tag:blogger.com,1999:blog-39456789569678809192024-03-14T00:03:30.894+01:00pinceladas y brochazos de... Matemáticaschapuzas, guindillas y gaviotas...
Joséhttp://www.blogger.com/profile/07510117138022884554noreply@blogger.comBlogger1204125tag:blogger.com,1999:blog-3945678956967880919.post-80329386650993650102023-03-09T05:11:00.004+01:002023-08-07T04:15:22.810+02:001694. Gráficas y áreas. (2.ª parte)<p> <b><span style="color: #073763;">Nos recordaba Pepe Chapuza cómo la regla de<span style="text-align: center;"> Barrow nos permitía calcular áreas bajo curvas...</span></span></b></p><p><span style="text-align: center;"><b><span style="color: #073763;"> <i>Mire, profe. Esta es el área bajo un arco de parábola...</i></span></b></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-1JJEzDMIZFY/XoC4x_hZw-I/AAAAAAAAGlQ/fd8LNJpxpHEeAAqI9bjtkO6-3oyVRTdxgCLcBGAsYHQ/s1600/12.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><b><span style="color: #073763;"><img border="0" data-original-height="63" data-original-width="296" height="85" src="https://1.bp.blogspot.com/-1JJEzDMIZFY/XoC4x_hZw-I/AAAAAAAAGlQ/fd8LNJpxpHEeAAqI9bjtkO6-3oyVRTdxgCLcBGAsYHQ/s400/12.png" width="400" /></span></b></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><span style="color: #073763;"><br /></span></b></div><b><span style="color: #073763;"> <i>Es una integral inmediata. Esta otra se hace por partes:</i><br /><br /></span></b><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="clear: left; color: #073763; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="147" data-original-width="464" height="202" src="https://1.bp.blogspot.com/-GyyOfrMrVqA/XoDa8rL7POI/AAAAAAAAGnI/Rzr8-a8UWHg1rtAqcMVPX9TDLWmsACCDQCLcBGAsYHQ/s640/14.png" width="640" /></span><a href="https://1.bp.blogspot.com/-GyyOfrMrVqA/XoDa8rL7POI/AAAAAAAAGnI/Rzr8-a8UWHg1rtAqcMVPX9TDLWmsACCDQCLcBGAsYHQ/s1600/14.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><b></b></a></div><div class="separator" style="clear: both;"><span style="color: #073763;"><b><br /></b></span></div><div class="separator" style="clear: both;"><span style="color: #073763;"><b> Recuerdo que trabajamos con radianes...</b></span></div><div class="separator" style="clear: both;"><span style="color: #073763;"><b><br /></b></span></div><div class="separator" style="clear: both;"><b><span style="color: #073763;"><span> ¿Cómo se hace una integral definida con </span>cambio de variable?</span></b></div><div class="separator" style="clear: both;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both;"><u><b><span style="color: #800180;">SOLUCIÓN</span></b></u></div><div style="margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm;"><b><span style="color: #800180;"><span><br /></span><span></span></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> Nina Guindilla hizo esta:</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="clear: left; color: #800180; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="220" data-original-width="593" height="236" src="https://1.bp.blogspot.com/-K4SooRKc350/XoDc86C8UMI/AAAAAAAAGnU/TV4aybnXT5IcAnBf7wpFfr1XRIr_PT71gCLcBGAsYHQ/s640/15.png" width="640" /></span><a href="https://1.bp.blogspot.com/-K4SooRKc350/XoDc86C8UMI/AAAAAAAAGnU/TV4aybnXT5IcAnBf7wpFfr1XRIr_PT71gCLcBGAsYHQ/s1600/15.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><b></b></a></div><b><span style="color: #800180;"><br /><span> <i>Mire, profe. Como ve, no hay que deshacer el cambio de variable, solo hay que calcular los nuevos límites de integración. </i></span><br /><span><br /></span><span> ¿Y si la función está definida a trozos?</span></span></b><div><span><br /></span></div><div><span style="color: #274e13;"><u><b>RESOLUCIÓN</b></u></span></div><div><span style="color: #274e13;"><b><br /></b></span></div><div><b><span style="color: #274e13;"><span> Yoyó Gaviota hizo esta...</span><br /></span></b><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-JAGhK776NkA/XoDXl_qk81I/AAAAAAAAGmw/YUC5lxyezL8KIQBN9EPCDIqNVEZ66DKtwCLcBGAsYHQ/s1600/13.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><b><span style="color: #274e13;"><img border="0" data-original-height="259" data-original-width="386" height="267" src="https://1.bp.blogspot.com/-JAGhK776NkA/XoDXl_qk81I/AAAAAAAAGmw/YUC5lxyezL8KIQBN9EPCDIqNVEZ66DKtwCLcBGAsYHQ/s400/13.png" width="400" /></span></b></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"> <span style="color: #274e13;"><i><b>Mire, profe. La integral definida nos da la resta de las áreas bajo la gráfica (sobre el eje de abscisas) menos las áreas sobre la gráfica (bajo el eje de abscisas). En realidad, el área sería 104.</b></i></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"> Queda para el lector hacer un esbozo de las gráficas y de las áreas que estamos calculando.</span></b></div></div>Joséhttp://www.blogger.com/profile/07510117138022884554noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3945678956967880919.post-50597773309817650972023-03-08T23:08:00.002+01:002023-03-08T23:08:54.566+01:001693. Gráficas y áreas<div> <b><span style="color: #0b5394;"> Pepe Chapuza estaba impartiendo una clase acerca del cálculo de áreas mediante la integral definida... Empezó con "profe, mire" pero le recordé que ahora el profe era él y que tenía que explicar a sus compañeros que ahora eran sus alumnos...</span></b></div><div class="separator" style="clear: both;"><i><b><span style="color: #0b5394;"><br /> Vamos a ver la interpretación geométrica de la integral definida: cuál el significado del número que obtenemos al integrar.</span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both;"><b><span style="color: #0b5394;"><i><br /></i> <i>Si la función es positiva la integral definida nos proporciona el área de la región limitada por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas verticales indicadas por los límites de integración.</i></span></b></div><div class="separator" style="clear: both;"><i><b><span style="color: #0b5394;"><br /></span></b></i><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-T1w8MmkWKWc/XoGy4zdFzqI/AAAAAAAAGoc/f5hvGgqCZbIsXxRK24NOG-tlSfPOyZj9ACLcBGAsYHQ/s1600/area1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><b><span style="color: #0b5394;"><img border="0" data-original-height="366" data-original-width="556" height="262" src="https://1.bp.blogspot.com/-T1w8MmkWKWc/XoGy4zdFzqI/AAAAAAAAGoc/f5hvGgqCZbIsXxRK24NOG-tlSfPOyZj9ACLcBGAsYHQ/s400/area1.png" width="400" /></span></b></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><span style="color: #0b5394;"><br /></span></b></div><div class="separator" style="clear: both;"><b><span style="color: #0b5394;"> <i> Si la función es negativa y</i> a < b,<i> la integral definida</i> <i><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms"; mso-ansi-language: ES-TRAD;">ʃ</span></i><sub><span lang="ES-TRAD"> a</span></sub><sup><span lang="ES-TRAD">b</span></sup><span lang="ES-TRAD"> f(x) dx <i>sale negativa y el área se calcula de cualquiera de estas tres maneras </i> –</span> <i><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms";">ʃ</span></i><sub><span lang="ES-TRAD"> a</span></sub><sup><span lang="ES-TRAD">b</span></sup><span lang="ES-TRAD"> f(x) dx =</span> <i><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms";">ʃ</span></i><sub><span lang="ES-TRAD"> b</span></sub><sup><span lang="ES-TRAD">a</span></sup><span lang="ES-TRAD"> f(x) dx </span>=<span lang="ES-TRAD"> | </span><i><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms";">ʃ</span></i><sub><span lang="ES-TRAD"> a</span></sub><sup><span lang="ES-TRAD">b</span></sup><span lang="ES-TRAD"> f(x) dx </span>| . <i>Yo prefiero la tercera.</i></span></b></div><div class="separator" style="clear: both;"><b><span style="color: #0b5394;"><br /></span></b></div><div class="separator" style="clear: both;"><b><span style="color: #0b5394;"> <i>Si la función cambia de signo, la integral definida</i> <i><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms";">ʃ</span></i><sub><span lang="ES-TRAD"> a</span></sub><sup><span lang="ES-TRAD">b</span></sup><span lang="ES-TRAD"> f(x) dx </span> <i>nos da la resta de las áreas que quedan por encima del eje de abscisas menos las que quedan por debajo. En este ejemplo ...</i></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-31vwJ7tPf8o/XoG7Xo7qZ9I/AAAAAAAAGoo/NVXi33KNFu8a3ZYJ6E6j1WC5yLt5vEaUACLcBGAsYHQ/s1600/area2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><b><span style="color: #0b5394;"><img border="0" data-original-height="315" data-original-width="594" height="211" src="https://1.bp.blogspot.com/-31vwJ7tPf8o/XoG7Xo7qZ9I/AAAAAAAAGoo/NVXi33KNFu8a3ZYJ6E6j1WC5yLt5vEaUACLcBGAsYHQ/s400/area2.png" width="400" /></span></b></a></div><b><span style="color: #0b5394;"><i>... el área total se calcula así: </i><span lang="ES-TRAD"> </span><span lang="ES-TRAD">| </span><i><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms";">ʃ</span></i><sub><span lang="ES-TRAD"> a</span></sub><sup><span lang="ES-TRAD">u</span></sup><span lang="ES-TRAD"> f(x) dx </span>| + <span lang="ES-TRAD">| </span><i><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms";">ʃ</span></i><sub><span lang="ES-TRAD"> u</span></sub><sup><span lang="ES-TRAD">v</span></sup><span lang="ES-TRAD"> f(x) dx </span>| + <span lang="ES-TRAD">| </span><i><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms";">ʃ</span></i><sub><span lang="ES-TRAD"> v</span></sub><sup><span lang="ES-TRAD">w</span></sup><span lang="ES-TRAD"> f(x) dx </span>| + <span lang="ES-TRAD">| </span><i><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms";">ʃ</span></i><sub><span lang="ES-TRAD"> w</span></sub><sup><span lang="ES-TRAD">b</span></sup><span lang="ES-TRAD"> f(x) dx </span>| .<br /><br /> <i>Si las gráficas de dos funciones </i>f <i>y</i> g <i>se cortan en dos puntos de abscisas</i> a <i>y</i> b ...<br /></span></b><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-fpm1z8qmVi0/XoG-rmiKdPI/AAAAAAAAGo0/y4Hs3hj9pVMjPvtHqfgRysh9RkOXjTu5QCLcBGAsYHQ/s1600/area3.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><b><span style="color: #0b5394;"><img border="0" data-original-height="338" data-original-width="532" height="253" src="https://1.bp.blogspot.com/-fpm1z8qmVi0/XoG-rmiKdPI/AAAAAAAAGo0/y4Hs3hj9pVMjPvtHqfgRysh9RkOXjTu5QCLcBGAsYHQ/s400/area3.png" width="400" /></span></b></a></div><b><span style="color: #0b5394;">...<i> entonces el área encerrada es </i> <span lang="ES-TRAD">| </span><i><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms";">ʃ</span></i><sub><span lang="ES-TRAD"> a</span></sub><sup><span lang="ES-TRAD">b</span></sup><span lang="ES-TRAD"> f(x) dx </span> – <span lang="ES-TRAD"> </span><i><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms";">ʃ</span></i><sub><span lang="ES-TRAD"> a</span></sub><sup><span lang="ES-TRAD">b</span></sup><span lang="ES-TRAD"> g(x) dx </span>| = <span lang="ES-TRAD">| </span><i><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms";">ʃ</span></i><sub><span lang="ES-TRAD"> a</span></sub><sup><span lang="ES-TRAD">b</span></sup><span lang="ES-TRAD"> (f(x) – g(x)) dx </span>| . <i>Ponemos las barras de valor absoluto para no tener que averiguar cuál función está encima y cuál debajo, ni cuál límite de integración está a la izquierda y cuál a la derecha.</i><br /><br /> <i>Para recintos complicados, se separa el área en regiones como las anteriores y se integra por separado: es la estrategia de "divide y vencerás". </i></span></b></div><div class="separator" style="clear: both;"><b><span style="color: #0b5394;"><br /> Y propuso el área encerrada entre las parábolas x = y<sup>2</sup> e y = <span style="background-color: white;">x</span><sup>2</sup> . <br /><br /><br /></span></b><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-JrXoZ9Eggzo/XoN73It1rdI/AAAAAAAAGrA/cXIiBwcpYs0LNdUdK3nK7ByfRFPgpxnNACLcBGAsYHQ/s1600/parabolae.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><b><span style="color: #0b5394;"><img border="0" data-original-height="369" data-original-width="382" height="309" src="https://1.bp.blogspot.com/-JrXoZ9Eggzo/XoN73It1rdI/AAAAAAAAGrA/cXIiBwcpYs0LNdUdK3nK7ByfRFPgpxnNACLcBGAsYHQ/s320/parabolae.png" width="320" /></span></b></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #0b5394;"> Y también el área encerrada entre las gráficas de f(x) = <span style="background-color: white;">x</span><sup>3</sup> – 4x + 6 y g(x) = <span style="background-color: white;">x</span><sup>2</sup> + 5x – 3 para la que no hizo ningún dibujo...</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><u><b><br /></b></u></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><u><b><span style="color: #800180;">SOLUCIÓN</span></b></u></div><div class="separator" style="clear: both;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div class="separator" style="clear: both;"><b><span style="color: #800180;"> Nina Guindilla no se arredró...</span></b></div><div class="separator" style="clear: both;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div class="separator" style="clear: both;"><b><span style="color: #800180;"> <i>Profe, mire. La primera parábola se corresponde con la función </i> y = <span face=""verdana" , sans-serif" lang="ES-TRAD">√</span>x . <i>Para calcular las abscisas de los puntos de corte resolvemos la ecuación</i></span></b></div><div class="separator" style="clear: both;"><b><span style="color: #800180;"><i><br /></i></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><span face=""verdana" , sans-serif" lang="ES-TRAD">√</span>x = <span style="background-color: white;">x</span><sup>2</sup></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><span style="color: #800180;">x = <span style="background-color: white;">x</span><sup>4</sup></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><span style="background-color: white;">x</span><sup>4</sup> – x = 0</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><span style="background-color: white;">x (x</span><sup>3</sup> – 1) = 0</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><span style="color: #800180;">x = 0 x = 1</span></b></div><div class="separator" style="clear: both;"><i><b><span style="color: #800180;"> Por lo tanto el área encerrada es</span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="color: #800180;"><b> </b><b><i><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms"; mso-ansi-language: ES-TRAD;">ʃ</span></i><sub><span lang="ES-TRAD"> 0</span></sub><sup><span lang="ES-TRAD">1</span></sup></b><b><span style="font-family: inherit;"><sup> </sup></span><span style="background-color: white;">(</span><span face=""verdana" , sans-serif" lang="ES-TRAD" style="mso-ansi-language: ES-TRAD;">√</span>x – <span style="background-color: white;">x</span><sup>2</sup>) dx<span style="background-color: white;"> = <i>[ </i>2</span><span style="background-color: white;">x</span><sup>3/2</sup>/3 – <span style="background-color: white;">x</span><sup>3</sup>/3 <i>]</i></b><b><sub><span lang="ES-TRAD">0</span></sub></b><b><span style="font-family: inherit;"><sup>1 </sup></span><span style="background-color: white;">= 2/3 – 1/3 = 1/3 </span><span style="background-color: white;">u</span><sup>2</sup></b></span></div><div class="separator" style="clear: both;"><i><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both;"><i><b><span style="color: #800180;"> Para la segunda área primero calculo las abscisas de los puntos de corte...</span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><span style="background-color: white;">x</span><sup>3</sup> – 4x + 6 = <span style="background-color: white;">x</span><sup>2</sup> + 5x – 3 </span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><span style="background-color: white;">x</span><sup>3</sup> – <span style="background-color: white;">x</span><sup>2</sup> – 9x + 9 = <span style="background-color: white;">0</span></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="background-color: white; color: #800180;"><b><br /></b></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-E2S9I36ZUBQ/XoOEaN6-FCI/AAAAAAAAGrQ/KWPpPJc3mTwzxdeQV8uwE5nRp5O1Dm7TwCLcBGAsYHQ/s1600/ruffini.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><b><span style="color: #800180;"><img border="0" data-original-height="311" data-original-width="307" height="200" src="https://1.bp.blogspot.com/-E2S9I36ZUBQ/XoOEaN6-FCI/AAAAAAAAGrQ/KWPpPJc3mTwzxdeQV8uwE5nRp5O1Dm7TwCLcBGAsYHQ/s200/ruffini.png" width="196" /></span></b></a></div><div class="separator" style="clear: both;"><b><span style="color: #800180;"> <span>Por lo tanto el área encerrada es</span></span></b></div><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="color: #800180;"><b style="background-color: white;"><span><span face=""arial" , "tahoma" , "helvetica" , "freesans" , sans-serif"><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms";">| </span></span></span></b><b><i><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms"; mso-ansi-language: ES-TRAD;">ʃ</span></i><sub><span lang="ES-TRAD">-3</span></sub><sup><span lang="ES-TRAD">1</span></sup></b><b style="background-color: white;"><span><span face=""arial" , "tahoma" , "helvetica" , "freesans" , sans-serif"><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms";"><i> </i></span></span></span></b><b style="background-color: white;">(</b><b><span style="background-color: white;">x</span><sup>3</sup> – <span style="background-color: white;">x</span><sup>2</sup> – 9x + 9</b><b style="background-color: white;">) dx </b><b style="background-color: white;"><span><span face=""arial" , "tahoma" , "helvetica" , "freesans" , sans-serif"><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms";">| </span></span></span></b><b>+ </b><b style="background-color: white;"><span><span face=""arial" , "tahoma" , "helvetica" , "freesans" , sans-serif"><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms";">| </span></span></span></b><b><i><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms"; mso-ansi-language: ES-TRAD;">ʃ</span></i><sub><span lang="ES-TRAD"> 1</span></sub><sup><span lang="ES-TRAD">3</span></sup></b><b style="background-color: white;"><span style="font-family: inherit;"><sup> </sup></span>(</b><b><span style="background-color: white;">x</span><sup>3</sup> – <span style="background-color: white;">x</span><sup>2</sup> – 9x + 9</b><b style="background-color: white;">) dx </b><b style="background-color: white;"><span><span face=""arial" , "tahoma" , "helvetica" , "freesans" , sans-serif"><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms";">|</span></span></span></b><b> =</b></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="color: #800180;"><b><span style="background-color: white;">= </span></b><b style="background-color: white;"><span><span face=""arial" , "tahoma" , "helvetica" , "freesans" , sans-serif"><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms";">| </span></span></span></b><b><span style="background-color: white;"><i>[ </i></span><span style="background-color: white;">x</span><sup>4</sup>/4 – <span style="background-color: white;">x</span><sup>3</sup>/3 – 9x</b><b><sup>2</sup>/2 + 9x</b><b> <i>]</i></b><b><sub><span lang="ES-TRAD">-3</span></sub></b><b><span style="font-family: inherit;"><sup>1 </sup></span></b><b style="background-color: white;"><span><span face=""arial" , "tahoma" , "helvetica" , "freesans" , sans-serif"><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms";">| </span></span></span></b><b>+ </b><b style="background-color: white;"><span><span face=""arial" , "tahoma" , "helvetica" , "freesans" , sans-serif"><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms";">| </span></span></span></b><b><span style="background-color: white;"><i>[ </i></span></b><b><span style="background-color: white;">x</span><sup>4</sup>/4 – <span style="background-color: white;">x</span><sup>3</sup>/3 – 9x</b><b><sup>2</sup>/2 + 9x</b><b> <i>]</i></b><b><sub><span lang="ES-TRAD">1</span></sub></b><b><span style="font-family: inherit;"><sup>3</sup></span></b><b> </b><b style="background-color: white;"><span><span face=""arial" , "tahoma" , "helvetica" , "freesans" , sans-serif"><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms";">| </span></span></span></b><b>=</b></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="color: #800180;"><b>= </b><span style="background-color: white;"><span face=""arial" , "tahoma" , "helvetica" , "freesans" , sans-serif"><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms";"><b>| </b></span></span></span><b>1/4 – 1/3 – 9/2 + 9 – 81/4 – 9 + 81/2 + 27 </b><b style="background-color: white;"><span><span face=""arial" , "tahoma" , "helvetica" , "freesans" , sans-serif"><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms";">|</span></span></span></b><b> + </b><b style="background-color: white;"><span><span face=""arial" , "tahoma" , "helvetica" , "freesans" , sans-serif"><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms";">|</span></span></span></b><b> 81/4 – 9 – 81/2 + 27 – 1/4 + 1/3 + 9/2 – 9 </b><b style="background-color: white;"><span><span face=""arial" , "tahoma" , "helvetica" , "freesans" , sans-serif"><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms";">|</span></span></span></b><b> = ...