solapada (azul oscuro).  
 
RESOLUCIÓN
 
    Mire, profe. Nina ha calculado los catetos del triángulo mediano: 1/2 y 3/8. Su área mide 3/32. Los catetos del triángulo grande miden 1/2 y 2/3, por lo que su área mide 1/6. Y los catetos del triángulo pequeño miden 1/6 y 1/8, por lo que su área mide 1/96. La suma de las áreas de los tres triángulos es 3/32 + 1/6 + 1/96 = 13/48. El área solapada medirá (1–13/48)/2 = 35/96.
 
    Yoyó Peluso le ha dedicado muchas horas a la papiroflexia...

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