miércoles, 27 de abril de 2016

945. Un trapecio rectángulo. RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Conocemos dos lados de este trapecio rectángulo. De los otros dos lados solo sabemos que son iguales. ¿Cuánto mide el área?
   Hay un positivo esperando para el que resuelva este problemita propuesto por Pepe Chapuzas.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla llamó X y X a los lados desconocidos...

    Profe, mire. Con el teorema de Pitágoras tengo que X2 = 32 + (6–X)2 = 9 + 36 – 12X + X2, por lo tanto X = 45/12 = 15/4. El área del trapecio medirá pues (6+15/4)·3/2 = 117/8 = 14,625cm2.

    Nina ha propuesto otro problemita a la clase...

    El área de un triángulo rectángulo mide 30cm2, y su perímetro mide 30cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

    Un positivo para el que lo resuelva. (Dos positivos para el que lo resuelva sin utilizar el teorema de Pitágoras.)

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso quiso resolver el problema dos veces: primero con el teorema de Pitágoras y después sin él. ¿Acaso quería llevarse tres positivos?

    Mire, profe. Como el área del triángulo rectángulo es el semiproducto de los catetos, tenemos que ab/2 = 30. Y la suma de los cuadrados de los catetos es el cuadrado de la hipotenusa, o sea, a2+b2 = c2 = (30–a–b)2 = 900 – 60(a+b) + a2+b2 +2ab. Así, a+b = (900+120)/60 = 17 y ab = 60, es decir, a y b son las soluciones de la ecuación x2–17x+60 = 0, o sea, a = 5 y b = 12. Y  por tanto la hipotenusa mide c = (52+122) = 13cm.
    Sin el teorema de Pitágoras... La hipotenusa c = (a+b+c)/2 + (a+b–c)/2 = s – r, donde s = 15 es el semiperímetro y r = área/s = 30/15 = 2 es el inradio. Por lo tanto c = 15–2 = 13cm.

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