</b></span></div><div class="separator" style="clear: both;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div class="separator" style="clear: both;"><b><span style="color: #800180;"> Nina propuso hallar el área encerrada del dibujo</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://1.bp.blogspot.com/-KMHAopmtBYM/XoSHCkKN6GI/AAAAAAAAGsI/iXqXotX2CFICVLR1dyWQP8DdXSU0qahdgCLcBGAsYHQ/s1600/f3.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><b><span style="color: #800180;"><img border="0" data-original-height="393" data-original-width="351" height="320" src="https://1.bp.blogspot.com/-KMHAopmtBYM/XoSHCkKN6GI/AAAAAAAAGsI/iXqXotX2CFICVLR1dyWQP8DdXSU0qahdgCLcBGAsYHQ/s320/f3.png" width="285" /></span></b></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><u><b><span style="color: #38761d;">SOLUCIÓN</span></b></u></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><u><b><span style="color: #38761d;"><br /></span></b></u></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div><div class="separator" style="clear: both;"><b><span style="color: #38761d;"> Yoyó Gaviota miró las intersecciones...</span></b></div><div class="separator" style="clear: both;"><b><span style="color: #38761d;"><br /></span></b></div><div class="separator" style="clear: both;"><b><span style="color: #38761d;"> <i>Profe, mire. Calculamos las abscisas de los tres puntos de corte</i></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><span style="color: #38761d;"><br /></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><span style="color: #38761d;">1/x = 4 ==> x = 1/4</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><span style="color: #38761d;">1/x = <span><span style="background-color: white;">x</span><sup>2</sup></span> ==> x = 1</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><span style="color: #38761d;"><span style="background-color: white;">x</span><sup>2</sup><span style="text-align: left;"> = 4 ==> x = 2</span></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="color: #38761d; text-align: left;"><b><br /></b></span></div><div class="separator" style="clear: both;"><b><span style="color: #38761d;"> <i>Por lo tanto el área encerrada es</i></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><span style="color: #38761d;"><br /></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="color: #38761d;"><b> </b><b><i><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms"; mso-ansi-language: ES-TRAD;">ʃ</span></i><sub><span lang="ES-TRAD"> 1/4</span></sub><sup><span lang="ES-TRAD">1</span></sup></b><b><span style="font-family: inherit;"><sup> </sup></span>(4 – 1/<span style="background-color: white;">x</span>) dx + </b><b> </b><b><i><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms"; mso-ansi-language: ES-TRAD;">ʃ</span></i><sub><span lang="ES-TRAD"> 1</span></sub><sup><span lang="ES-TRAD">2</span></sup></b><b><span style="font-family: inherit;"><sup> </sup></span>(4 – </b><b><span style="background-color: white;">x</span><sup>2</sup></b><b>) dx =</b></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="color: #38761d;"><b><span style="background-color: white;">= <i>[ </i>4</span><span style="background-color: white;">x</span> – <span style="background-color: white;">ln |x|</span> <i>]</i></b><b><sub><span lang="ES-TRAD">1/4</span></sub></b><b><span style="font-family: inherit;"><sup>1 </sup></span><span style="background-color: white;">+ </span></b><b><span style="background-color: white;"><i>[ </i>4</span><span style="background-color: white;">x</span> – </b><b><span style="background-color: white;">x</span><sup>3</sup></b><b><span style="background-color: white;">/3</span> <i>]</i></b><b><sub><span lang="ES-TRAD">1</span></sub></b><b><span style="font-family: inherit;"><sup>2 </sup></span><span style="background-color: white;">=</span></b></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><span style="background-color: white; color: #38761d;">= 4 – 0 – 1 + ln(1/4) + 8 – 8/3 – 4 + 1/3 = ...</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><span style="background-color: white; color: #38761d;"><br /></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="background-color: white; color: #38761d;"> Dejamos al lector que termine los cálculos...</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b style="background-color: white;"></b></div></div>Joséhttp://www.blogger.com/profile/07510117138022884554noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3945678956967880919.post-15174666685016560972023-03-07T10:50:00.003+01:002023-03-09T02:56:27.019+01:001692. Seis grados de libertad.<p><b><span style="color: #0c343d;"> Comenté que el movimiento de un sólido rígido tenía seis grados de libertad y Pepe Chapuza se tomo la libertad de especificar...</span></b></p><p><b><span style="color: #0c343d;"> <i>Profe, mire. En un navío tenemos tres ejes: el de eslora (de proa a popa), el de manga (de estribor a babor) y el de calado (de bao a quilla). Cada eje puede ser de traslación y de giro, así que c</i><i>ualquier movimiento del navío se puede descomponer en tres traslaciones y tres giros, de ahí los seis grados de libertad... En el eje de eslora tenemos una traslación (avance o retroceso) y un giro (escora); en el eje de manga tenemos una traslación (ronza) y un giro (arfada); y en el eje de calado tenemos una traslación (ascenso o descenso) y un giro (deriva). Los tres ejes pasan por el centro de masas...</i></span></b></p><p><b><span style="color: #0c343d;"><i> </i>¿Puede alguien hacer un dibujo ilustrativo?</span></b></p><p><u><b><span style="color: #800180;">SOLUCIÓN</span></b></u></p><p><b><span style="color: #800180;"> Nina Guindilla navegó y dibujó...</span></b></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKiVPF6bEDRBIDrS4vmwqmeBYC0NavZgSS3lGG2xEki8FxFsaGaxVsdCu4TF9TRIKvGweOEGDzplgihjltI-PSaPDi54lOG-GJw0trd-TrQBNjUUZQGg1cyLkViKVQpF6VLCHpMsQYsY42MhCrLjohbWn6_IaDE_8JbMTpvMwboCcuc8cvHnda83j1/s682/buque.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><b></b></a><b><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKiVPF6bEDRBIDrS4vmwqmeBYC0NavZgSS3lGG2xEki8FxFsaGaxVsdCu4TF9TRIKvGweOEGDzplgihjltI-PSaPDi54lOG-GJw0trd-TrQBNjUUZQGg1cyLkViKVQpF6VLCHpMsQYsY42MhCrLjohbWn6_IaDE_8JbMTpvMwboCcuc8cvHnda83j1/s682/buque.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgOEbNcbCLLI7S1VAHJUURPEYybGaXhgTgh42vbkVUBSVFfp3lmgjD4Kx79jersX9Ih9K5dQTtcW7pTwsgsgZ1yMzqy1sW0LgtfbZF68bYa8zjbJVZYsImivPtnOVdNh4GJk3P4Jxu-judAhWZCtWvfAg86iRidEGFkFnfcqNAZq61dmgwdvNWTLpqO/s396/buque.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="255" data-original-width="396" height="206" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgOEbNcbCLLI7S1VAHJUURPEYybGaXhgTgh42vbkVUBSVFfp3lmgjD4Kx79jersX9Ih9K5dQTtcW7pTwsgsgZ1yMzqy1sW0LgtfbZF68bYa8zjbJVZYsImivPtnOVdNh4GJk3P4Jxu-judAhWZCtWvfAg86iRidEGFkFnfcqNAZq61dmgwdvNWTLpqO/s320/buque.png" width="320" /></a></div></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><i><b><span style="color: #800180;"> Mire, profe los giros se denominan de otra manera en los aviones.</span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><i><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> ¿Qué vocabulario se usa en aeronáutica?</span></b></div><p></p><p><u><b><span style="color: #274e13;">RESOLUCIÓN</span></b></u></p><p><b><span style="color: #274e13;"> Yoyó Gaviota pilotó...</span></b></p><p><b><span style="color: #274e13;"> <i>Profe, mire. En la aviación se utiliza alabeo en vez de escora, guiñada en vez de deriva y cabeceo en vez de arfada...</i></span></b></p><p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh9xJIrVR8ZdH4uwH7zQ0uwNLWjHBJDtudEjwo9PIFTtQgPcM-_-Dq3MZTzXeTUZ51bbnwt-AwEH9eYFnlGYUqLTPFjC6dj15VYomTWcWjAI9lAH_BEeXPnSt2eySxnAQzLBmZKgR4YaKf5-rR1bQ7Kq7nsrbGI0J55H_ksD_bjmGHdHCqP9j2nqEVb/s375/avion.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="233" data-original-width="375" height="199" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh9xJIrVR8ZdH4uwH7zQ0uwNLWjHBJDtudEjwo9PIFTtQgPcM-_-Dq3MZTzXeTUZ51bbnwt-AwEH9eYFnlGYUqLTPFjC6dj15VYomTWcWjAI9lAH_BEeXPnSt2eySxnAQzLBmZKgR4YaKf5-rR1bQ7Kq7nsrbGI0J55H_ksD_bjmGHdHCqP9j2nqEVb/s320/avion.png" width="320" /></a></div>Joséhttp://www.blogger.com/profile/07510117138022884554noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3945678956967880919.post-77913897705169573122023-03-03T20:26:00.006+01:002023-03-03T20:29:51.962+01:001691. Polos y polares...<div style="text-align: left;"><i><span style="color: #0c343d;"> <b> Profe, mire. En el plano proyectivo existen unas interesantes biyecciones llamadas dualidades entre el conjunto de puntos y el conjunto de rectas... Las dualidades más famosas son las polaridades, en las que si se corresponden un punto P con una recta p, la recta p se llama polar de P y el punto P se llama polo de p. La polaridad más sencilla se define de la siguiente manera:</b></span></i></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #0c343d;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #0c343d;"> O ↔ o : donde O es el origen de coordenadas y o es la recta ideal del infinito.</span></b></i></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #0c343d;"><i> I ↔ i : donde I está en o e i pasa por O. Se cumple que OI </i>⟂ <i>i.</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #0c343d;"><i> P ↔ p : donde P no es un punto de los anteriores ni p es una recta de las anteriores. Se cumple que dist(O, P)·dist(O, p) = 1, que OP </i>⟂ <i>p y que O no está entre P y p.</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #0c343d;"><b><i><br /></i></b></span><i><b><span style="color: #0c343d;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjLBRMBgkIrWOcgAAtRvOE4Nt6AQg4Ie1Kl7HLg6Ycw5fWOAs3AJgCfvCu2iCJJZ1z3ShUZEZNzxzRtjo7EB4KfFAib6mmW2nRJnKl8yc-pqL6VoZ8_kWllX5lXXxGMEs7tKf1D3b3jBu60BLVzMikPRRET07C4y0WsDNJM4HLnbMM0OPPMcQM8MZHS/s208/op.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="208" data-original-width="138" height="208" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjLBRMBgkIrWOcgAAtRvOE4Nt6AQg4Ie1Kl7HLg6Ycw5fWOAs3AJgCfvCu2iCJJZ1z3ShUZEZNzxzRtjo7EB4KfFAib6mmW2nRJnKl8yc-pqL6VoZ8_kWllX5lXXxGMEs7tKf1D3b3jBu60BLVzMikPRRET07C4y0WsDNJM4HLnbMM0OPPMcQM8MZHS/s1600/op.png" width="138" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div></span></b></i></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #0c343d;"> Un caso particular: Si dist(O, P) = dist(O, p) = 1, entonces P es un punto de p.</span></b></i></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #0c343d;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #0c343d;"> Pepe Chapuza nos acababa de presentar a los polos y a las polares. Pedí a mis alumnos que demostraran los siguientes resultados duales:</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #0c343d;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #0c343d;"> "Si el polo P de una recta p está en la polar q de un punto Q, entonces Q está en p; si la polar q de un punto Q pasa por el polo P de una recta p, entonces p pasa por Q".</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><br /></b></div><div style="text-align: left;"><u><b><span style="color: #800180;">SOLUCIÓN</span></b></u></div><div style="text-align: left;"><u><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></u></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> Nina Guindilla disfruta con la geometría...</span></b></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><b><br /></b></span><b><span style="color: #800180;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhUSnVL1mkoYVN08GiXWRlrj8rcWpXDZkDLJL6nAQliQ5B4rhfm_nHBkVviJEWGWLvHJFzBAaj-0syKE7Bt4qMg6kfVy-3372obRl1J9jXKe01kg48YqgU8xFdi7Z3rDrdHZAansvZVqx6K6CxDnMZeHa_YzIvkoqpblCtIQ5YP-Y1x7LFZHTloPdE9/s248/op2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="248" data-original-width="218" height="248" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhUSnVL1mkoYVN08GiXWRlrj8rcWpXDZkDLJL6nAQliQ5B4rhfm_nHBkVviJEWGWLvHJFzBAaj-0syKE7Bt4qMg6kfVy-3372obRl1J9jXKe01kg48YqgU8xFdi7Z3rDrdHZAansvZVqx6K6CxDnMZeHa_YzIvkoqpblCtIQ5YP-Y1x7LFZHTloPdE9/s1600/op2.png" width="218" /></a></div></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> <i>Mire, profe. Los dos enunciados son equivalentes y se argumentan de la misma manera... </i><i>Sean respectivamente R y S los puntos de p y q más próximos a O. Como se tiene que dist(O, P)·dist(O, R) = </i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i>dist(O, Q)·dist(O, S)</i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i> = 1, hay una circunferencia c que pasa por P, Q, R y S respecto de la cual la potencia de O es 1. Como P está en q, el ángulo PSQ es recto, el segmento PQ es una diagonal de c, el ángulo PRQ es recto y Q está en p.</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><i> </i>Nina ha supuesto que P y S son diferentes (si coinciden los resultados serían obvios). Se deja al lector que argumente los resultados en caso de involucrar a los puntos I u O y a las rectas i u o.</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> También pedí a mis alumnos que demostraran estos otros resultados duales:</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> "Los polos de las rectas de un haz forman una recta; las polares de los puntos de una recta forman un haz".<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHgBjyT0FW0Zbz2gyl24D9RIJK7WCNWrWWjqzfKmlXr0ZJ6pjFfRsZZHgkW8ODSLGWwE1swehUV21jiFFs3jXrtmqM8hAhGHjg21N7QOb4NDlCteGgwZntmU-7AIrEOiNlRVmkcut16zIH9LUuyiKsJdOSM-vgRal1vTmne6PuiMnOMx21BZ0He0G2/s398/op3.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="362" data-original-width="398" height="291" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHgBjyT0FW0Zbz2gyl24D9RIJK7WCNWrWWjqzfKmlXr0ZJ6pjFfRsZZHgkW8ODSLGWwE1swehUV21jiFFs3jXrtmqM8hAhGHjg21N7QOb4NDlCteGgwZntmU-7AIrEOiNlRVmkcut16zIH9LUuyiKsJdOSM-vgRal1vTmne6PuiMnOMx21BZ0He0G2/s320/op3.png" width="320" /></a></div></span></b></div><div style="text-align: left;"><u><b><span style="color: #274e13;">RESOLUCIÓN</span></b></u></div><div style="text-align: left;"><u><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></u></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><i> Mire, profe. Basta con probar que dados P ↔ p y </i><i>Q ↔ q, si T es el punto común de p y q, y si t es la recta que pasa por P y Q, entonces </i><i> T ↔ t. Pero esto es fácil... Si T está en p y en q, entonces P y Q están en la polar de T, por lo tanto la polar de T es t. Recíprocamente, si t pasa por P y Q, entonces p y q se cortan en el polo de t, por lo tanto el polo de t es T.</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"> Al terminar, Yoyó Gaviota comentó lo siguiente:</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"> <i>Profe, mire. La dualidad permite relacionar teoremas... El teorema de Ceva y el teorema de Menelao son duales. También son duales el teorema de Pascal y el teorema de Brianchon. El teorema de Desargues es autodual... </i></span></b></div>Joséhttp://www.blogger.com/profile/07510117138022884554noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3945678956967880919.post-61423759957934849632023-02-25T09:13:00.011+01:002023-12-01T21:36:01.682+01:001690. Las torres de Hanói<div style="text-align: left;"><b><span style="color: #073763;"> Llevé a clase un juego antiguo que se llama "Las Torres de Hanói". Consiste en diez discos del mismo grosor y distintos radios (no hay dos radios iguales), que están perforados por sus centros para que se puedan ensartar en tres postes verticales fijos. Inicialmente los diez discos están apilados en un mismo poste formando una especie de cono escalonado (torre de Hanói) ordenados según sus radios (el mayor abajo y el menor arriba).</span></b></div><p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiAXbQUEocWg7SgeR1hlOtgBBZfyOlnEp8Uw2F5xkGphbC2f9Ft2oySUTZfp1vdK8hFyaCq-hBILd3WFS-51Xbdh_kwtIVIvy_Ln9my3oAoNboRy0We7PNnRxo5emI-YL3oZI_Rp3hhAzTrV_UUSnF5uRWMlSv83F0j9mgSdVOEJEH7JQ6I2dHB6tOn/s755/hanoi.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><b><span style="color: #073763;"><img border="0" data-original-height="447" data-original-width="755" height="189" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiAXbQUEocWg7SgeR1hlOtgBBZfyOlnEp8Uw2F5xkGphbC2f9Ft2oySUTZfp1vdK8hFyaCq-hBILd3WFS-51Xbdh_kwtIVIvy_Ln9my3oAoNboRy0We7PNnRxo5emI-YL3oZI_Rp3hhAzTrV_UUSnF5uRWMlSv83F0j9mgSdVOEJEH7JQ6I2dHB6tOn/s320/hanoi.png" width="320" /></span></b></a></div><b><span style="color: #073763;"><br /></span></b><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #073763;"> El objetivo del juego consistía en trasladar la torre del primer poste al tercer poste mediante la menor cantidad de movimientos legales. Un movimiento legal consiste en sacar de un poste el disco superior (menor) de una torre e insertarlo en otro poste de modo que no caiga encima de otro disco aún menor. Cuando la clase hubo examinado el juego pregunté cuál era ese mínimo número de movimientos legales para conseguir el traslado. Pepé Chapuza no dejó que los demás lo pensaran...</span></b></div><p></p><p><i><b><span style="color: #073763;"> ¡Mil veintitrés!</span></b></i></p><p><b><span style="color: #073763;"><i> </i>Los compañeros y yo mismo le pedimos explicaciones y Pepe se limitó a decir...</span></b></p><p><b><span style="color: #073763;"> <i>Profe, mire. Si hubiera N discos, serían 2</i><span style="text-align: center;"><span><i><sup>N</sup> − 1, así que para N = 10, son </i></span></span><i>2</i><span style="text-align: center;"><span><i><sup>10</sup> − 1 = 1023.</i></span></span></span></b></p><p><span style="text-align: center;"><span style="color: #073763;"><b><i> </i>Pepe dio un respuesta más general aún. Habrá que dar más explicaciones...</b></span></span></p><p><span style="text-align: center;"><span style="color: #800180;"><u><b>SOLUCIÓN</b></u></span></span></p><p><span style="text-align: center;"><span style="color: #800180;"><b> Nina Guindilla demostró la fórmula por inducción:</b></span></span></p><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;"><span> <i>Mire, profe. La fórmula vale para trasladar una torre entre dos postes cualesquiera... <br /></i></span></span><span style="text-align: center;"><span><i> Si solo hay un disco basta con un movimiento legal, y la fórmula se cumple: </i></span></span><i>2</i><span style="text-align: center;"><i><sup>1</sup> − 1 = 1</i></span></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;"><span><i> Si suponemos la fórmula cierta para N discos, para N+1 podemos primero trasladar los N discos menores a un poste (el segundo) en </i></span></span><i>2</i><span style="text-align: center;"><span><i><sup>N</sup> − 1 movimientos, después el disco mayor al otro poste (el tercero) en 1 movimiento, y finalmente los N discos menores a este poste (el tercero) sobre el disco mayor en </i></span></span><i>2</i><span style="text-align: center;"><span><i><sup>N</sup> − 1 movimientos </i></span></span><i style="text-align: center;">para formar la torre entera de N+1 discos. Sumando...</i></span></b></div><p style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i style="text-align: left;">2</i><span><i><sup>N</sup> − 1 + 1 + </i></span><i style="text-align: left;">2</i><span><i><sup>N</sup> − 1 = 2·</i></span><i style="text-align: left;">2</i><span><i><sup>N</sup> − 1 = </i></span><i style="text-align: left;">2</i><span><i><sup>N+1</sup> − 1</i></span></span></b></p><div style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><b><i> </i>Nina comentó que 1023 era también el número hasta el que se podía contar con nuestros diez dedos utilizando el sistema binario... Y que a cada dedo le correspondía un disco... Y entonces propuso dos problemas diabólicos...</b></span></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /><span><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhd9QOpDcZLfvnSB1rKRSfafyNhyNPE085_m2YIKduAlUOU1Br_EP9QwleoMjcd-HkLp1Np8MeQkhC_ar09_30WkBc8HrrrqoXbjigaBtltP5MvRG3zjqblp0PgdMr8gITQdfdiJXk1Obhn6KWm1ceEtH6Es_i7wQ47umSVVP534hr0s0u4nZboUnww/s432/manos.