miércoles, 6 de abril de 2016

877. Un cuadrado de colores. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas os propone este reto. Hay un positivo para el que lo resuelva...
    El triángulo amarillo es un triángulo equilátero inscrito en un cuadrado y comparte con este un vértice. El triángulo azul tiene un área de 1 metro cuadrado. ¿Qué área tiene el triángulo rojo?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla se llevó el positivo...

    Mire, profe. El triángulo azul (y el blanco) tiene los ángulos de 15º, 75º y 90º.  Si L es la longitud de su hipotenusa, su área valdrá L·sen15º·L·cos15º:2 = L2·sen30º:4 = L2:8 = 1, por lo que L = 8. L también es la hipotenusa del triángulo rojo, que es un triángulo rectángulo isósceles, por lo que su área medirá 8:4 = 2 metros cuadrados.

    Justifica todos los cálculos de Nina.

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. Los triángulos azul y blanco son simétricos y sus ángulos son fáciles de calcular, aunque es más fácil comprobar las soluciones... En el vértice común a los triángulos blanco, amarillo y azul tenemos: 15º + 60º + 15º = 90º . En el vértice común a los triángulos rojo, amarillo y azul tenemos: 45º + 60º + 75º = 180º.
    Para el área ha utilizado la fórmula ( área = cateto_opuesto · cateto_contiguo : 2 ) y la identidad trigonométrica del ángulo doble ( sen30º = sen(2·15º) = 2·sen15º·cos15º ).
    Finalmente, si juntamos 4 triángulos rojos se forma un cuadrado, y su área es obvia...
    Yoyó Peluso lo ha explicado muy bien... y se llevó otro positivo.

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