1693. Gráficas y áreas

    Pepe Chapuza estaba impartiendo una clase acerca del cálculo de áreas mediante la integral definida... Empezó con "profe, mire" pero le recordé que ahora el profe era él y que tenía que explicar a sus compañeros que ahora eran sus alumnos...

    Vamos a ver la interpretación geométrica de la integral definida: cuál el significado del número que obtenemos al integrar.

    Si la función es positiva la integral definida nos proporciona el área de la región limitada por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas verticales indicadas por los límites de integración.

    Si la función es negativa y a < b, la integral definida  ʃ _a^b f(x) dx  sale negativa y el área se calcula de cualquiera de estas tres maneras   – ʃ _a^b f(x) dx  = ʃ _b^a f(x) dx = | ʃ _a^b f(x) dx | . Yo prefiero la tercera.

    Si la función cambia de signo, la integral definida  ʃ _a^b f(x) dx  nos da la resta de las áreas que quedan por encima del eje de abscisas menos las que quedan por debajo. En este ejemplo ...

... el área total se calcula así:  | ʃ _a^u f(x) dx | + | ʃ _u^v f(x) dx | + | ʃ _v^w f(x) dx | + | ʃ _w^b f(x) dx | .

    Si las gráficas de dos funciones f y g se cortan en dos puntos de abscisas a y b ...

... entonces el área encerrada es  | ʃ _a^b f(x) dx  –  ʃ _a^b g(x) dx |  =  | ʃ _a^b (f(x) – g(x)) dx | . Ponemos las barras de valor absoluto para no tener que averiguar cuál función está encima y cuál debajo, ni cuál límite de integración está a la izquierda y cuál a la derecha.

    Para recintos complicados, se separa el área en regiones como las anteriores y se integra por separado: es la estrategia de "divide y vencerás". 

    Y propuso el área encerrada entre las parábolas  x = y²  e  y = x² . 

    Y también el área encerrada entre las gráficas de  f(x) = x³ – 4x + 6  y  g(x) = x² + 5x – 3  para la que no hizo ningún dibujo...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla no se arredró...

    Profe, mire. La primera parábola se corresponde con la función  y = √x . Para calcular las abscisas de los puntos de corte resolvemos la ecuación

√x = x²

x = x⁴

x⁴ – x = 0

x (x³ – 1) = 0

x = 0         x = 1

    Por lo tanto el área encerrada es

 ʃ ₀¹ (√x – x²) dx  = [ 2x^3/2/3 – x³/3 ]₀¹  =  2/3 – 1/3  =  1/3 u²

    Para la segunda área primero calculo las abscisas de los puntos de corte...

x³ – 4x + 6  =  x² + 5x – 3 

x³ – x² – 9x + 9  =  0

    Por lo tanto el área encerrada es

| ʃ_-3¹ (x³ – x² – 9x + 9) dx |  +  | ʃ ₁³ (x³ – x² – 9x + 9) dx |  =

=  | [ x⁴/4 – x³/3 – 9x²/2 + 9x ]_-3¹ |  +  | [ x⁴/4 – x³/3 – 9x²/2 + 9x ]₁³ |  =

=  | 1/4 – 1/3 – 9/2 + 9 – 81/4 – 9 + 81/2 + 27 |  +  | 81/4 – 9 – 81/2 + 27 – 1/4 + 1/3 + 9/2 – 9 |  =  ...

    Nina propuso hallar el área encerrada del dibujo

SOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota miró las intersecciones...

    Profe, mire. Calculamos las abscisas de los tres puntos de corte

1/x = 4    ==>   x = 1/4

1/x = x²   ==>   x = 1

x² = 4    ==>   x = 2

    Por lo tanto el área encerrada es

 ʃ _1/4¹ (4 – 1/x) dx  +  ʃ ₁² (4 – x²) dx  =

=  [ 4x – ln |x| ]_1/4¹  + [ 4x – x³/3 ]₁²  =

=  4 – 0 – 1 + ln(1/4) + 8 – 8/3 – 4 + 1/3  =  ...

    Dejamos al lector que termine los cálculos...