1683. La Helena de los geómetras

     Mire profe. Un trineo ha de bajar entre dos puntos para lo cual se ha de diseñar un tobogán de hielo. Suponemos que solo actúa la gravedad y que el rozamiento es nulo... La trayectoria más corta sería en línea recta pero esta no sería la trayectoria más breve. ¿Cómo ha de ser el perfil del tobogán para que el viaje dure lo mínimo?

    Pepe Chapuza se refería a la braquistócrona... Al final resulta que tal trayectoria es parte de un arco de cicloide invertida... 

    Profe, mire... Curiosamente, muchas veces hay bajar un trecho inicial y subir un trecho final...

    ¿Quién nos habla acerca de la cicloide?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla trajo un aro de esos con que se jugaba antaño y lo hizo rodar...

    Profe, mire. Este aro de radio 1 es de mi abuelo. Al hacerlo rodar una vez (sin salirnos del plano {x, y}) sobre un suelo horizontal (el eje de abscisas), el punto del aro que toca el suelo inicialmente (en el origen de coordenadas) describe un arco de cicloide C : { x = t − sen t ,  y = 1 − cos t }; t ∊ [0, 2π]... ¡El punto gira y se desplaza a la vez...! 

    El nombre de cicloide está bien elegido, ¿verdad? ¿Cuánto medirá la longitud del arco de cicloide dibujado por Nina y la superficie encerrada entre este arco y el eje de abscisas? 

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. Para la longitud del arco tenemos

L = ʃ ₀^2π √((dx/dt)²+(dx/dt)²) =

= ʃ ₀^2π √((1−cos(t))²+sen²(t)) dt =

= ʃ ₀^2π √((1−cos(t))²+sen²(t)) dt =

= ʃ ₀^2π √((1−2cos(t)+cos²(t)+sen²(t)) dt =

= ʃ ₀^2π √(2−2cos(t)) dt =

= ʃ ₀^2π 2sen(t/2) dt =

= −4cos(t/2) /₀^2π =

= 4+4 = 8

    Ocho veces el radio del aro... Y para la superficie tenemos

S = ʃ ₀^2π y dx =

= ʃ ₀^2π y dx/dt dt =

= ʃ ₀^2π (1−cos(t))(1−cos(t)) dt =

= ʃ ₀^2π (1−2cos(t)+cos²(t)) dt =

= ʃ ₀^2π (1−2cost+1/2+cos(2t)/2) dt =

= (3t/2−2sent+sen(2t)/2) /₀^2π =

= 3·2π/2 = 3π

    Tres veces el área encerrada por el aro...

    Yoyó Gaviota añadió que a la cicloide se la conoce como la Helena de los geómetras... por las controversias que entre estos suscitó...; que la evoluta (lugar de los centros de curvatura) de la cicloide es otra cicloide idéntica...; y que, además de la braquistócrona, la cicloide es el fundamento de la tautócrona y de la isócrona (dejaremos que el lector investigue todo esto)...