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="245" data-original-width="432" height="213" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhd9QOpDcZLfvnSB1rKRSfafyNhyNPE085_m2YIKduAlUOU1Br_EP9QwleoMjcd-HkLp1Np8MeQkhC_ar09_30WkBc8HrrrqoXbjigaBtltP5MvRG3zjqblp0PgdMr8gITQdfdiJXk1Obhn6KWm1ceEtH6Es_i7wQ47umSVVP534hr0s0u4nZboUnww/w376-h213/manos.png" width="376" /></a></div></span></span></b></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><b><br /></b></span></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><b> <i>A cada dedo le corresponde una potencia de dos: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 y 512. A cada combinación de dedos levantados le corresponde la suma de los valores correspondientes. ¿Qué combinación de dedos corresponde al número 666?</i></b></span></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><b><i> ¿Cuál es la disposición de las torres de Hanói después de 666 de los 1023 movimientos legales?</i></b></span></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #274e13;"><i><b><br /></b></i></span></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #274e13;"><u><b>RESOLUCIÓN</b></u></span></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #274e13;"><u><b><br /></b></u></span></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #274e13;"><b> Yoyó Gaviota levantó estos dedos no sin dificultad...</b></span></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><br /><span><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhT-3gkOawYUKI8ISulnDwhd-SimnB5lFG9zA_pD8HGfvGz_CMUyUhvyW8B6m3IKegxQlLgu_sPjselrbX1gtJxhoQYpe4ivZn0F_TzfrPy4YKw-QSWxzaN936GP1NHHCpwnLyrYCG7pfZbGzM0vYloPTfm4t5nOB0fwkD9I0s5RiTyMutvGHOqc_-7/s432/manos.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="245" data-original-width="432" height="216" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhT-3gkOawYUKI8ISulnDwhd-SimnB5lFG9zA_pD8HGfvGz_CMUyUhvyW8B6m3IKegxQlLgu_sPjselrbX1gtJxhoQYpe4ivZn0F_TzfrPy4YKw-QSWxzaN936GP1NHHCpwnLyrYCG7pfZbGzM0vYloPTfm4t5nOB0fwkD9I0s5RiTyMutvGHOqc_-7/w382-h216/manos.png" width="382" /></a></div></span></span></b></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #274e13;"><b><br /></b></span></div><div style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><b> 512 + 128 + 16 + 8 + 2 = 666</b></span></div><div style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><b><br /></b></span></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #274e13;"><b> <i> Profe, mire. Estos dedos se corresponden con los unos de 666 en binario: 1010011010.</i></b></span></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #274e13;"><b><br /></b></span></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><span> <i>Para las torres de Hanói tenemos que el polinomio P(x) = x</i></span><span style="text-align: center;"><i><sup>9</sup> + </i></span><span><i>x</i></span><span style="text-align: center;"><i><sup>7</sup> + </i></span><span><i>x</i></span><span style="text-align: center;"><i><sup>4</sup> + </i></span><span><i>x</i></span><span style="text-align: center;"><i><sup>3</sup> + </i></span><span><i>x</i></span><span style="text-align: center;"><i> (que Ruffini escribe 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0) cumple que P(2) = 666 y, aplicando el teorema del resto, tendremos que 666 = P(x) </i></span><i style="text-align: center;">− C(x)·(x</i><i style="text-align: center;">−2) donde C(x) es el cociente de la división de P(x) entre (x</i><i style="text-align: center;">−2). Ahora bien, para x = 1 tenemos que 666 = P(1) + C(1), que es la suma de los coeficientes del polinomio P(x) + C(x). Estos diez coeficientes son los movimientos de los diez discos...</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #274e13;"><i><b> Mire, profe. Si asignamos los números 0, 1 y 2 a los postes de izquierda a derecha, el movimiento de un disco azul ha de ser +1 (mod 3) y el de un disco rojo ha de ser +2 (mod 3), así que solo tenemos que calcular en módulo 3 los movimientos de cada disco...</b></i></span></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #274e13;"><i><b><br /></b></i><span><div class="separator" style="clear: both; font-style: italic; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1DwrRYk0vTIMAANoPT2EeKg2xU3kej8AQsgc2IGfc1X6-fx1Gsdn1TNIAC6R31Qj_uGSDskHCmXvlyBO0Zlj57GVLlyt5ywAwRdVF1zcfX8wDHpDfmQq3wWgIy8K4J-aYGe5l3CbkRDNKTu39V3HsHVVjDouU3P6ZWD5gQGIbrLbFns_oacoEoe6V/s572/ruffi.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><b><img border="0" data-original-height="305" data-original-width="572" height="255" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1DwrRYk0vTIMAANoPT2EeKg2xU3kej8AQsgc2IGfc1X6-fx1Gsdn1TNIAC6R31Qj_uGSDskHCmXvlyBO0Zlj57GVLlyt5ywAwRdVF1zcfX8wDHpDfmQq3wWgIy8K4J-aYGe5l3CbkRDNKTu39V3HsHVVjDouU3P6ZWD5gQGIbrLbFns_oacoEoe6V/w477-h255/ruffi.png" width="477" /></b></a></div><div class="separator" style="clear: both; font-style: italic; text-align: center;"><b><br /></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><i> </i>Yoyó hizo los cálculos y a continuación colocó los discos en sus postes (sin hacer los 666 movimientos)...</b><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiYHNhAMRXZu4lRoZmC4msIjjqUfzeFQcYeqKI078o1Qjmx_BYEd0_Smc7p2pLZf7J1i9GZvoekKweGQuHlwSPAGh4Fej8zeHggH3qqJfivdYhNtiiSHrpkXmUYcZRKH8WwrHgOAONI986CcEkAJo_PXIzbTAIQfxSQUBMGAD9S7-7DUeHVUUF2Angh/s756/torres.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><b><img border="0" data-original-height="317" data-original-width="756" height="174" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiYHNhAMRXZu4lRoZmC4msIjjqUfzeFQcYeqKI078o1Qjmx_BYEd0_Smc7p2pLZf7J1i9GZvoekKweGQuHlwSPAGh4Fej8zeHggH3qqJfivdYhNtiiSHrpkXmUYcZRKH8WwrHgOAONI986CcEkAJo_PXIzbTAIQfxSQUBMGAD9S7-7DUeHVUUF2Angh/w415-h174/torres.png" width="415" /></b></a></div></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><br /></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b> Dejaremos que el lector justifique los cálculos de Yoyó.</b></div></span></span></div>Joséhttp://www.blogger.com/profile/07510117138022884554noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3945678956967880919.post-76970409551209705522023-02-17T19:57:00.001+01:002023-02-19T08:32:26.227+01:001689. Los exincentros<p><b><span style="color: #134f5c;"> <i>Profe, mire. Si trazamos las bisectrices exteriores de un triángulo, estas se cortan de dos en dos en tres puntos llamados exincentros... ¡Curioso nombre...! Es contradictorio porque "ex" significa fuera e "in" significa dentro...</i></span></b></p><p><b><span style="color: #134f5c;"><i> </i>Le indiqué a Pepe Chapuza que era una contradicción aparente porque se puede estar fuera de casa y dentro del instituto... Pepe siguió con lo suyo...</span></b></p><p><b></b></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOHJXkArttj-zMDtEZQRMy0FfM6bhdm3sNw9dc_G8PcJ8uSaCNIJoh3HaiTkQynNIu5iNzR5jjnmoE98yORq9r4nf0P2B0DWRdFtLhv5n_aKN2VBn7CEtQnfcEU04tkiGX5Brr730oRP6KFNNGYVlOmJ-R2DskqaIAZNz8jk2raWT9eMjILwnOGTjl/s393/exin.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="274" data-original-width="393" height="266" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOHJXkArttj-zMDtEZQRMy0FfM6bhdm3sNw9dc_G8PcJ8uSaCNIJoh3HaiTkQynNIu5iNzR5jjnmoE98yORq9r4nf0P2B0DWRdFtLhv5n_aKN2VBn7CEtQnfcEU04tkiGX5Brr730oRP6KFNNGYVlOmJ-R2DskqaIAZNz8jk2raWT9eMjILwnOGTjl/w382-h266/exin.png" width="382" /></a></b></div><p></p><p><b><span style="color: #134f5c;"> <i>Si, tal como se muestra en la figura, a, b y c son los lados prolongados del triángulo; a', b' y c' son </i><i>las bisectrices interiores; y a", b" y c"</i><i> son las bisectrices exteriores; entonces el exincentro a"∩b" equidista de a, b y c, por lo que este exincentro es </i><i>a"∩b"</i><i>∩c'. Lo mismo podemos decir de los otros dos exincentros </i><i>a'∩b"</i><i>∩c" y </i><i> </i><i>a"∩b'</i><i>∩c". ¡Claro...! Los lados prolongados dividen el plano en siete regiones. Cuatro de ellas tienen tres lados: una finita (el triángulo) y tres infinitas. Los exincentros están dentro de estas y fuera de aquella... mientras que el incentro </i><i>a'∩b'</i><i>∩c' está fuera de estas y dentro de aquella...</i></span></b></p><p><b><span style="color: #134f5c;"><i> </i>Algo más acerca de los exincentros habrá que decir, ¿no?</span></b></p><p><u><b><span style="color: #800180;">SOLUCIÓN</span></b></u></p><p><b><span style="color: #800180;"> Nina Guindilla tomó la palabra...</span></b></p><p><b><span style="color: #800180;"> <i>Profe, mire. Como a' </i>⟂<i> </i><i>a", </i><i> b' </i>⟂<i> b</i><i>" y </i><i> c' </i>⟂<i> c</i><i>" resulta que las bisectrices internas y el incentro del triángulo <u>abc</u></i><i> son las alturas y el ortocentro del triángulo <u>a"b"c"</u> . Por lo tanto este triángulo</i><i> <u>a"b"c"</u></i><i> es siempre acutángulo porque su ortocentro cae siempre en su interior...</i></span></b></p><p><b><span style="color: #800180;"><i> </i>¿Algo más<i>?</i></span></b></p><p><u><span style="color: #38761d;"><b>RESOLUCIÓN</b></span></u></p><p><span style="color: #38761d;"><b> Yoyó Gaviota añadió:</b></span></p><p><span style="color: #38761d;"><b> <i>Profe, mire. Al igual que el incentro de un triángulo es el centro de su circunferencia inscrita, que es tangente a los tres lados. Los exincentros son los centros de tres circunferencias, cada una tangente a un lado y a dos prolongaciones de los otros dos lados. Estas circunferencias se denominan exinscritas, lógicamente.</i></b></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="color: #38761d;"><b><i><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgPRHedM0z52czgT0CCDFY1qRAQuRYAZf8VV0Av8l47E8x-DnDUS8Sksdt6Ee0VLotrnFpCOJ-KBeY_0NxEWRX2w732NGbNWKnnGuADHrdJpzUxxSnvE7nohQK1f6PRzwof9cuYxv2XPeVgH2RvyQf2GJWvPYqhTvoqNahlnfX7R0i7vUm9h4Mfnh-N/s371/inex2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="301" data-original-width="371" height="296" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgPRHedM0z52czgT0CCDFY1qRAQuRYAZf8VV0Av8l47E8x-DnDUS8Sksdt6Ee0VLotrnFpCOJ-KBeY_0NxEWRX2w732NGbNWKnnGuADHrdJpzUxxSnvE7nohQK1f6PRzwof9cuYxv2XPeVgH2RvyQf2GJWvPYqhTvoqNahlnfX7R0i7vUm9h4Mfnh-N/w364-h296/inex2.png" width="364" /></a></i></b></span></div><span style="color: #38761d;"><b><i><br /></i></b></span><p></p>Joséhttp://www.blogger.com/profile/07510117138022884554noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3945678956967880919.post-66546826478174866792023-02-17T01:40:00.002+01:002024-03-13T09:15:42.523+01:001688. El teorema de Rolle<div style="text-align: left;"> <b><span style="color: #0b5394;"> <i>Mire, profe. El teorema de Rolle dice que si f es una función real e variable real que es continua en un intervalo cerrado [a, b], derivable en el intervalo abierto (a, b) y tal que f(a) = f(b), entonces se tiene que existe al menos un valor c ∈ (a, b) para el cual f '(c) = 0.<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhaRuqBIiKERLZ5Tfu_pCilMx2ALt0Q8seLoQ84HpvOdYEPcj1sU6rsg1b5kR3JkON_Xt2p6XRK2Y5kJmcr9MKNmZrLnowB0eG-JckEzR9OcmF-zQHYfOPG0y-bWtkVSqsA3NAn4ebiCfeE3XxOpYZI7Gc0ZWjDGiPqL1yYGGmyAUkpMhEmRQ0z0Js1/s516/rolle.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="187" data-original-width="516" height="163" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhaRuqBIiKERLZ5Tfu_pCilMx2ALt0Q8seLoQ84HpvOdYEPcj1sU6rsg1b5kR3JkON_Xt2p6XRK2Y5kJmcr9MKNmZrLnowB0eG-JckEzR9OcmF-zQHYfOPG0y-bWtkVSqsA3NAn4ebiCfeE3XxOpYZI7Gc0ZWjDGiPqL1yYGGmyAUkpMhEmRQ0z0Js1/w450-h163/rolle.png" width="450" /></a></div></i><i> </i>Pepe Chapuza enunció este teorema. El número (punto de la recta real) c, donde se anula la derivada, se denomina punto crítico. Con este enunciado Pepe propuso el siguiente ejercicio.</span></b></div><p><b><span style="color: #0b5394;"> <i>Profe, mire la siguiente función definida a trozos:</i></span></b></p><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #0b5394;"><i>f(x) = Ax² + Bx − C + 1 si 1≤ x </i><i>≤</i><i> 2</i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #0b5394;"><i>f(x) = Cx³ + Bx</i><i>² </i><i>− Ax si 2 </i><i>≤ x </i><i>≤ </i><i> 3</i></span></b></div><div style="text-align: center;"><i><b><span style="color: #0b5394;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #0b5394;"> ¿Para qué valores A, B y C se verifican las hipótesis del teorema de Rolle y dónde se cumple la tesis?</span></b></i></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #0b5394;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #0b5394;"><i> </i>¿Quién quiere resolver este ejercicio?</span></b></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><u><b><span style="color: #800180;">SOLUCIÓN</span></b></u></div><div style="text-align: left;"><u><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></u></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> Nina Guindilla planteó un sistema de ecuaciones:</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> <i>Mire, profe. </i></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><i> Si la función tiene que ser continua en [1, 3], entonces los límites laterales de f cuando x tiende a 2 deben coincidir. (En los demás valores de x no hay problemas por tratarse de polinomios.) Además f(2) está definida en ambos trozos... Por lo tanto 4A + 2B </i><i style="text-align: center;">− C + 1 = 8C + 4B </i><i style="text-align: center;">−2A . </i></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><i style="text-align: center;"> Si la función tiene que ser derivable en (1, 3), entonces las derivadas laterales de f en x = 2 deben coincidir</i>:</span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>f '(x) = 2Ax + B si </i><i>1≤ x </i><i>≤</i><i> 2</i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>f '(x) = 3Cx</i><i>² + 2Bx </i><i>− A </i><i>si 2 </i><i>≤ x </i><i>≤ </i><i> 3</i></span></b></div><div style="text-align: center;"><i><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><i> Por lo tanto 4A + B = 12C + 4B </i><i style="text-align: center;">− A .</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><i style="text-align: center;"> Si además tiene que ser f(1) = f(3), 3ntonces </i><i style="text-align: center;">A + B − C + 1 = 27</i><i style="text-align: center;">C + 9B</i><i style="text-align: center;"> </i><i style="text-align: center;">− 3A.</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><i style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: left;"><i style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"> Tenemos que resolver el sistema:</span></b></i></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>6</i><i style="text-align: left;">A </i><i>−</i><i style="text-align: left;"> 2B </i><i>− 9C = </i><i>−1</i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i style="text-align: left;">5A </i><i>−</i><i style="text-align: left;"> 3B </i><i>−</i><i style="text-align: left;"> 12C = 0</i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>4A </i><i>−</i><i> 8B − 28C </i><i>= </i><i>−1</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #800180;"> Con la calculadora obengo</span></b></i></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>A = </i><i>−15</i><i>/4</i></span></b></div><div style="text-align: center;"><i><b><span style="color: #800180;">B = 119/4</span></b></i></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>C = </i><i>−9</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><i> </i>Falta el punto crítico...</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #38761d;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><u><b><span style="color: #38761d;">RESOLUCIÓN</span></b></u></div><div style="text-align: left;"><u><b><span style="color: #38761d;"><br /></span></b></u></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #38761d;"> Yoyó Gaviota anuló la derivada...</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #38761d;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #38761d;"> Mire, profe. En el primer trozo no está</span></b></i></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #38761d;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #38761d;"><i>2(</i><i>−15</i><i>/4</i><i>)c + </i><i>119/4 = 0</i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #38761d;"><i>c = 2·</i><i>119/15 = 15,8666... ∉ (1, 2]</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #38761d;">y en el segundo...</span></b></i></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #38761d;"><i>3(</i><i>−9</i><i>)c</i><i>² + 2(</i><i>119/4</i><i>)c </i><i>− (</i><i>−15</i><i>/4</i><i>) = 0</i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #38761d;"><i>− 108</i><i>c</i><i>² </i><i>+ 2</i><i>38</i><i>c + 15 = 0</i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #38761d;"><i>c = </i><i>−0,06132... </i><i>∉ [2, 3)</i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #38761d;"><i>c = 2,26502... </i><i style="text-align: left;">∈ </i><i>[2, 3)</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #38761d;"> Este último valor es la solución...</span></b></i></div>Joséhttp://www.blogger.com/profile/07510117138022884554noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3945678956967880919.post-63657597955933774862023-02-15T20:38:00.002+01:002023-02-16T20:29:55.489+01:001687. Las constantes de Feigenbaum<div style="text-align: left;"> <b><span style="color: #0b5394;">Pepe Chapuza estaba trabajando con el siguiente polinomio de segundo grado: </span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #0b5394;"><br /></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #0b5394;">P<sub>m</sub>(x) = x<sup>2</sup> + m</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #0b5394;"><br /><i> Mire, profe. Si componemos </i>P<sub>m</sub><i> consigo mismo tenemos un polinomio de cuarto grado:</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #0b5394;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #0b5394;"><span style="text-align: left;">P</span><sub style="text-align: left;">m</sub><sup style="text-align: left;">2)</sup>(x) = <span style="text-align: left;">P</span><sub style="text-align: left;">m</sub>(<span style="text-align: left;">P</span><sub style="text-align: left;">m</sub>(x)) = <span style="text-align: left;">P</span><sub style="text-align: left;">m</sub>(<span style="text-align: left;">x</span><sup style="text-align: left;">2</sup><span style="text-align: left;"> + m</span>) = (<span style="text-align: left;">x</span><sup style="text-align: left;">2</sup><span style="text-align: left;"> + m</span>)<sup style="text-align: left;">2</sup><span style="text-align: left;"> + m = </span><span style="text-align: left;">x</span><sup style="text-align: left;">4</sup><span style="text-align: left;"> + 2mx</span><sup style="text-align: left;">2</sup><span style="text-align: left;"> + m</span><sup style="text-align: left;">2</sup><span style="text-align: left;"> + m</span></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #0b5394;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #0b5394;"> <i>Si volvemos a componer tenemos </i><span style="text-align: center;"><span style="text-align: left;">P</span><sub style="text-align: left;">m</sub><sup style="text-align: left;">3)</sup>(x) <i>que será un polinomio de octavo grado... y así sucesivamente </i></span><span style="text-align: center;"><span style="text-align: left;">P</span><sub style="text-align: left;">m</sub><sup style="text-align: left;">n)</sup>(x) <i>será un polinomio de grado </i>2</span><sup>n</sup>. <i>Pues bien, consideremos ahora la sucesión </i></span></b><b><span style="color: #0b5394;"><span style="text-align: center;"><span style="text-align: left;">P</span><sub style="text-align: left;">m</sub><sup style="text-align: left;">n)</sup></span></span></b><b><span style="color: #0b5394;"><span style="text-align: center;">(0) <i>(donde </i></span></span></b><b><span style="color: #0b5394;"><span style="text-align: center;"><span style="text-align: left;">P</span><sub style="text-align: left;">m</sub><sup style="text-align: left;">1)</sup></span></span></b><b><span style="color: #0b5394;"><span style="text-align: center;">(0) = </span></span></b><b><span style="color: #0b5394;"><span style="text-align: center;"><span style="text-align: left;">P</span><sub style="text-align: left;">m</sub></span></span></b><b><span style="color: #0b5394;"><span style="text-align: center;">(0) = m<i>).</i></span></span></b><b><span style="color: #0b5394;"><span style="text-align: center;"> </span><i style="text-align: center;">Los primeros términos de esta sucesión son: </i><span style="text-align: center;">m,</span><i style="text-align: center;"> </i>m<sup>2</sup> + m, <span style="text-align: center;">(m</span><sup>2</sup> + m<span style="text-align: center;">)</span><sup>2</sup> + m, ... <i>La cuestión es: ¿Cuál es el comportamiento de esta sucesión?</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #0b5394;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #0b5394;"> Dicho comportamiento dependerá del valor de m, ¿verdad?