lunes, 25 de abril de 2016

930. Cuadrados de cuadrados. RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Puedo componer un cuadrado grande juntando 6 cuadrados, 7 cuadrados, 8 cuadrados...  ¿Es posible formar cuadrados con cualquier cantidad N de cuadrados (si N > 5)? 
    No le contesté esta pregunta a Pepe Chapuzas. Dejo que la penséis...
    ¿Ocurriría lo mismo con triángulos equiláteros?
SOLUCIÓN

    Profe, mire. El truco está en que un cuadrado se puede dividir fácilmente en cuatro cuadrados. Si se puede formar un cuadrado con N cuadrados, al dividir uno de ellos en cuatro, el cuadrado inicial estaría formado por N+3 cuadrados. Si es posible formar cuadrados con 6, 7 u 8 cuadrados, se puede formar con cualquier cantidad mayor que 5. El razonamiento con triángulos es exactamente el mismo.
 
    Nina Guindilla ha utilizado el principio de inducción chapuceramente. ¡A veces se parece a Pepe! En fin, planteemos un par de cuestiones más difíciles... 
    Busca la cantidad más pequeña en que un cuadrado se puede dividir en cuadrados todos desiguales y en triángulos acutángulos.
    Si en un polígono regular trazamos segmentos que unen vértices de modo que los segmentos no se puedan cortar en el interior del polígono... ¿De cuántas maneras diferentes se puede triangular dicho polígono?
 
RESOLUCIÓN
 
    La primera cuestión la encontró Yoyó Peluso rápidamente en Internet... 21 y 10:

    Para entender bien el enunciado de la segunda, Yoyó Peluso dibujó polígonos regulares triangulados sencillos:
    Mire, profe. Un triángulo ya está triangulado... El cuadrado se puede triangular de 2 maneras (tiene 2 diagonales), el pentágono de 5, el hexágono de 14, el heptágono de 42, el octágono de 132... Tengo que confesarle, profe, que no encontré la solución... Bueno, la encontré en Internet. Estos son los números de Catalan... Siguiendo las indicaciones del enunciado, un polígono regular de n lados se puede triangular de (2n–4)!:(n–2)!:(n–1)! maneras diferentes.
 
    Yoyó es sincero... Le dije que los números de Catalan también daban el número de maneras en que pueden aparecer los paréntesis en las operaciones combinadas... No le podía explicar qué relación guardaba esto con las triangulaciones de polígonos pero Yoyó quedó satisfecho...
 
  1   () 
  2   (())  ()() 
  5   ((()))  (()())  (())()  ()(())  ()()()
14   (((())))  ((()()))  (()()())  ()()()()  (())(())  ()(())()
       (())()()  ()()(())  (()())()  ()(()())  ((()))()  ()((()))  ((())())  (()(()))
 
    Al día siguiente, Yoyó trajo otro ejemplo relacionado con los números de Catalan... y con la propiedad asociativa...
 
    Profe, cuente el número de asociaciones de productos (sumas) de varios factores (sumandos).
 
  1   ab
  2   a(bc)  (ab)c
  5   a(b(cd))  a((bc)d)  (a(bc))d   ((ab)c)d   (ab)(cd)
14   a(b(c(de)))  a(b((cd)e))  a((b(cd))e)  a(((bc)d)e)  a((bc)(de))  (a(b(cd))e  (a((bc)d))e 
       ((a(bc))d)e  (((ab)c)d)e  ((ab)(cd))e  (a(bc))(de)  ((ab)c)(de)  (ab)(c(de)) (ab)((cd)e)

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