1689. Los exincentros

     Profe, mire. Si trazamos las bisectrices exteriores de un triángulo, estas se cortan de dos en dos en tres puntos llamados exincentros... ¡Curioso nombre...! Es contradictorio porque "ex" significa fuera e "in" significa dentro...

    Le indiqué a Pepe Chapuza que era una contradicción aparente porque se puede estar fuera de casa y dentro del instituto... Pepe siguió con lo suyo...

    Si, tal como se muestra en la figura, a, b y c son los lados prolongados del triángulo; a', b' y c' son las bisectrices interiores; y a", b" y c" son las bisectrices exteriores; entonces el exincentro a"∩b" equidista de a, b y c, por lo que este exincentro es a"∩b"∩c'. Lo mismo podemos decir de los otros dos exincentros  a'∩b"∩c"  y  a"∩b'∩c". ¡Claro...! Los lados prolongados dividen el plano en siete regiones. Cuatro de ellas tienen tres lados: una finita (el triángulo) y tres infinitas. Los exincentros están dentro de estas y fuera de aquella... mientras que el incentro a'∩b'∩c' está fuera de estas y dentro de aquella...

    Algo más acerca de los exincentros habrá que decir, ¿no?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla tomó la palabra...

    Profe, mire. Como a' ⟂ a",  b' ⟂ b" y  c' ⟂ c" resulta que las bisectrices internas y el incentro del triángulo abc son las alturas y el ortocentro del triángulo a"b"c"  . Por lo tanto este triángulo a"b"c" es siempre acutángulo porque su ortocentro cae siempre en su interior...

    ¿Algo más?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota añadió:

    Profe, mire. Al igual que el incentro de un triángulo es el centro de su circunferencia inscrita, que es tangente a los tres lados. Los exincentros son los centros de tres circunferencias, cada una tangente a un lado y a dos prolongaciones de los otros dos lados. Estas circunferencias se denominan exinscritas, lógicamente.