</span></b></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><u><b><span style="color: #800180;">SOLUCIÓN</span></b></u></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> Nina Guindilla probó con algunos valores para m.</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> <i> Profe, mire. Si </i>m = 0,<i> la sucesión es constante: </i>0, 0, 0, 0, 0, 0, ... <i>Si </i>m = 1, <i>la sucesión diverge rápidamente:</i> 1, 2, 5, 26, 677, 458330, ... <i>Si </i>m = −1, <i>la sucesión es oscilante: </i>−1, 0, −1, 0, −1, 0, ... <i>Pongamos un poco de orden... ¿Para qué valores de</i> m<i>, la sucesión </i><span style="text-align: center;"><span style="text-align: left;">P</span><sub style="text-align: left;">m</sub><sup style="text-align: left;">n)</sup>(0) <i>tiene puntos límite y cuántos? Consideramos la "función" </i>L(m) <i>que a cada valor de </i>m <i>le hace corresponder el conjunto de los puntos límite de la sucesión </i></span>P<sub>m</sub><sup>n)</sup><span style="text-align: center;">(0)</span><span style="text-align: center;"><i>. </i></span><span style="text-align: center;"><i>En los casos anteriores, </i>L(0) = {0}, L(1) = {} <i>y</i> L(</span>−1) = {−1, 0}. </span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;"><i> Buscaremos primero sucesiones con un punto límite </i></span></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;"> = lim</span><span style="text-align: center;"><i> </i></span><sub>n→∞</sub><span style="text-align: center;"><i> </i></span><span style="text-align: center;"><span style="text-align: left;">P</span><sub style="text-align: left;">m</sub><sup style="text-align: left;">n)</sup>(0), <i>esto es,</i></span><span style="text-align: center;"><i> </i>L(m) = {</span></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">}, <i>es decir, sucesiones convergentes...</i></span><span style="text-align: center;"><i> Para ese valor,</i><i> </i></span></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;"> = </span><span style="text-align: center;"><span style="text-align: left;">P</span><sub style="text-align: left;">m</sub>(</span></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">). </span><span style="text-align: center;"><i>Buscaremos los casos seguros en los que </i></span>−1 < P<sub>m</sub><span style="text-align: center;">'(</span></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">) < 1.</span></span></b></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #800180; text-align: center;"><b><br /></b></span></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: left;">P<sub>m</sub>(</span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: left;">) = </span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><sup style="text-align: left;">2</sup> <span style="text-align: left;">+ m = </span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b></div><div style="text-align: center;"><b style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: left;"><sup>2</sup> </span><span style="text-align: left;">−</span><span style="text-align: left;"> </span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: left;"> </span><span style="text-align: left;">+ m </span><span style="text-align: left;">= 0</span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: left;"> = 1/2 </span><span style="text-align: left;">±</span><span style="text-align: left;"> √(1/4</span><span style="text-align: left;">−</span><span style="text-align: left;">m)</span></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> <i> La derivada...</i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="text-align: left;">P</span><sub style="text-align: left;">m</sub>'(</span></span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;">)</span> = 2·</span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b></div><div style="text-align: center;"><span style="color: #800180; text-align: left;"><b><span style="text-align: center;"><i> </i></span>−1 < 2·</b><b style="color: black;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="text-align: center;"> < 1</span></b></span></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: left;">−1 < 1 </span><span style="text-align: left;">± 2√(1/4</span><span style="text-align: left;">−</span><span style="text-align: left;">m) <</span><span style="text-align: left;"> </span><span style="text-align: left;">1</span></span></b></div><div style="text-align: center;"><span style="color: #800180; text-align: left;"><b><span>−1 < </span><span>−√(1/4</span><span>−</span><span>m) <</span><span> 0</span></b></span></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: left;"><span>−1 <</span><span><span> </span><span>m </span></span></span><span style="text-align: left;">− </span><span style="text-align: left;">1/4</span><span style="text-align: left;"> < 0</span></span></b></div><div style="text-align: center;"><span style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><b>−3/4 < m < 1/4</b></span></span></div><div style="text-align: center;"><span style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><b><br /></b></span></span></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> <i>Estos no son los únicos valores de </i>m<i> que aseguran la convergencia. Para</i> m <i>= </i>−2 <i>tenemos la sucesión:</i> −2, 2, 2, 2, 2, 2, <i>esto es</i>, L(</span></b><b><span style="color: #800180;">−2)</span></b><b><span style="color: #800180;"> = {2}.<i> También se tiene la convergencia para </i>m = 1/4 <i>con </i>L(1/4)</span></b><b><span style="color: #800180;"> = {1/2} <i>y para</i> m = −3/4 <i>con</i> </span></b><b><span style="color: #800180;"><span>L(</span></span></b><b><span style="color: #800180;">−3/4)<span style="font-size: 13.3333px;"> </span></span></b><b><span style="color: #800180;">= {−1/2}.</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> <i>Busquemos ahora las sucesiones con dos puntos límite, o sea, </i><span style="text-align: center;">L</span><span style="text-align: center;">(m) = {</span></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">, <span style="text-align: left;">P</span><sub style="text-align: left;">m</sub>(</span></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">)}. <i>Ahora tenemos que </i></span></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;"> = lim</span><span style="text-align: center;"><i> </i></span><sub>n→∞</sub><span style="text-align: center;"><i> </i></span><span style="text-align: center;"><span style="text-align: left;">P</span><sub style="text-align: left;">m</sub><sup style="text-align: left;">2n−1)</sup>(0) </span><span style="text-align: center;"> <i>y que </i></span></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;"><i> = </i></span><span style="text-align: center;"><span style="text-align: left;">P</span><sub style="text-align: left;">m</sub><sup style="text-align: left;">2)</sup>(</span></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">).</span></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><div style="text-align: center;"><b style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;"><span style="text-align: left;">P</span><sub style="text-align: left;">m</sub><sup style="text-align: left;">2)</sup></span></span></b><b><span style="color: #800180;">(</span></b><b style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;">) <span style="text-align: left;">= </span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><sup style="text-align: left;">4</sup><span style="text-align: left;"> + 2·m·</span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><sup style="text-align: left;">2</sup><span style="text-align: left;"> + </span><span style="text-align: left;">m</span><sup style="text-align: left;">2</sup><span style="text-align: left;"> + m = </span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b></div><div style="text-align: center;"><b style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><sup style="text-align: left;">4</sup><span style="text-align: left;"> + 2·m·</span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><sup style="text-align: left;">2</sup></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: left;"> </span><span style="text-align: left;">−</span><span style="text-align: left;"> </span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><sup style="text-align: left;">2</sup></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: left;"> </span><span style="text-align: left;">+ </span><span style="text-align: left;">m</span><sup style="text-align: left;">2</sup><span style="text-align: left;"> + m = 0</span></span></b></div><div style="text-align: center;"><span style="color: #800180; text-align: left;"><b><br /></b></span></div></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> <i> Simplificamos la ecuación </i>e<i>liminando las soluciones correspondientes a sucesiones convergentes, en las que </i></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">= </span><span style="text-align: center;"><span style="text-align: left;">P</span><sub style="text-align: left;">m</sub>(</span></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">) </span><span style="text-align: center;"><i>= </i></span></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;"><span style="text-align: left;">P</span><sub style="text-align: left;">m</sub><sup style="text-align: left;">2)</sup></span></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">(</span></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">).</span></span></b></div><div><br /></div><div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: left;">( </span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><sup style="text-align: left;">4</sup><span style="text-align: left;"> + 2·m·</span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><sup style="text-align: left;">2</sup></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: left;"> </span><span style="text-align: left;">−</span><span style="text-align: left;"> </span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><sup style="text-align: left;">2</sup></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: left;"> </span><span style="text-align: left;">+ </span><span style="text-align: left;">m</span><sup style="text-align: left;">2</sup><span style="text-align: left;"> + m</span></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: left;"> ) / ( </span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: left;"><sup>2</sup> </span><span style="text-align: left;">−</span><span style="text-align: left;"> </span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: left;"> </span><span style="text-align: left;">+ m</span></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: left;"> ) = 0</span></span></b></div></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: left;"> </span><span style="text-align: left;"> </span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: left;"><sup>2</sup><span style="text-align: center;"> + </span></span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"> + m + 1 = 0</span></span></span></b></div><div style="text-align: center;"><span style="text-align: left;"><span style="color: #800180; text-align: center;"><b><div><span style="text-align: left;"><b style="color: black;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b> = </span><span style="text-align: left;">−1/2 − √(1/4</span><span style="text-align: left;">−m</span><span style="text-align: left;">−1)</span></div><div><span style="text-align: left;">P<sub>m</sub>(<b style="color: black;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b>) = </span><span style="text-align: left;">−1/2 </span><span style="text-align: left;">+</span><span style="text-align: left;"> √(1/4</span><span style="text-align: left;">−m</span><span style="text-align: left;">−1</span></div></b><div style="text-align: left;"><b><i> La derivada...</i></b></div><b><div><span style="text-align: left;">−1 < </span><b style="color: black; text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;"><span style="text-align: left;">P</span><sub style="text-align: left;">m</sub><sup style="text-align: left;">2)</sup></span></span></b><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><sup style="text-align: left;"> </sup>'(<b style="color: black; text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b>)</span> < 1</span></div></b><b><div><span style="text-align: left;">−1 < 4·</span><b style="color: black; text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b style="color: black; text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;"><sup style="text-align: left;">3</sup></span></span></b><span style="text-align: left;"> + 4m·</span><span style="text-align: left;"><b style="color: black;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b> < 1</span></div></b><b><div><span style="text-align: left;"><span>−1/4 < <b style="color: black;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b>·(</span><b style="color: black;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><sup>2</sup><span> + m)</span><span> < 1/4</span></span></div></b></span></span></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: left;"><span>−1/4 < </span></span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: left;"><span>·(</span><span>−</span></span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: left;">−1</span><span style="text-align: left;">)</span><span style="text-align: left;"> < 1/4</span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: left;"><span><span>−1/4 < </span></span></span><span style="text-align: left;">− </span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><sup style="text-align: left;">2</sup><span style="text-align: left;"><span> </span></span><span style="text-align: left;">− </span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;">l</span><sub>m</sub></span></b><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: left;"> < 1/4</span></span></b></div><div style="text-align: center;"><span style="color: #800180; text-align: left;"><b><span><span><span>−1/4 < m + 1</span></span></span><span> < 1/4</span></b></span></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: left;"><span>−5/4 < m < </span></span><span style="text-align: left;">−3/4</span></span></b></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #800180;"> Podemos dibujar a mano estos dos arcos de parábola en una gráfica... pero e</span></b></i><b><span style="color: #800180;"><i>l grado de las ecuaciones crecen exponencialmente respecto del número de puntos límite... así que solo con la fuerza bruta de los ordenadores podemos ver cómo se duplican una y otra vez los puntos límite en el denominado diagrama de bifurcaciones o árbol de Feigenbaum. </i>;-)</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><i><b><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjTgTR81Kt1qokMgQft1MQSHwr8WsBihvdxSxfKhh5zULZRoayFeugl-oRb-2Ym3FRYkc9vcNzt8DqCPDi8KkxdMECk_1dRJdv2Kwzu8WJU1pA1IjLEQ5hzQkGDfMGBDgfqds1e0E8F3yaLCNvef08w4rxXjwZjXcX_gwR1l_iYC5n5A7H6pxKn71TF/s669/bifur.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="669" data-original-width="586" height="554" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjTgTR81Kt1qokMgQft1MQSHwr8WsBihvdxSxfKhh5zULZRoayFeugl-oRb-2Ym3FRYkc9vcNzt8DqCPDi8KkxdMECk_1dRJdv2Kwzu8WJU1pA1IjLEQ5hzQkGDfMGBDgfqds1e0E8F3yaLCNvef08w4rxXjwZjXcX_gwR1l_iYC5n5A7H6pxKn71TF/w485-h554/bifur.png" width="485" /></a></div><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><i> </i>Los arcos entre bifurcaciones son cada vez más pequeños. ¿A qué ritmo menguan?</span></b></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><u><b><span style="color: #38761d;">RESOLUCIÓN</span></b></u></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #38761d;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #38761d;"> Yoyó Gaviota encontró en Internet las llamadas constantes de Feigenbaum que nos dan una idea de cómo menguan los arcos a lo largo y a lo ancho: ¡casi como progresiones geométricas!</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #38761d;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #38761d;"> <i> Profe, mire. La primera constante de Feigenbaum es </i>δ = 4,6692<i>... </i>= <span style="text-align: center;">lim</span><span style="text-align: center;"><i> </i></span><sub>n→∞</sub><span style="text-align: center;"><i> </i></span><span style="text-align: center;"><span style="text-align: left;">(</span></span>d<sub>n</sub>/d<sub>n+1</sub>)<i> y la segunda constante de Feigenbaum es </i>α = 2,5029...<i> </i><span style="text-align: center;">= lim</span><span style="text-align: center;"><i> </i></span><sub>n→∞</sub><span style="text-align: center;"><i> </i></span><span style="text-align: center;"><span style="text-align: left;">(</span></span>a<sub>n</sub>/a<sub>n+1</sub>).</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #38761d;"> <i>Mire, profe. ¡Hemos estado estudiando la parte real del conjunto de Mandelbrot!</i></span></b></div>Joséhttp://www.blogger.com/profile/07510117138022884554noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3945678956967880919.post-46163092939432483952023-02-10T11:15:00.018+01:002023-11-28T12:26:15.971+01:001686. El teorema de Haruki<p><b><span style="color: #073763;"> <i>Mire, profe. Tres circunferencias son mutuamente secantes. En total hay 6 puntos de intersección, A, B, C, D, E y F, que son vértices consecutivos de un hexágono en el que ningún lado es cuerda común de dos circunferencias y tres lados consecutivos cualesquiera son sucesivamente sendas cuerdas de las tres circunferencias. Entonces se tiene la siguiente relación entre las longitudes de los lados del hexágono AB</i><i>·</i><i>CD</i><i>·</i><i>EF </i><i>= </i><i>BC</i><i>·</i><i>DE</i><i>·</i><i>FA.</i></span></b></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhWCrUZPA-1GUyvOEC1tMzy2zhNRZnl7wgqIPoWl4eV51RMkcryNB8Uyr4e5yBEiVxdeCdlDdYJwP0XiCQdBQzx_sWcJ1CMzeFAr9FvVl6GOJbavex_a0sztc40Qnes5vkEkaLLqE452Ddzj6w_uxLngwQZ26SFsB41o5RC13BY09NCjgPwZql7vhxq/s301/abc.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="280" data-original-width="301" height="280" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhWCrUZPA-1GUyvOEC1tMzy2zhNRZnl7wgqIPoWl4eV51RMkcryNB8Uyr4e5yBEiVxdeCdlDdYJwP0XiCQdBQzx_sWcJ1CMzeFAr9FvVl6GOJbavex_a0sztc40Qnes5vkEkaLLqE452Ddzj6w_uxLngwQZ26SFsB41o5RC13BY09NCjgPwZql7vhxq/s1600/abc.png" width="301" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #073763;"> Pepe Chapuza enunció el teorema de Haruki con este dibujo para situarnos... Habrá que proporcionar una demostración, ¿verdad?</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><u><b><span style="color: #800180;">SOLUCIÓN</span></b></u></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><u><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></u></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> Nina Guindilla se sirvió del dibujo para ofrecer una demostración...</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgQfC5jDicAZY0BfGf8YUh69kXH09VhS-iaSa9vK9jvSwOJ1bc1hP609W1Ssc7RmFAAMOLOhNkZeYSkrSV4eg1Y1ZjopRLVJ3MzTFZ_jIZCHj52cyohUFep8mQ8EjJCQCVRYb_pol8HZSfx_9qKhLyOJEsVYm59Rn-5nSuxTPosodRu8TCZH6GxnYOv/s301/abcd.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="280" data-original-width="301" height="280" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgQfC5jDicAZY0BfGf8YUh69kXH09VhS-iaSa9vK9jvSwOJ1bc1hP609W1Ssc7RmFAAMOLOhNkZeYSkrSV4eg1Y1ZjopRLVJ3MzTFZ_jIZCHj52cyohUFep8mQ8EjJCQCVRYb_pol8HZSfx_9qKhLyOJEsVYm59Rn-5nSuxTPosodRu8TCZH6GxnYOv/s1600/abcd.png" width="301" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> <i>Profe, mire. Cada pareja de circunferencias tiene un eje radical que pasa por sus dos puntos de intersección. La intersección de los tres ejes radicales es el centro radical G de las tres circunferencias. Los triángulo ABG y EDG son semejantes porque tienen los mismos ángulos (opuestos por el vértice o inscritos en la misma circunferencia y abarcando el mismo arco), por lo que AB:</i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i>BG </i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i>= </i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i>DE</i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i>:</i><i>DG. Igualmente son semejantes los triángulos </i><i>CDG y </i><i>AFG</i><i>, por lo que </i><i>CD:</i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i>DG </i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i>= </i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i>FA</i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i>:</i><i>FG; </i><i>y los triángulos </i><i>CBG y EFG, por lo que </i><i>EF:</i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i>FG</i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i> = </i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i>BC</i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i>:</i><i>BG</i><i>. Multiplicando las tres igualdades tenemos </i><i>AB·CD·EF:BG:DG:FG = BC·DE·FA</i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i>:BG:DG:FG</i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i>, de donde se obtiene el resultado.