martes, 12 de abril de 2016

893. ¡A volar! RESOLUCIÓN

    El último día de clase Pepe Chapuzas llegó a emocionarme...

    Profe. ¡Gracias por enseñarme a volar!

    Le devolví el cumplido comentándole que era muy fácil enseñar a volar a los chicos que nacen con alas... Se despidió con un regalo de los suyos: un problemita de Geometría...

    Si la suma de las áreas de los círculos anaranjados es 1 metro cuadrado, ¿cuál es el área del círculo verde?
    Es más fácil de lo que parece. Al fin y al cabo es un regalo...
    ¡Echa a volar!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla nació con alas... de mariposa. Mirad cómo vuela alto y deprisa...
    Profe, mire. Como hay 10 círculos naranjas iguales, cada círculo tiene un área de 10 dm2
y por lo tanto un radio de (10/π) dm. Los centros de los círculos naranjas son los vértices de un decágono regular, con lo que el radio del decágono medirá

(10/π)·cosec18º = (10/π)·(5+1).
    Y el radio del círculo verde medirá
(10/π)·(5+1) – (10/π) = (10/π)·5.
    Y por lo tanto el área del círculo verde medirá
π·((10/π)·5)2 = 50 dm2.
    ¡El área verde es la mitad del área naranja!
    Justifica todos los pasos (o aleteos) de Nina.

RESOLUCIÓN

    A Yoyó Peluso le llamó la atención ver el valor exacto (con radicales) de cosec18º = 5+1, entre otras cosas porque la cosecante era una razón trigonométrica que apenas utilizaba... Para remediarlo confeccionó la siguiente tabla de valores exactos de cosecantes:

cosec15º = 6+2
cosec18º = 5+1
cosec30º = 2
cosec45º = 2
cosec54º = 5–1
cosec60º = 12/3
cosec75º = 6–2 
cosec90º = 1 

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