martes, 31 de enero de 2023

1684. Tangente y normal...

    Como aplicación de las derivadas estábamos viendo las ecuaciones de las rectas tangente t y normal n de una curva c dada por su ecuación explícita  c : y = f (x)  en un punto P de coordenadas P(xP, yP) ≡ P(xPf (xP)). Suponíamos siempre la derivabilidad de las funciones que aparecían...


    Profe, mire. La ecuación punto-pendiente  y − yP = p (x − xP)  es idónea para esta cuestión (p es la pendiente). Así la ecuación de t será  t : y − f (xP) = f '(xP) (x − xPy la ecuación de la recta normal será  n : y − f (xP) = −1/f '(xP) (x − xP)  ya que la pendiente de una perpendicular a una recta de pendiente p es el opuesto del inverso (o el inverso del opuesto) de p, esto es, −1/p.

    Pero profe, si la ecuación de la curva viene dada en forma implícita  c : F (x, y) = 0  entonces el vector normal a la curva en el punto P será  v = (F(xPyP), F(xPyP)) , y las ecuaciones de las rectas serán

t : F(xPyP(x − xP) + F(xPyP(y − yP) = 0
n : (x − xP) / F(xPyP) = (y − yP) / F(xPyP)

    Si combinamos las dos funciones  F(x, y) =  f (x) − y  entonces  v = ('(xP)−1)  que corrobora el valor de la pendiente de la recta normal  −1/f '(xP) .

    ¿Cómo se obtienen las ecuaciones del plano tangente τ y de la recta normal m de una superficie σ?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla empezó con una superficie dada por su ecuación implícita  σ : G(x, y, z) = 0 .


    Profe, mire. El vector normal de la superficie en el punto Q(xQyQ, zQ) es

w = (G(xQyQ, zQ), G(xQyQ, zQ), G(xQyQ, zQ))

por lo que las ecuaciones de m y τ son

m : (x − xQ) / G(xQyQ, zQ) = (y − yQ) / G(xQyQ, zQ) = (z − zQ) / G(xQyQ, zQ)
τ : G(xQyQ, zQ) (x − xQ) + G(xQyQ, zQ(y − yQ) + G(xQyQ, zQ(z − zQ) = 0

    ¿Y si la superficie viene dada con una ecuación explícita  z = g (x, y) ?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota combinó las dos funciones  G (x, y, z) = g (x, y) − z ...

    Mire, profe. Ahora  w = (g(xQyQ), g(xQyQ), −1)  por lo tanto las ecuaciones son

m : (x − xQ) / g(xQyQ) = (y − yQ) / g(xQyQ) = (z − zQ)
τ : g(xQyQ) (x − xQ) + g(xQyQ(y − yQ− (z − zQ) = 0

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