</i></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><i><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><i> </i>¿Se sigue cumpliendo el teorema si la disposición de las circunferencias no es la del dibujo de Pepe?</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><u><span style="color: #274e13;"><b>RESOLUCIÓN</b></span></u></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><u><span style="color: #274e13;"><b><br /></b></span></u></div><div><span style="color: #274e13;"><b> Yoyó Gaviota dibujó distintas disposiciones comprobando que todo seguía funcionando:</b></span></div><div><span style="color: #274e13;"><b><br /></b></span><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6e3Ook4a2s0ObBHa5TbuwPAeUp_tVkCj5JylJ8kfRmcYc1p1GNz9W9wHN9yPkoi0_jzVEa679QveKBGiw9sEceVdlinhDuaFJCij2CrESC9PMLebwdm9tTZi0H8GJGKpHBm9lT7xurLGXTOPm3NYF1rzOawXjaKWa5lKXVDmlqxYucT0PTxZUnHQR/s703/abcde.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="567" data-original-width="703" height="430" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6e3Ook4a2s0ObBHa5TbuwPAeUp_tVkCj5JylJ8kfRmcYc1p1GNz9W9wHN9yPkoi0_jzVEa679QveKBGiw9sEceVdlinhDuaFJCij2CrESC9PMLebwdm9tTZi0H8GJGKpHBm9lT7xurLGXTOPm3NYF1rzOawXjaKWa5lKXVDmlqxYucT0PTxZUnHQR/w533-h430/abcde.png" width="533" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div></div><div><span style="color: #274e13;"><b> Se deja al lector investigar otras disposiciones y los casos límite: con puntos de intersección coincidentes, con circunferencias tangentes en vez de secantes, con los centros de las circunferencias alineados (con ejes radicales paralelos y sin centro radical) o si en vez de circunferencia hay alguna recta...</b></span></div>Joséhttp://www.blogger.com/profile/07510117138022884554noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3945678956967880919.post-58511971166006987262023-02-06T22:56:00.006+01:002023-11-28T12:45:51.458+01:001685. Las perlas japonesas...<div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #0b5394;"> Profe, mire. En un estuche caben dos perlas sueltas, y también una pulsera de perlas ensartadas. Cuando cierro el estuche, las perlas sueltas se tocan y también tocan la pared del estuche; y cada perla de la pulsera toca las dos perlas sueltas, la pared del estuche y, lógicamente, sus dos perlas contiguas en la pulsera. Las perlas pueden no ser del mismo tamaño pero son perfectamente esféricas; el interior del estuche también es una esfera perfecta... ¿Cuántas perlas tiene la pulsera?</span></b></i></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #0b5394;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #0b5394;"><i> </i> Este enunciado que nos ha leído Pepe Chapuza apareció en un templo de Japón. Busca la solución...</span></b></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><u><b><span style="color: #800180;">SOLUCIÓN</span></b></u></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> Nina Guindilla encontró que esta disposición se denominaba sexteto de Soddy y que la pulsera está formada por seis perlas... Nos mostró un dibujo... y luego explicó este resultado...</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgT-8uaW4YZ8rJf02-F6rSljOcoJnJQXuzM99kZNoJXy8p1a4WkVljzhjJlJt_kN3UuZE6Ucg_iUSpLhkcbxefugeS-8_IIiivKGJM2Z3WbaKXgc53bCSTYiMWxRW5NchnjTfZQKFWRnybdadfCGIuwKxUY5m9ErczrZR4HGyLGvTGO__XtbFW-xzjJ/s396/inv.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><b><span style="color: #800180;"><img border="0" data-original-height="366" data-original-width="396" height="296" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgT-8uaW4YZ8rJf02-F6rSljOcoJnJQXuzM99kZNoJXy8p1a4WkVljzhjJlJt_kN3UuZE6Ucg_iUSpLhkcbxefugeS-8_IIiivKGJM2Z3WbaKXgc53bCSTYiMWxRW5NchnjTfZQKFWRnybdadfCGIuwKxUY5m9ErczrZR4HGyLGvTGO__XtbFW-xzjJ/s320/inv.png" width="320" /></span></b></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> <i>Profe, mire. La función "vectorial" del "espacio" </i><i><span face="sans-serif"><span style="background-color: white; font-size: 14px;">R³ ∪ {<u>∞</u>} </span></span></i><i>en sí mismo</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><i><span face="sans-serif"><span style="background-color: white; color: #800180; font-size: 14px;"><b><br /></b></span></span></i></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>inv (<u>v</u>) = <u>v</u>/<u>v</u>² si </i><i><u>v</u></i><i> ≠ <u>o</u> y </i><i><u>v</u></i><i> ≠ </i><i><span face="sans-serif"><span style="background-color: white; font-size: 14px;"><u>∞</u></span></span></i><i> </i></span></b></div><div style="text-align: left;"><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i><span face="sans-serif"><span style="background-color: white; font-size: 14px;">inv (</span></span></i><i><u>o</u></i><i><span face="sans-serif"><span style="background-color: white; font-size: 14px;">) = </span></span></i><i><span face="sans-serif"><span style="background-color: white; font-size: 14px;"><u>∞</u></span></span></i><i> e </i><i><span face="sans-serif"><span style="background-color: white; font-size: 14px;">inv (</span></span></i><i><span face="sans-serif"><span style="background-color: white; font-size: 14px;"><u>∞</u></span></span></i><i><span face="sans-serif"><span style="background-color: white; font-size: 14px;">) = </span></span></i><i><u>o</u></i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i><u><br /></u></i></span></b></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #800180;">se denomina inversión.</span></b></i></div><div style="text-align: left;"><i style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></div></div><div style="text-align: left;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihokbd1nwLK5uZFkXNpCMv_TQ5txEBTAbqvAtSoQpQ65kIEsBCpOWlJxd-NM8K1LSMzeuESuXHzJZBgXj_c6zLWpGeyn_cq5kd3HIpv60MFSCrhtMdxJ6jSYQmVv_cyOBUePz_yTlABRtXfViHCGkorxAu2vHL_CpP5i85fje5BEe5qg7BEzcaF7-p/s320/inv.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><b><span style="color: #800180;"><img border="0" data-original-height="204" data-original-width="320" height="204" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihokbd1nwLK5uZFkXNpCMv_TQ5txEBTAbqvAtSoQpQ65kIEsBCpOWlJxd-NM8K1LSMzeuESuXHzJZBgXj_c6zLWpGeyn_cq5kd3HIpv60MFSCrhtMdxJ6jSYQmVv_cyOBUePz_yTlABRtXfViHCGkorxAu2vHL_CpP5i85fje5BEe5qg7BEzcaF7-p/s1600/inv.png" width="320" /></span></b></a></div><b><span style="color: #800180;"><i> </i><i style="text-align: center;">Si identificamos un "punto" del "espacio" con su "vector" de "posición" </i><i style="text-align: center;"><u>v</u></i><i style="text-align: center;"> entonces el vector nulo <u>o</u> es el origen de coordenadas y el "vector" infinito</i><i style="text-align: center;"> </i><i><span face="sans-serif"><span style="background-color: white; font-size: 14px;"><u>∞</u></span></span></i><i style="text-align: center;"> es un "punto" ideal... </i></span></b></div><div style="text-align: left;"><i style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: left;"><div class="separator" style="clear: both; font-style: italic; text-align: center;"></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><i> Mire, profe. En lo que sigue supondremos que </i><u style="font-style: italic;">v</u><i> no es ni </i><i style="text-align: center;"><u>o</u> ni</i><i><span style="text-align: center;"> </span><span face="sans-serif"><span style="background-color: white; font-family: inherit; font-size: 14px;"><u>∞</u></span></span>...</i></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><i><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><i> La inversión es una función </i><i>autorrecíproca, esto es, inv ○ inv = id, y por tanto es biyectiva,</i></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><i style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i style="text-align: left;">inv (inv (</i><i><u>v</u></i><i style="text-align: left;">)) = inv (</i><i><u>v</u>/<u>v</u>²</i><i>)= (</i><i><u>v</u>/<u>v</u>²)/(</i><i><u>v</u>²/(</i><i><u>v</u>²</i><i>)</i><i>²) = </i><i>(</i><i><u>v</u>²</i><i>)</i><i>²/(</i><i><u>v</u>²</i><i>)</i><i>² </i><i><u>v</u></i><i> = </i><i><u>v</u></i></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>inv (inv (<u>o</u>)) = <u>o</u> inv (inv (</i><i style="text-align: left;"><span face="sans-serif"><span style="background-color: white; font-size: 14px;"><u>∞</u></span></span></i><i>) = </i><i style="text-align: left;"><span face="sans-serif"><span style="background-color: white; font-size: 14px;"><u>∞</u></span></span></i></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><i> Veamos cómo se invierte una esfera (superficie esférica) </i><i>σ de centro</i><i> <u>c</u> y radio r... </i></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><i><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><i> Si la esfera no pasa por <u>o</u> entonces </i><i><i><i><u>c</u></i><i><i>² ≠</i></i><i><i> r</i><i>²</i></i></i></i></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><i><i><i><i><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></i></i></i></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i style="text-align: left;"><i><i>σ</i><i> : (</i><u style="text-align: center;">v</u></i></i><i style="text-align: left;">−<u>c</u>)</i><i style="text-align: left;">² </i><i style="text-align: left;">−</i><i style="text-align: left;"> r</i><i style="text-align: left;">² = 0</i></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><i style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><i><i><i>σ</i><i> : </i></i></i><i><i><i style="text-align: center;"><u>v</u>²</i></i><i><i style="text-align: center;"> </i><i>− 2<u>c</u></i></i><i>·<u>v</u></i><i> +</i><i> <u>c</u></i><i><i>² </i></i><i>−</i><i><i> r</i><i>² </i></i>= 0</i></span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i style="text-align: left;"><i style="text-align: center;">inv(σ) : </i></i><i style="text-align: left;"><i style="text-align: center;">1</i></i><i style="text-align: left;"><i style="text-align: center;">/<u>v</u>²</i></i><i style="text-align: left;"><i style="text-align: center;"> </i><i>− 2<u>c</u></i></i><i style="text-align: left;">·<u>v</u></i><i style="text-align: left;">/</i><i><u>v</u>²</i><i style="text-align: left;"> +</i><i style="text-align: left;"> <u>c</u></i><i style="text-align: left;"><i>² </i></i><i style="text-align: left;">−</i><i style="text-align: left;"><i> r</i><i>² = 0</i></i></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i style="text-align: left;"><i><i><i style="text-align: center;">inv(σ) : </i></i><i><i style="text-align: center;">1/</i></i></i></i><i style="text-align: left;"><i><i>(<u>c</u></i><i><i>²</i></i></i></i><i style="text-align: left;"> </i><i style="text-align: left;">−</i><i style="text-align: left;"><i><i><i> r</i><i>²)</i></i></i></i><i style="text-align: left;"><i><i><i style="text-align: center;"> </i><i>− 2<u>c</u></i></i><i>·<u>v</u></i></i></i><i style="text-align: left;"><i><i><i style="text-align: center;">/</i></i></i></i><i style="text-align: left;"><i><i>(<u>c</u></i><i><i>²</i></i></i></i><i style="text-align: left;"> </i><i style="text-align: left;">−</i><i style="text-align: left;"><i><i><i> r</i><i>²)</i></i></i></i><i style="text-align: left;"><i><i> +</i><i> </i></i></i><i><u>v</u>² = 0</i></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i style="text-align: left;"><i><i><i style="text-align: center;">inv(σ) </i></i></i></i><i style="text-align: left;"><i><i>: (</i><u style="text-align: center;">v</u></i></i><i style="text-align: left;"> </i><i style="text-align: left;">− </i><i style="text-align: left;"><u>c</u></i><i style="text-align: left;"><i><i><i style="text-align: center;">/</i></i></i></i><i style="text-align: left;"><i><i>(<u>c</u></i><i><i>²</i></i></i></i><i style="text-align: left;"> </i><i style="text-align: left;">−</i><i style="text-align: left;"><i><i><i> r</i><i>²)</i></i></i></i><i style="text-align: left;">)</i><i style="text-align: left;">² + 1</i><i style="text-align: left;"><i><i><i style="text-align: center;">/</i></i></i></i><i style="text-align: left;"><i><i>(<u>c</u></i><i><i>²</i></i></i></i><i style="text-align: left;"> </i><i style="text-align: left;">−</i><i style="text-align: left;"><i><i><i> r</i><i>²) </i></i></i></i><i style="text-align: left;">−</i><i style="text-align: left;"> </i><i style="text-align: left;"><u>c</u></i><i style="text-align: left;">²</i><i style="text-align: left;"><i><i><i style="text-align: center;">/</i></i></i></i><i style="text-align: left;"><i><i>(<u>c</u></i><i><i>²</i></i></i></i><i style="text-align: left;"> </i><i style="text-align: left;">−</i><i style="text-align: left;"><i><i><i> r</i><i>²)</i></i></i></i><i style="text-align: left;">² = 0</i></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><i style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><i><i><i><i style="text-align: center;">inv(σ) </i></i></i></i><i><i><i>: (</i><u style="text-align: center;">v</u></i></i><i> </i><i>− </i><i><u>c</u></i><i><i><i><i style="text-align: center;">/</i></i></i></i><i><i><i>(<u>c</u></i><i><i>²</i></i></i></i><i> </i><i>−</i><i><i><i><i> r</i><i>²)</i></i></i></i><i>)</i><i>²</i><i><i><i><i> </i></i></i></i><i>− r</i><i>²</i><i><i><i><i style="text-align: center;">/</i></i></i></i><i><i><i>(<u>c</u></i><i><i>²</i></i></i></i><i> </i><i>−</i><i><i><i><i> r</i><i>²)</i></i></i></i><i>² = 0</i></span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both;"><i><b><span style="color: #800180;">que es una esfera... </span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both;"><i><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both;"><b><span style="color: #800180;"><i> Si la esfera pasa </i><i>por <u>o</u> entonces </i><i><i><i><u>c</u></i><i><i>² =</i></i><i><i> r</i><i>² </i></i></i></i></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><i style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="text-align: left;"><div class="separator" style="clear: both; font-style: normal; text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i style="text-align: left;"><i><i>σ</i><i> : (</i><u style="text-align: center;">v</u></i></i><i style="text-align: left;">−<u>c</u>)</i><i style="text-align: left;">² </i><i style="text-align: left;">−</i><i style="text-align: left;"> </i><i style="text-align: left;"><i><u>c</u></i></i><i style="text-align: left;">² = 0</i></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; font-style: normal; text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i style="text-align: left;"><i><i><i>σ</i><i> :</i></i></i></i><i style="text-align: left;"><i><i><i><i> 2<u>c</u></i></i><i>·<u>v</u></i></i></i></i><i style="text-align: left;"><i><i><i> </i></i></i><i><i><i>−</i></i><i><i> </i></i></i></i><i style="text-align: left;"><i><i><i><i style="text-align: center;"><u>v</u>²</i></i><i><i style="text-align: center;"> </i></i></i></i></i><i style="text-align: left;"><i>= 0</i></i></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; font-style: normal; text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i style="text-align: left;"><i style="text-align: center;">inv(σ) : </i></i><i style="text-align: left;"><i><i>2<u>c</u></i></i><i>·v</i><i><u>/</u></i><i style="text-align: center;"><u>v</u>² </i></i><i style="text-align: left;"><i>− </i></i><i style="text-align: left;"><i><i style="text-align: center;">1</i></i><i><i style="text-align: center;">/<u>v</u>²</i></i></i><i style="text-align: left;"><i>= 0</i></i></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; font-style: normal; text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i style="text-align: left;"><i><i style="text-align: center;">inv(σ) : </i></i></i><i style="text-align: left;"><i><i><i><u>c</u></i></i><i>·</i><i><u>v</u></i><i><i> </i></i></i></i><i style="text-align: left;"><i><i>− </i></i></i><i style="text-align: left;"><i><i><i style="text-align: center;">1/2 </i></i></i></i><i style="text-align: left;"><i><i>= 0</i></i></i></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; font-style: normal; text-align: center;"><i style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #800180;"><i><i><i style="text-align: center;">inv(σ) : </i></i></i><i><i><i><i><u>c</u></i></i><i>·</i><i><u>v</u></i><i><i> </i></i></i></i><i><i><i>− </i></i></i><i><i><i><i style="text-align: center;"><i style="text-align: left;"><i><i><i><i><i><u>c</u></i></i></i></i></i></i><i style="text-align: left;"><i>²/</i></i><i style="text-align: left;"><i><i><i><i><i><i><u>c</u></i></i></i></i></i></i><i><i>²/2</i></i></i> </i></i></i></i><i><i><i>= 0</i></i></i></span></b></i></i></div><div class="separator" style="clear: both; font-style: normal; text-align: center;"><i style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #800180;"><i style="text-align: center;">inv (</i><i>σ</i><i style="text-align: center;">) : <u>c</u></i><i> · </i><i style="text-align: center;"><u>(v</u></i><i style="text-align: center;"> </i><i>− </i><i><i><i><i><i><i style="text-align: center;"><i style="text-align: left;"><i><i><i><i><i><u>c</u></i></i></i></i></i></i><i style="text-align: left;"><i>/</i></i><i style="text-align: left;"><i><i><i><i><i><i><u>c</u></i></i></i></i></i></i><i><i>²/2)</i></i></i></i></i></i></i></i></i><i style="text-align: center;">= 0</i></span></b></i></i></div><div class="separator" style="clear: both; font-style: normal; text-align: left;"><i style="text-align: left;"><i><i style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;">que, añadiendo <u>∞</u>, es un "plano".</span></b></i></i></i></div><div class="separator" style="clear: both; font-style: normal; text-align: left;"><i style="text-align: left;"><i><i style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></i></i></div><div class="separator" style="clear: both; font-style: normal; text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><i style="text-align: left;"><i><i style="text-align: center;"> Consideremos las esferas del problema... Sean α y β las de las perlas sueltas, γ la del estuche y δ, ε, ζ, η, ... las de la pulsera. Ubiquemos <u>o</u> en el punto de contacto entre </i></i></i><i><i><i><i style="text-align: center;">α y β, entonces inv(</i></i></i></i><i><i><i><i style="text-align: center;">α</i></i></i></i><i><i><i><i style="text-align: center;">) e inv(</i></i></i></i><i><i><i><i style="text-align: center;">β</i></i></i></i><i><i><i><i style="text-align: center;">) son dos "planos" "paralelos" porque solo tienen en común </i></i></i></i><i><i><span face="sans-serif"><span style="background-color: white;"><u>∞</u>, e inv(</span></span></i></i><i><i><i><i style="text-align: center;">γ</i></i></i></i><i><i><span face="sans-serif"><span style="background-color: white;">), inv(</span></span></i></i><i><i><i><i style="text-align: center;">δ</i></i></i></i><i><i><span face="sans-serif"><span style="background-color: white;">), inv(</span></span></i></i><i><i><i><i style="text-align: center;">ε</i></i></i></i><i><i><span face="sans-serif"><span style="background-color: white;">), inv(</span></span></i></i><i><i><i><i style="text-align: center;">ζ</i></i></i></i><i><i><span face="sans-serif"><span style="background-color: white;">), inv(</span></span></i></i><i><i><i><i style="text-align: center;">η</i></i></i></i><i><i><span face="sans-serif"><span style="background-color: white;">), ... son esferas tangentes a esos dos "planos" por lo que todas tienen el mismo tamaño y, debido a la tangencia de las esferas de la pulsera entre sí y con las esfera del estuche, tienen la siguiente disposición:</span></span></i></i></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><span><span><i><br /></i></span></span><i style="font-style: normal;"><i><span face="sans-serif"><span style="background-color: white;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEir2ojgIHlWaWNU8XdKSfdUidqfc-jO7uGkGNLF3X4JkbftEMIWHcWmw-bh95AYYjZAlb2ObuhQi-yHNxqVZBFi9D0Qbmw-gUBqZGi4hVEvcfDB1B_C3sih0OA33X8hKiIlUR-OH4-PDXal8qh9ODWXMF4s6ntatNgauqTOiz6b6D1WODOYi09tMjZ4/s277/esf.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="245" data-original-width="277" height="245" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEir2ojgIHlWaWNU8XdKSfdUidqfc-jO7uGkGNLF3X4JkbftEMIWHcWmw-bh95AYYjZAlb2ObuhQi-yHNxqVZBFi9D0Qbmw-gUBqZGi4hVEvcfDB1B_C3sih0OA33X8hKiIlUR-OH4-PDXal8qh9ODWXMF4s6ntatNgauqTOiz6b6D1WODOYi09tMjZ4/s1600/esf.png" width="277" /></a></div></span></span></i></i></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; font-style: normal; text-align: left;"><i><i><span face="sans-serif"><span style="background-color: white; color: #800180;"><b><br /></b></span></span></i></i></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><i><i><span face="sans-serif"><span style="background-color: white;"><span> De donde se deduce que en la pulsera hay seis esferas...</span> </span></span></i></i><span style="font-family: inherit;"><i>δ, ε, ζ, η, θ y ι, esto es, seis perlas.</i></span></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; font-style: normal; text-align: left;"><i><i><span face="sans-serif"><span style="background-color: white; color: #800180;"><b><br /></b></span></span></i></i></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span><span><span face="sans-serif"><span style="background-color: white; color: #800180;"><b><i> </i>¡Bien deducido! ¿Qué relación guardan los radios de las nueve esferas?</b></span></span></span></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span><span><span face="sans-serif" style="color: #202122;"><span style="background-color: white;"><br /></span></span></span></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span><span><span face="sans-serif"><span style="background-color: white; color: #38761d; font-family: inherit;"><u><b>RESOLUCIÓN</b></u></span></span></span></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span><span><span face="sans-serif"><span style="background-color: white; color: #38761d;"><b><br /></b></span></span></span></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span><span><span face="sans-serif"><span style="background-color: white; color: #38761d;"><b> <span style="font-family: inherit;"> Yoyó Gaviota encontró estas relaciones en Internet:</span></b></span></span></span></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #38761d;"><br /></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span><span><span face="sans-serif"><span style="background-color: white;"><span style="color: #38761d; font-family: inherit;"><i><b>
