viernes, 15 de abril de 2016

902. Los onceavos de pi. RESOLUCIÓN

    Mis alumnos estaban aprendiendo a manejar sus calculadoras. Tenían que realizar cálculos con razones trigonométricas, radianes, etc. La calculadora de Pepe Chapuzas era un poco antigua y en un ejercicio dio el siguiente resultado...
    Pepe me dijo que sospechaba que se habían producido errores de redondeo y que la solución podría ser 0.5 pero que no podía asegurarlo. Dejé que le diera vueltas a la cabeza y debió de darle algunas porque al día siguiente me lo confirmó:
    Profe, 0.5 es la respuesta verdadera. Las calculadoras son tan útiles como chapuceras... Mire este dibujo de un endecágono regular de lado 1... Con los vectores está claro, ¿verdad? Y pasa lo mismo con cualquier polígono regular que tenga un número impar de lados... Si n es un número natural:
    No podía ponerle pegas. Estaba muy claro. ¿O no?

    Explica el dibujo de Pepe.
    Opera sin calculadora:
SOLUCIÓN
 
    Profesor, lo que ha hecho Pepe es una suma vectorial. El endecágono tiene 1 unidad de lado y por eso los vectores son unitarios (cosθ, senθ). Los ángulos están bien calculados (a partir del ángulo exterior del endecágono 2π/11) y la suma de los cosenos es la suma de las primeras componentes de los vectores que es, evidentemente, 1/2 (medio lado). El razonamiento es válido para cualquier polígono con una cantidad impar de lados...

    Nina Guindilla prosiguió...
 
    Para el siguiente cálculo dibujo un heptágono regular:
    Por lo que la suma ahora es –1/2.

    Obtén este resultado a partir del anterior utilizando ángulos suplementarios.
    Encuentra resultados parecidos pero con suma de senos...
 
RESOLUCIÓN
 
    Yoyó Peluso no tuvo que pensar demasiado...
 
cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7) = –cos(5π/7)–cos(3π/7)–cos(π/7) = –1/2
 
    Mire, profe. Como es coseno de un ángulo es el seno de su complementario, tenemos el primer ejemplo de Pepe Chapuzas convertido en una suma de senos:

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