</b></i></span><div style="line-height: 100%; margin-bottom: 0cm; text-align: center;"><b><span style="color: #38761d;"><span style="font-family: inherit;"><i>1/</i></span><i>r<sub>δ</sub></i><span style="font-family: inherit;"><i> + </i></span><i>1/</i><i>r<sub>ε</sub></i><i> + </i><i>1/</i><i>r<sub>ζ</sub></i><i> + </i><i>1</i><i>/r<sub>η</sub></i><i> + </i><i>1/</i><i>r<sub>θ</sub></i><i> + </i><i>1/</i><i>r<sub>ι</sub></i><i> =</i></span></b></div><div style="line-height: 100%; margin-bottom: 0cm; text-align: center;"><b><span style="color: #38761d;"><i>= 2/</i><i>r<sub>δ</sub></i><i> + 2/</i><i>r<sub>ζ</sub></i><i> + 2/</i><i>r<sub>θ</sub></i><i> = </i><i>2/</i><i>r<sub>ε</sub></i><i> + 2</i><i>/r<sub>η</sub></i><i> + 2/</i><i>r<sub>ι </sub></i><i>=</i></span></b></div><div style="line-height: 100%; margin-bottom: 0cm; text-align: center;"><span style="color: #38761d; font-family: inherit;"><i><b>= 3/r<sub>δ</sub> + 3/r<sub>η </sub>= 3/r<sub>ε</sub> + 3/r<sub>θ </sub>= 3/r<sub>ζ</sub> + 3/r<sub>ι</sub> =</b></i></span></div><div style="line-height: 100%; margin-bottom: 0cm; text-align: center;"><span style="color: #38761d; font-family: inherit;"><i><b>= 6/r<sub>α </sub>+ 6/r<sub>β </sub>− 6/r<sub>γ</sub> </b></i></span></div></span></span></span></span></div></span></div></div>Joséhttp://www.blogger.com/profile/07510117138022884554noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3945678956967880919.post-25772645272120644302023-01-31T17:14:00.002+01:002023-02-01T12:40:16.909+01:001684. Tangente y normal...<div style="text-align: left;"><b><span style="color: #0b5394;"> Como aplicación de las derivadas estábamos viendo las ecuaciones de las rectas tangente t y normal n de una curva c dada por su ecuación explícita c : y = f<span style="font-size: xx-small;"> </span>(x) en un punto P de coordenadas P(<span style="text-align: center;">x</span><sub><span style="font-size: xx-small;">P</span></sub>, y<sub><span style="font-size: xx-small;">P</span></sub>) ≡ P(<span style="text-align: center;">x</span><sub><span style="font-size: xx-small;">P</span></sub>, <span style="text-align: center;">f<span style="font-size: xx-small;"> </span>(x</span><sub style="text-align: center;"><span style="font-size: xx-small;">P</span></sub><span style="text-align: center;">)</span>). Suponíamos siempre la derivabilidad de las funciones que aparecían...</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><br /></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhzrzl2-D6z44lOC4sc-_h_GRFQokbWN1lfo_gwnTA50f9neV1N6SJs1rhRfvAUERpnTiFVkIjAyKbTuPKa94wj1VmxpeH9FUnHq6ZwtmoXpSPimyLw5OENNFOdKsr2RJr-cL3QppDHUqsJ4fibuLG2SNdIkkTAM2O2Qs8BsDMZGk80Rz5mQX5dNvgD/s293/tn1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><b><img border="0" data-original-height="211" data-original-width="293" height="211" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhzrzl2-D6z44lOC4sc-_h_GRFQokbWN1lfo_gwnTA50f9neV1N6SJs1rhRfvAUERpnTiFVkIjAyKbTuPKa94wj1VmxpeH9FUnHq6ZwtmoXpSPimyLw5OENNFOdKsr2RJr-cL3QppDHUqsJ4fibuLG2SNdIkkTAM2O2Qs8BsDMZGk80Rz5mQX5dNvgD/s1600/tn1.png" width="293" /></b></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><br /></b></div><div style="text-align: left;"><b> <span style="color: #073763;"> <i> Profe, mire. La ecuación punto-pendiente <span style="text-align: center;">y − y</span><sub style="text-align: center;"><span style="font-size: xx-small;">P</span></sub><span style="text-align: center;"> = p (x − x</span><sub style="text-align: center;"><span style="font-size: xx-small;">P</span></sub><span style="text-align: center;">) </span>es idónea para esta cuestión (p es la pendiente). Así la ecuación de t será t : <span style="text-align: center;">y − f (x</span><sub style="text-align: center;"><span style="font-size: xx-small;">P</span></sub><span style="text-align: center;">) = f '(x</span><sub style="text-align: center;"><span style="font-size: xx-small;">P</span></sub><span style="text-align: center;">) (x − x</span><sub style="text-align: center;"><span style="font-size: xx-small;">P</span></sub><span style="text-align: center;">) </span>y la ecuación de la recta normal será n : <span style="text-align: center;">y − f<span style="font-size: xx-small;"> </span>(x</span><sub style="text-align: center;"><span style="font-size: xx-small;">P</span></sub><span style="text-align: center;">) = </span><span style="text-align: center;">−1/f </span><span style="text-align: center;">'(x</span><sub style="text-align: center;"><span style="font-size: xx-small;">P</span></sub><span style="text-align: center;">) (x − x</span><sub style="text-align: center;"><span style="font-size: xx-small;">P</span></sub><span style="text-align: center;">) ya que la pendiente de una perpendicular a una recta de pendiente p es el opuesto del inverso (o el inverso del opuesto) de p, esto es, </span><span style="text-align: center;">−1/p.</span></i></span></b></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #073763; text-align: center;"><b><i><br /></i></b></span></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #073763;"><i><span style="text-align: center;"> Pero profe, si la ecuación de la curva viene dada en forma implícita c : F</span><span style="font-size: x-small; text-align: center;"> </span><span style="text-align: center;">(x, y) = 0 entonces el vector normal a la curva en el punto P será <u>v</u> = (F</span><sub><span style="font-size: xx-small;">x </span></sub>(<span style="text-align: center;">x</span><sub><span style="font-size: xx-small;">P</span></sub>, <span style="text-align: center;">y</span><sub><span style="font-size: xx-small;">P</span></sub>), <span style="text-align: center;">F</span><sub><span style="font-size: xx-small;">y </span></sub>(<span style="text-align: center;">x</span><sub><span style="font-size: xx-small;">P</span></sub>, <span style="text-align: center;">y</span><sub><span style="font-size: xx-small;">P</span></sub>)) , y las ecuaciones de las rectas serán</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #073763;"><i><br /></i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #073763;"><i>t : <span style="text-align: center;">F</span><sub><span style="font-size: xx-small;">x </span></sub>(<span style="text-align: center;">x</span><sub><span style="font-size: xx-small;">P</span></sub>, <span style="text-align: center;">y</span><sub><span style="font-size: xx-small;">P</span></sub>) <span style="text-align: center;">(x − x</span><sub style="text-align: center;"><span style="font-size: xx-small;">P</span></sub><span style="text-align: center;">)</span> + <span style="text-align: center;">F</span><sub><span style="font-size: xx-small;">y </span></sub>(<span style="text-align: center;">x</span><sub><span style="font-size: xx-small;">P</span></sub>, <span style="text-align: center;">y</span><sub><span style="font-size: xx-small;">P</span></sub>) <span style="text-align: center;">(y − y</span><sub style="text-align: center;"><span style="font-size: xx-small;">P</span></sub><span style="text-align: center;">)</span> = 0</i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #073763;"><i>n : <span style="text-align: center;">(x − x</span><sub style="text-align: center;"><span style="font-size: xx-small;">P</span></sub><span style="text-align: center;">) /</span> <span style="text-align: center;">F</span><sub><span style="font-size: xx-small;">x </span></sub>(<span style="text-align: center;">x</span><sub><span style="font-size: xx-small;">P</span></sub>, <span style="text-align: center;">y</span><sub><span style="font-size: xx-small;">P</span></sub>) = <span style="text-align: center;">(y − y</span><sub style="text-align: center;"><span style="font-size: xx-small;">P</span></sub><span style="text-align: center;">) /</span> <span style="text-align: center;">F</span><sub><span style="font-size: xx-small;">y </span></sub>(<span style="text-align: center;">x</span><sub><span style="font-size: xx-small;">P</span></sub>, <span style="text-align: center;">y</span><sub><span style="font-size: xx-small;">P</span></sub>)</i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #073763;"><i><br /></i></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #073763;"><i> Si combinamos las dos funciones F(x, y) = f<span style="font-size: x-small; text-align: center;"> </span>(x) <span style="text-align: center;">− y</span> entonces <u>v</u> = (<span style="text-align: center;">f </span><span style="text-align: center;">'(x</span><sub style="text-align: center;"><span style="font-size: xx-small;">P</span></sub><span style="text-align: center;">)</span>, <span style="text-align: center;">−1) que corrobora el valor de la pendiente de la recta normal </span><span style="text-align: center;">−1/f </span><span style="text-align: center;">'(x</span><sub style="text-align: center;"><span style="font-size: xx-small;">P</span></sub><span style="text-align: center;">) .</span></i></span></b></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #073763; text-align: center;"><b><br /></b></span></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #073763;"><span style="text-align: center;"> ¿Cómo se obtienen las ecuaciones del plano tangente </span><span style="text-align: center;">τ </span><span style="text-align: center;">y de la recta normal m de una superficie </span></span></b><b style="text-align: center;"><span style="color: #0b5394;">σ</span></b><b><span style="color: #073763;"><span style="text-align: center;">?</span></span></b></div><div style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><b><br /></b></span></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #800180; text-align: center;"><u><b>SOLUCIÓN</b></u></span></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #800180; text-align: center;"><b><br /></b></span></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #800180; text-align: center;"><b> Nina Guindilla empezó con una superficie dada por su ecuación implícita σ : G(x, y, z) = 0 .</b></span></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #800180; text-align: center;"><b><br /></b></span></div><div style="text-align: left;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiDNqHixaZ-Gxq6wokB0c4wwG7M0pIwBYtc6ouMji_6pK_GPPOVFWbAA-K1VulIrBFYGjRj9JeSrOXGMVhDSTXWsNp2AcZgtji_wwuA4S7Hg3ommvhcV1G8-ULWUa1ktniv9TZStYjhEaaRwnhBNtAl_pac6xkZMmTRuIsBUvYRs02KVS2cn0MLXY_x/s460/tn2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><b><span style="color: #800180;"><img border="0" data-original-height="258" data-original-width="460" height="179" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiDNqHixaZ-Gxq6wokB0c4wwG7M0pIwBYtc6ouMji_6pK_GPPOVFWbAA-K1VulIrBFYGjRj9JeSrOXGMVhDSTXWsNp2AcZgtji_wwuA4S7Hg3ommvhcV1G8-ULWUa1ktniv9TZStYjhEaaRwnhBNtAl_pac6xkZMmTRuIsBUvYRs02KVS2cn0MLXY_x/s320/tn2.png" width="320" /></span></b></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><span style="text-align: center;"> <i> Profe, mire. </i></span><i><span style="text-align: center;">El vector normal de la superficie en el punto Q(</span><span style="text-align: center;">x</span><sub><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub>, <span style="text-align: center;">y</span><sub><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub><span style="text-align: center;"><span style="font-size: xx-small;">,</span></span> z<sub><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub>) es</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><i><br /></i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i><span><u>w</u> = (G</span><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">x </span></sub><span style="text-align: left;">(</span><span>x</span><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub><span style="text-align: left;">, </span><span>y</span><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub><span><span style="font-size: xx-small;">,</span></span><span style="text-align: left;"> z</span><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub><span style="text-align: left;">), G</span><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">y </span></sub><span style="text-align: left;">(</span><span>x</span><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub><span style="text-align: left;">, </span><span>y</span><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub><span><span style="font-size: xx-small;">,</span></span><span style="text-align: left;"> z</span><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub><span style="text-align: left;">), G</span><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">z </span></sub><span style="text-align: left;">(</span><span>x</span><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub><span style="text-align: left;">, </span><span>y</span><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub><span><span style="font-size: xx-small;">,</span></span><span style="text-align: left;"> z</span><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub><span style="text-align: left;">))</span></i></span></b></div><div><b><span style="color: #800180;"><i><br /></i></span></b></div><div><b><span style="color: #800180;"><i>por lo que las ecuaciones d<span style="text-align: center;">e m y </span><span style="text-align: center;">τ son</span></i></span></b></div><div><b><span style="color: #800180;"><i><br /></i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i><span style="text-align: left;">m : </span><span>(x − x</span><sub><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub><span>) / G</span><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">x </span></sub><span style="text-align: left;">(</span><span>x</span><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub><span style="text-align: left;">, </span><span>y</span><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub><span><span style="font-size: xx-small;">,</span></span><span style="text-align: left;"> z</span><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub><span style="text-align: left;">)</span><span style="text-align: left;"> =</span><span style="text-align: left;"> </span><span>(y − y</span><sub><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub><span>) / G</span><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">y </span></sub><span style="text-align: left;">(</span><span>x</span><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub><span style="text-align: left;">, </span><span>y</span><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub><span><span style="font-size: xx-small;">,</span></span><span style="text-align: left;"> z</span><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub><span style="text-align: left;">)</span><span style="text-align: left;"> =</span><span style="text-align: left;"> </span><span>(z − z</span></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><span>) /</span><span style="text-align: left;"> G</span><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">z </span></sub><span style="text-align: left;">(</span><span>x</span></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><span style="text-align: left;">, </span><span>y</span></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><span><span style="font-size: xx-small;">,</span></span><span style="text-align: left;"> z</span></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><span style="text-align: left;">)</span></i></span></b></div><div style="text-align: center;"><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>τ :<span style="text-align: left;"> G</span><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">x </span></sub><span style="text-align: left;">(</span><span>x</span></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><span style="text-align: left;">, </span><span>y</span></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><span><span style="font-size: xx-small;">,</span></span><span style="text-align: left;"> z</span></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><span style="text-align: left;">)</span><span style="text-align: left;"> </span><span>(x − x</span></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><span>) +</span><span> G</span><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">y </span></sub><span style="text-align: left;">(</span><span>x</span></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><span style="text-align: left;">, </span><span>y</span></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><span><span style="font-size: xx-small;">,</span></span><span style="text-align: left;"> z</span></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><span style="text-align: left;">) </span><span>(y − y</span></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><span>) +</span><span style="text-align: left;"> G</span><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">z </span></sub><span style="text-align: left;">(</span><span>x</span></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><span style="text-align: left;">, </span><span>y</span></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><span><span style="font-size: xx-small;">,</span></span><span style="text-align: left;"> z</span></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><span style="text-align: left;">) </span><span>(z − z</span></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i><span>) = 0</span></i></span></b></div><div style="text-align: center;"><span style="color: #800180;"><b><br /></b></span></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><span> ¿Y si la superficie viene dada con una ecuación explícita z = g</span><span style="font-size: x-small; text-align: center;"> </span>(x, y) ?</span></b></div><div style="text-align: left;"><u><b><br /></b></u></div><div style="text-align: left;"><u><b><span style="color: #38761d;">RESOLUCIÓN</span></b></u></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #38761d;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #38761d;"> Yoyó Gaviota combinó las dos funciones G (x, y, z) = g<span style="font-size: x-small; text-align: center;"> </span>(x, y) <span style="text-align: center;">− z ...</span></span></b></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #38761d; text-align: center;"><b><br /></b></span></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #38761d;"><span style="text-align: center;"> <i>Mire, profe. Ahora <u>w</u> = (g</i></span><i><sub><span style="font-size: xx-small;">x </span></sub>(<span style="text-align: center;">x</span><sub><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub>, <span style="text-align: center;">y</span></i></span></b><b><span style="color: #38761d;"><i><sub><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><span style="color: #38761d;"><i>), g<sub><span style="font-size: xx-small;">y </span></sub>(<span style="text-align: center;">x</span></i></span></b><b><span style="color: #38761d;"><i><sub><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><span style="color: #38761d;"><i>, <span style="text-align: center;">y</span></i></span></b><b><span style="color: #38761d;"><i><sub><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><span style="color: #38761d;"><i>), <span style="text-align: center;">−1) por lo tanto las ecuaciones </span><span style="text-align: center;">son</span></i></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #38761d;"><i><br /></i></span></b></div><div><b><span style="color: #38761d;"><i><span style="text-align: left;">m : </span><span>(x − x</span></i></span></b><b style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;"><i><sub><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><span style="color: #38761d;"><i><span>) / g</span><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">x </span></sub><span style="text-align: left;">(</span><span>x</span></i></span></b><b style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;"><i><sub><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><span style="color: #38761d;"><i><span style="text-align: left;">, </span><span>y</span></i></span></b><b style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;"><i><sub><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><span style="color: #38761d;"><i><span style="text-align: left;">)</span><span style="text-align: left;"> =</span><span style="text-align: left;"> </span><span>(y − y</span></i></span></b><b style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;"><i><sub><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><span style="color: #38761d;"><i><span>) / g</span><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">y </span></sub><span style="text-align: left;">(</span><span>x</span></i></span></b><b style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;"><i><sub><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><span style="color: #38761d;"><i><span style="text-align: left;">, </span><span>y</span></i></span></b><b style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;"><i><sub><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><span style="color: #38761d;"><i><span style="text-align: left;">)</span><span style="text-align: left;"> =</span><span style="text-align: left;"> </span>−<span>(z − z</span></i></span></b><b style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;"><i><sub><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><span style="color: #38761d;"><i><span>)</span></i></span></b></div><div><span style="color: #38761d;"><b><i>τ :<span style="text-align: left;"> g</span><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">x </span></sub><span style="text-align: left;">(</span><span>x</span></i></b><b style="color: black; text-align: left;"><span style="color: #38761d;"><i><sub><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><i><span style="text-align: left;">, </span><span>y</span></i></b><b style="color: black; text-align: left;"><span style="color: #38761d;"><i><sub><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><i><span style="text-align: left;">)</span><span style="text-align: left;"> </span><span>(x − x</span></i></b><b style="color: black; text-align: left;"><span style="color: #38761d;"><i><sub><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><i><span>) +</span><span> g</span><span><sub style="text-align: left;"><span style="font-size: xx-small;">y </span></sub><span style="text-align: left;">(</span><span>x</span></span></i></b><b style="color: black; text-align: left;"><span style="color: #38761d;"><i><sub><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><i><span><span style="text-align: left;">, </span><span>y</span></span></i></b><b style="color: black; text-align: left;"><span style="color: #38761d;"><i><sub><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><i><span><span style="text-align: left;">) </span>(y − y</span></i></b><b style="color: black; text-align: left;"><span style="color: #38761d;"><i><sub><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><i><span>) </span><span>− <span>(z − z</span></span></i></b><b style="color: black; text-align: left;"><span style="color: #38761d;"><i><sub><span style="font-size: xx-small;">Q</span></sub></i></span></b><b><i><span><span>)</span> = 0</span></i></b></span></div></div>Joséhttp://www.blogger.com/profile/07510117138022884554noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3945678956967880919.post-18632806469629443982023-01-24T18:04:00.008+01:002023-01-30T00:25:04.801+01:001683. La Helena de los geómetras<div style="text-align: left;"><b><span style="color: #073763;"><i> Mire profe. Un trineo ha de bajar entre dos puntos para lo cual se ha de diseñar un tobogán de hielo. Suponemos que solo actúa la gravedad y que el</i><i> rozamiento es nulo... </i><i>La trayectoria más corta sería en línea recta pero esta no sería la trayectoria más breve. ¿Cómo ha de ser el perfil del tobogán para que el viaje dure lo mínimo?</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #073763;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #073763;"><i> </i>Pepe Chapuza se refería a la braquistócrona... Al final resulta que tal trayectoria es parte de un arco de cicloide invertida... </span></b></div><div style="text-align: left;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjLSGagAvS2sAfKJpUNJRiCQpBdh1Ll-XcahV6JzzwqRM_rzrI1S9EYT16Sq72PHpehYXRQNGxGgEKEvblEzQey9kdj5aPj67qs-z6xnj6WBRLPsAVHabFqg9mHxykhskvwq0gt5CBn0jF2BK0_iZ_gbZjHFNcrDOZkfXNWmMI9ZvGJLVaVR_Xq4UDa/s354/trineo.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><b><span style="color: #073763;"><img border="0" data-original-height="297" data-original-width="354" height="268" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjLSGagAvS2sAfKJpUNJRiCQpBdh1Ll-XcahV6JzzwqRM_rzrI1S9EYT16Sq72PHpehYXRQNGxGgEKEvblEzQey9kdj5aPj67qs-z6xnj6WBRLPsAVHabFqg9mHxykhskvwq0gt5CBn0jF2BK0_iZ_gbZjHFNcrDOZkfXNWmMI9ZvGJLVaVR_Xq4UDa/s320/trineo.png" width="320" /></span></b></a></div></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #073763;"> Profe, mire... Curiosamente, muchas veces hay bajar un trecho inicial y subir un trecho final...</span></b></i></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #073763;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #073763;"> ¿Quién nos habla acerca de la cicloide?</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><br /></b></div><div style="text-align: left;"><u><b><span style="color: #800180;">SOLUCIÓN</span></b></u></div><div style="text-align: left;"><u><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></u></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> Nina Guindilla trajo un aro de esos con que se jugaba antaño y lo hizo rodar...</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> <i>Profe, mire. Este aro de radio 1 es de mi abuelo. Al hacerlo rodar una vez (sin salirnos del plano {x, y}) sobre un suelo horizontal (el eje de abscisas), el punto del aro que toca el suelo inicialmente (en el origen de coordenadas) describe un arco de cicloide C : { x = t − </i>sen <i>t , y = 1 </i><i>− </i>cos <i>t };</i><i> t ∊ [0, </i><i>2π</i><i>]..</i><i>. ¡El punto gira y se desplaza a la vez...! </i></span></b></div><div style="text-align: left;"><i><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi3qcwhPa-iSgUMT-LWlKWyyiWK11hg1zGpIxLyybZJ_9hclFY2x1V6mRGh6vomoVDPSK8kuzbkJ_TJw3obPh6hmDOWNAhLF1eKmQt_ZSJDuBVWtFIV4DAWRHZQ_7EvlZ3Ei4Z-n2tuJPX6O1EcF8lkF6p7HUOGGLV_eTv2FtEExmJpRtB3_QgsqLEE/s433/cyclo.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><b><span style="color: #800180;"><img border="0" data-original-height="164" data-original-width="433" height="139" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi3qcwhPa-iSgUMT-LWlKWyyiWK11hg1zGpIxLyybZJ_9hclFY2x1V6mRGh6vomoVDPSK8kuzbkJ_TJw3obPh6hmDOWNAhLF1eKmQt_ZSJDuBVWtFIV4DAWRHZQ_7EvlZ3Ei4Z-n2tuJPX6O1EcF8lkF6p7HUOGGLV_eTv2FtEExmJpRtB3_QgsqLEE/w367-h139/cyclo.png" width="367" /></span></b></a></div></i></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> El nombre de cicloide está bien elegido, ¿verdad? ¿Cuánto medirá la longitud del arco de cicloide dibujado por Nina y la superficie encerrada entre este arco y el eje de abscisas? </span></b></div><div style="text-align: left;"><b><br /></b></div><div style="text-align: left;"><u><b><span style="color: #274e13;">RESOLUCIÓN</span></b></u></div><div style="text-align: left;"><u><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></u></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"> <i>Mire, profe. </i><i>Para la longitud del arco tenemos</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: center;"><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><span><i style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="font-family: inherit; mso-ansi-language: ES-TRAD;">L =</span><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms"; mso-ansi-language: ES-TRAD;"> ʃ</span><sub><span lang="ES-TRAD"> </span></sub></span></i></span><i style="text-align: left;"><span style="font-style: normal; text-align: center;"><span><i style="text-align: left;"><sub><span style="font-size: xx-small;">0</span></sub></i></span></span></i><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup></i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">π</span></sup></i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i> √((dx/dt)</i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup></i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>+(dx/dt)</i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup></i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>) =</i></span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>=</i></span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><span><i style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms"; mso-ansi-language: ES-TRAD;"> ʃ</span><sub><span lang="ES-TRAD"> </span></sub></span></i></span><i style="text-align: left;"><span style="font-style: normal; text-align: center;"><span><i style="text-align: left;"><sub><span style="font-size: xx-small;">0</span></sub></i></span></span></i><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup></i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">π</span></sup></i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i> √((1−cos(t))</i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup></i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>+sen</i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup></i></span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>(t)</i></span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>) dt =</i></span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>= </i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><span><i style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms"; mso-ansi-language: ES-TRAD;">ʃ</span><sub><span lang="ES-TRAD"> </span></sub></span></i></span><i style="text-align: left;"><span style="font-style: normal; text-align: center;"><span><i style="text-align: left;"><sub><span style="font-size: xx-small;">0</span></sub></i></span></span></i><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup></i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">π</span></sup></i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i> √((1−cos</i></span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>(t)</i></span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>)</i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup></i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>+sen</i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup></i></span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>(t)</i></span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>) dt =</i></span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>= </i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><span><i style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms"; mso-ansi-language: ES-TRAD;">ʃ</span><sub><span lang="ES-TRAD"> </span></sub></span></i></span><i style="text-align: left;"><span style="font-style: normal; text-align: center;"><span><i style="text-align: left;"><sub><span style="font-size: xx-small;">0</span></sub></i></span></span></i><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup></i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">π</span></sup></i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i> √((1−2cos</i></span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>(t)</i></span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>+cos</i></span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup></i></span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>(t)</i></span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>+sen</i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup></i></span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>(t)</i></span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>) dt =</i></span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>=</i></span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><span><i style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms"; mso-ansi-language: ES-TRAD;"> ʃ</span><sub><span lang="ES-TRAD"> </span></sub></span></i></span><i style="text-align: left;"><span style="font-style: normal; text-align: center;"><span><i style="text-align: left;"><sub><span style="font-size: xx-small;">0</span></sub></i></span></span></i><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup></i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">π</span></sup></i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i> √(2</i></span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>−</i></span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>2cos</i></span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>(t)</i></span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>) dt =</i></span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>=</i></span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><span><i style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms"; mso-ansi-language: ES-TRAD;"> ʃ</span><sub><span lang="ES-TRAD"> </span></sub></span></i></span><i style="text-align: left;"><span style="font-style: normal; text-align: center;"><span><i style="text-align: left;"><sub><span style="font-size: xx-small;">0</span></sub></i></span></span></i><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup></i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">π</span></sup></i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i> 2sen(t/2)</i></span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i> dt =</i></span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>= </i></span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>−4cos(t/2) /</i></span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><span style="font-style: normal; text-align: center;"><span><i style="text-align: left;"><sub><span style="font-size: xx-small;">0</span></sub></i></span></span></i><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup></i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">π</span></sup></i></span></span></b><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i> =</i></span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>= 4+4 = 8</i></span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i><br /></i></span></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><span style="text-align: center;"><span><i> Ocho veces el radio del aro... </i></span></span><i>Y para la superficie tenemos</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: center;"><span style="text-align: left;"><b><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><span><i style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="font-family: inherit; mso-ansi-language: ES-TRAD;">S = </span><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms"; mso-ansi-language: ES-TRAD;">ʃ</span><sub><span lang="ES-TRAD"> </span></sub></span></i></span><i style="text-align: left;"><span style="font-style: normal; text-align: center;"><span><i style="text-align: left;"><sub><span style="font-size: xx-small;">0</span></sub></i></span></span></i><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup></i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">π</span></sup></i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i> y dx</i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i> =</i></span></span></b></span></div><div style="text-align: center;"><b><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>= </i></span></span></span><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><span><i style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms"; mso-ansi-language: ES-TRAD;">ʃ</span><sub><span lang="ES-TRAD"> </span></sub></span></i></span><i style="text-align: left;"><span style="font-style: normal; text-align: center;"><span><i style="text-align: left;"><sub><span style="font-size: xx-small;">0</span></sub></i></span></span></i><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup></i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">π</span></sup></i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i> y dx/dt dt</i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i> =</i></span></span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>= </i></span></span></span><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><span><i style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms"; mso-ansi-language: ES-TRAD;">ʃ</span><sub><span lang="ES-TRAD"> </span></sub></span></i></span><i style="text-align: left;"><span style="font-style: normal; text-align: center;"><span><i style="text-align: left;"><sub><span style="font-size: xx-small;">0</span></sub></i></span></span></i><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup></i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">π</span></sup></i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i> (</i></span></span></span><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>1−cos</i></span></span></span><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>(t)</i></span></span></span><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>)</i></span></span></span><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>(</i></span></span></span><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>1−cos</i></span></span></span><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>(t)</i></span></span></span><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>) </i></span></span></span><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>dt</i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i> =</i></span></span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>= </i></span></span></span><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><span><i style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms"; mso-ansi-language: ES-TRAD;">ʃ</span><sub><span lang="ES-TRAD"> </span></sub></span></i></span><i style="text-align: left;"><span style="font-style: normal; text-align: center;"><span><i style="text-align: left;"><sub><span style="font-size: xx-small;">0</span></sub></i></span></span></i><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup></i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">π</span></sup></i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i> (</i></span></span></span><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>1−2cos</i></span></span></span><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>(t)</i></span></span></span><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>+cos</i></span></span></span><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup></i></span></span></span><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>(t)</i></span></span></span><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>) </i></span></span></span><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>dt</i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i> </i></span></span></span><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>=</i></span></span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>= </i></span></span></span><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><span><i style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="font-family: "arial unicode ms"; mso-ansi-language: ES-TRAD;">ʃ</span><sub><span lang="ES-TRAD"> </span></sub></span></i></span><i style="text-align: left;"><span style="font-style: normal; text-align: center;"><span><i style="text-align: left;"><sub><span style="font-size: xx-small;">0</span></sub></i></span></span></i><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup></i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">π</span></sup></i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i> (</i></span></span></span><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>1−2cost+1/2+cos(2</i></span></span></span><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>t</i></span></span></span><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>)/2) </i></span></span></span><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>dt</i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i> =</i></span></span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>= </i></span></span></span><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>(3t/2</i></span></span></span><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>−2sent+sen(2</i></span></span></span><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>t</i></span></span></span><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>)/2) /</i></span></span></span><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><span style="font-style: normal; text-align: center;"><span><i style="text-align: left;"><sub><span style="font-size: xx-small;">0</span></sub></i></span></span></i><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup></i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">π</span></sup></i></span></span><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i> </i></span></span></span><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>=</i></span></span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>= 3·2π/2 = 3</i></span></span></span><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i>π</i></span></span></span></b></div><div style="text-align: center;"><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i><b><br /></b></i></span></span></span></div><div style="text-align: left;"><span style="text-align: left;"><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i><b> Tres veces el área encerrada por el aro...</b></i></span></span></span></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><i> </i>Yoyó Gaviota añadió que a la cicloide se la conoce como la Helena de los geómetras... por las controversias que entre estos suscitó...; que la evoluta (lugar de los centros de curvatura) de la cicloide es otra cicloide idéntica...; y que, además de la braquistócrona, la cicloide es el fundamento de la tautócrona y de la isócrona (dejaremos que el lector investigue todo esto)...</span></b></div>Joséhttp://www.blogger.com/profile/07510117138022884554noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3945678956967880919.post-67685507400543581882023-01-20T19:00:00.005+01:002023-01-20T21:55:05.671+01:001682. El determinante de Vandermonde<div style="text-align: left;"><span style="color: #073763;"><b> <i>Profe, mire. Sea </i><span style="font-family: courier;">A</span></b><b style="font-family: courier; text-align: center;"><sub>n </sub></b><b><i>una matriz cuadrada de orden </i><span style="font-family: courier;">n</span><i> (con </i></b><b><span style="font-family: courier;">n</span></b><b><i> filas y </i></b><b><span style="font-family: courier;">n</span></b><b><i> columnas). Si cada fila de </i></b><b><span style="font-family: courier;">A</span></b><b style="font-family: courier; text-align: center;"><sub>n</sub></b><b><i> está formada por n términos consecutivos de una progresión geométrica, ¿cuánto vale <span style="font-family: courier;">|</span></i></b><b><span style="font-family: courier;">A</span></b><b style="font-family: courier; text-align: center;"><sub>n</sub></b><b><i><span style="font-family: courier;">|</span>, (el determinante de </i></b><b><span style="font-family: courier;">A</span></b><b style="font-family: courier; text-align: center;"><sub>n</sub></b><b><i> )?</i></b></span></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #073763;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #073763;"><i> </i>Pepe Chapuza ha planteado este problema... ¡Resuélvelo!</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><br /></b></div><div style="text-align: left;"><b><u><span style="color: #800180;">SOLUCIÓN</span></u></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><b> <i>Mire, profe. Puedo escribir los elementos de la matriz </i></b><b><span style="font-family: courier;">A</span></b><b style="font-family: courier; text-align: center;"><sub>n</sub></b><b><i> así: </i></b><b style="font-family: courier;">a<sub>ij </sub>= a<sub>i1 </sub>r<sub>i</sub><sup>j−1</sup></b><b><i> .</i></b></span></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><b><i> Todos los elementos de la fila i-ésima están multiplicados por </i><span style="font-family: courier;">a<sub>i1</sub></span><i> por lo que</i></b></span></div><div style="text-align: center;"><i><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: center;"><span style="color: #800180;"><span style="font-family: courier;"><b>|A</b></span><b style="font-family: courier;"><sub>n</sub></b><span style="font-family: courier;"><b>|=(Π</b><b><sub>1≤i</sub></b><b><sub>≤n </sub></b></span><b style="font-family: courier;">a<sub>i1</sub></b><b style="font-family: courier;">)|B</b></span><b style="color: #800180; font-family: courier;"><sub>n</sub></b><b style="color: #800180; font-family: courier;">|</b></div><div style="text-align: left;"><b style="font-family: courier;"><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><span style="font-family: inherit;"><b><i>donde </i></b></span><b style="font-family: courier;">B</b></span><b style="color: #800180; font-family: courier; text-align: center;"><sub>n</sub></b><b style="color: #800180;"><span style="font-family: inherit; font-style: italic;"> es la matriz de Vandermonde de orden </span><span style="font-family: courier;">n</span><span style="font-family: inherit; font-style: italic;"> de elementos </span></b><b style="color: #800180;"><span style="font-family: courier;">b</span><sub><span style="font-family: courier;">ij</span><span style="font-family: inherit;"> </span></sub><span style="font-family: courier;">=</span></b><b style="color: #800180;"><span style="font-family: inherit;"> </span></b><b style="color: #800180; font-family: courier;">r<sub>i</sub><sup>j−1</sup></b><b style="color: #800180; font-family: inherit;"><i> por lo que</i></b></div><div style="text-align: left;"><b style="font-family: inherit;"><i><span style="color: #800180;"><br /></span></i></b></div><div style="text-align: center;"><span style="color: #800180;"><span style="font-family: courier;"><b>|A</b></span><b style="font-family: courier;"><sub>n</sub></b><span style="font-family: courier;"><b>|=(</b></span><b style="font-family: courier;">Π</b><span style="font-family: courier;"><b><sub>1≤i</sub></b><b><sub>≤n </sub></b></span><b style="font-family: courier;">a<sub>i1</sub></b><b style="font-family: courier;">)</b><span style="font-family: courier;"><b>(</b></span><b style="font-family: courier;">Π</b><span style="font-family: courier;"><b><sub>1</sub></b></span><b style="font-family: courier;"><sub>≤p</sub></b><span style="font-family: courier;"><b><sub><q</sub></b><b><sub>≤n</sub></b></span><b style="font-family: courier;">(r</b><b style="font-family: courier;"><sub>q</sub></b><b style="font-family: courier;">-r</b><b style="font-family: courier;"><sub>p</sub></b><b style="font-family: courier;">)</b><b style="font-family: courier;">)</b></span></div><div style="text-align: center;"><span style="color: #800180;"><b style="font-family: courier;"><br /></b></span></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #800180; font-family: inherit;"><b> <i>Profe, mire. Si coinciden dos razones el determinante es nulo...</i></b></span></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><b><br /></b></span></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> Nina Guindilla encontró la solución utilizando la fórmula de Vandermonde. ¿Has demostrado alguna vez esta fórmula: </span></b><span style="color: #800180; text-align: center;"><b style="font-family: courier;">|B</b></span><b style="color: #800180; font-family: courier; text-align: center;"><sub>n</sub></b><b style="color: #800180; font-family: courier; text-align: center;">|=</b><b style="color: #800180; text-align: center;"><span style="font-family: inherit;"> </span></b><b style="color: #800180; font-family: courier; text-align: center;">Π</b><span style="color: #800180; font-family: courier; text-align: center;"><b><sub>1</sub></b></span><b style="color: #800180; font-family: courier; text-align: center;"><sub>≤p</sub></b><span style="color: #800180; font-family: courier; text-align: center;"><b><sub><q</sub></b><b><sub>≤n</sub></b></span><b style="color: #800180; font-family: courier; text-align: center;">(r</b><b style="color: #800180; font-family: courier; text-align: center;"><sub>q</sub></b><b style="color: #800180; font-family: courier; text-align: center;">-r</b><b style="color: #800180; font-family: courier; text-align: center;"><sub>p</sub></b><b style="color: #800180; font-family: courier; text-align: center;">)</b><b><span style="color: #800180;">?</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><u><br /></u></b></div><div style="text-align: left;"><b><u><span style="color: #274e13;">RESOLUCIÓN</span></u></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"> Yoyó Gaviota procedió con el método de inducción...</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #274e13;"><b> <i>Profe, mire. Para </i><span style="font-family: courier;">n=1</span><i> la fórmula es trivial </i><span style="font-family: courier;">|B</span></b><b style="text-align: center;"><sub><span style="font-family: courier;">1</span></sub></b><b><span style="font-family: courier;">|=1</span><i> (el elemento neutro de la multiplicación).</i></b></span></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><i> Si suponemos la fórmula cierta para el caso </i><span style="font-family: courier;">n</span><i>, veamos qué pasa para el caso </i><span style="font-family: courier;">n+1</span><i> :</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><i><span style="color: #274e13;"><br /></span></i></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgaM5irlH00Gz5o2PyIrPm8bEFGXuEk0OS1G1_nHi0LIcffS2MSIq_Zii13NJnZfnGzPmy1JS58Nk2P6twMvvm8YZAG-GDzKNTCXopIkNpVZ8JFlCBE20TifBgaW4G9ergQUkxp4VtDG3Vcc7edychPt5LUYxbyVuEHrEzjpGGKg-jQhIh6wGeS3BFR/s836/vander.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="836" data-original-width="772" height="591" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgaM5irlH00Gz5o2PyIrPm8bEFGXuEk0OS1G1_nHi0LIcffS2MSIq_Zii13NJnZfnGzPmy1JS58Nk2P6twMvvm8YZAG-GDzKNTCXopIkNpVZ8JFlCBE20TifBgaW4G9ergQUkxp4VtDG3Vcc7edychPt5LUYxbyVuEHrEzjpGGKg-jQhIh6wGeS3BFR/w547-h591/vander.png" width="547" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div></span></b></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #274e13;"><b><i> Hemos restado a cada columna la anterior multiplicada por </i></b><b style="font-family: courier; text-align: center;"><b>r</b><b><sub>1</sub></b></b><b><i>, luego hemos desarrollado por la primera fila y después hemos extraído factores comunes. Ahora aplico la hipótesis de inducción</i></b></span></div><div style="text-align: left;"><b><i><span style="color: #274e13;"><br /></span></i></b></div><div style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><b style="text-align: left;"><span style="font-family: courier;">|B</span></b><b><sub><span style="font-family: courier;">n+1</span></sub></b><b style="text-align: left;"><span style="font-family: courier;">| = </span></b><span style="font-family: courier;"><b>(</b></span><b style="font-family: courier;">Π</b><span style="font-family: courier;"><b><sub>2≤i</sub></b><b><sub>≤n+1</sub></b></span><b style="font-family: courier;"><b>(r</b><b><sub>i</sub></b><b>-r</b><b><sub>1</sub></b><b>)</b>)</b><span style="font-family: courier;"><b>(</b></span><b style="font-family: courier;">Π</b><span style="font-family: courier;"><b><sub>2</sub></b></span><b style="font-family: courier;"><sub>≤p</sub></b><span style="font-family: courier;"><b><sub><q</sub></b><b><sub>≤n+1</sub></b></span><b style="font-family: courier;">(r</b><b style="font-family: courier;"><sub>q</sub></b><b style="font-family: courier;">-r</b><b style="font-family: courier;"><sub>p</sub></b><b style="font-family: courier;">)</b><b style="font-family: courier;">) = </b><b style="font-family: courier;">Π</b><span style="font-family: courier;"><b><sub>1</sub></b></span><b style="font-family: courier;"><sub>≤p</sub></b><span style="font-family: courier;"><b><sub><q</sub></b><b><sub>≤n+1</sub></b></span><b style="font-family: courier;">(r</b><b style="font-family: courier;"><sub>q</sub></b><b style="font-family: courier;">-r</b><b style="font-family: courier;"><sub>p</sub></b><b style="font-family: courier;">)</b></span></div>Joséhttp://www.blogger.com/profile/07510117138022884554noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3945678956967880919.post-77359180905568985302023-01-16T13:41:00.009+01:002023-01-17T11:52:45.797+01:001681. El plano descorazonado... <div style="text-align: left;"><b><span style="color: #073763;"> Pepe Chapuza estaba calculando el dominio de una función real de variable real:</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #073763;"><br /></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #073763;">F(x) = ln (x−3) + ln (1−x)</span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #073763;"><i><br /></i></span></b></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #073763; text-align: center;"><b><i> Profe, mire. Solo existen logaritmos de números positivos, por lo que ha de cumplirse</i></b></span></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #073763; text-align: center;"><b><i><br /></i></b></span></div><div style="text-align: center;"><div><b><span style="color: #073763;"><i>x−3 > 0 y 1−x > 0</i></span></b></div><div><b><span style="color: #073763;"><i>x > 3 y x < 1</i></span></b></div><div><b><span style="color: #073763;"><i><br /></i></span></b></div></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #073763;"><i>lo cual constituye una contradicción, esto es, Dom (F) = ∅. ¡Pero una función con dominio vacío no es una función! Sin embargo, si aplico las propiedades de los logaritmos tenemos que</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #073763;"><i><br /></i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #073763;"><i>F(x) = ln ((x−3)(1−x))</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #073763;"><i>por tanto</i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #073763;"><i>(x−3)(1−x) > 0</i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #073763;"><i>1 < x < 3</i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #073763;"><i><br /></i></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #073763;"><i>por ello, Dom (F) = ]1, 3[.</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #073763;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #073763;"> ¿De dónde ha salido este dominio?</span></b></div><div style="text-align: left;"><br /></div><div style="text-align: left;"><u><b><span style="color: #800180;">SOLUCIÓN</span></b></u></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> Nina Guindilla nos lo va a explicar...</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> <i> Profe, mire. La propiedad de ln (AB) = ln (A) + ln (B) solo tiene sentido si los dos miembros de la igualdad existen. Y esto no ocurre con el ejemplo de Pepe... Lo que sí ocurre es</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><i><br /></i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>ln ((x−3)(1−x)) = ln ((3−x)(x−1)) = ln (3−x) + ln (x−1)</i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> Nina propuso entonces calcular el dominio de esta función real de dos variables reales...</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;">G(x, y) = ln ((x² + y² − 1)³ − x² y³)</span></b></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: left;"><b><u><span style="color: #274e13;">RESOLUCIÓN</span></u></b></div><div style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><br /></span></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #274e13;"> <b> Yoyó Gaviota planteó la inecuación H(x, y) = <span style="text-align: center;">(x² + y² − 1)³ − x² y³ > 0.</span></b></span></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #274e13; text-align: center;"><b><br /></b></span></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #274e13; text-align: center;"><b> <i> Mire, profe. Para resolver la inecuación voy a resolver antes la ecuación</i></b></span></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #274e13; text-align: center;"><i><b><br /></b></i></span></div><div style="text-align: center;"><i><b><span style="color: #274e13;">H(x, y) = 0</span></b></i></div><div style="text-align: center;"><i><b><span style="color: #274e13;">(x² + y² − 1)³ = x² y³ </span></b></i></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #274e13;"><i>x² + y² − 1 = </i>∛<i>(x²) y </i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #274e13;"><i> y² − </i>∛<i>(x²) y + x² − 1 = 0</i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #274e13;"><i>y = </i>∛<i>(x²)/2 ± √ ( </i>∛<i>(x⁴)/4 + 1 − x² )</i></span></b></div><div style="text-align: center;"><i><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #274e13;"> Las soluciones de la ecuación son los puntos de las gráficas de las funciones reales de variable real</span></b></i></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #274e13;"><i>P(x) = </i><span style="text-align: center;">∛<i>(x²)/2 + √ ( </i>∛<i>(x⁴)/4 + 1 − x² ) y Q</i></span><i>(x) = </i>∛<i>(x²)/2 − √ ( </i>∛<i>(x⁴)/4 + 1 − x² )</i></span></b></div><div style="text-align: center;"><i><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #274e13;"> Solo existen raíces cuadradas de números no negativos, así que ha de cumplirse</span></b></i></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #274e13;"><i>R(x) = </i>∛<i>(x⁴)/4 + 1 − x² ≥ 0</i></span></b></div><div style="text-align: center;"><div class="separator" style="clear: both;"><b><span style="color: #274e13;">∛<i>(x⁴) ≥ 4x² − 4</i></span></b></div><div class="separator" style="clear: both;"><i><b><span style="color: #274e13;">x⁴ ≥ 64x⁶ − 192x⁴ + 192x² − 64</span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both;"><i><b><span style="color: #274e13;"> 64x⁶ − 193x⁴ + 192x² − 64 ≤ 0</span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both;"><i><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><i><b><span style="color: #274e13;"> Hacemos el cambio de variable z = x² y planteamos la ecuación</span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both;"><i><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both;"><i><b><span style="color: #274e13;">S(z) = 64z³ − 193z² + 192z − 64 = 0</span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both;"><i><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><i><b><span style="color: #274e13;"> El discriminante de una ecuación cúbica az³ + bz² + cz + d = 0 es</span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><i><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><i><b><span style="color: #274e13;">Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d²</span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><i><b><span style="color: #274e13;"> En nuestro caso</span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><i><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><i><b><span style="color: #274e13;">Δ = 18·64·193·192·64 − 4·193³·64 + 193²·192² − 4·64·192³ − 27·64²·64² = −110848 < 0</span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><i><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><i><b><span style="color: #274e13;">por lo que el polinomio S solo se anula para un valor Z > 0 (si z ≤ 0, entonces S(z) < 0), y deshaciendo el cambio de variable, el polinomio R solo se anula en </span></b></i><i style="text-align: center;"><b><span style="color: #274e13;">± </span></b></i><i><b><span style="color: #274e13;"><span style="text-align: center;">√</span><span style="text-align: center;">Z. </span></span></b></i><i><b><span style="color: #274e13;"><span style="text-align: center;">Como R(0) = 1 > 0 y R(</span><span style="text-align: center;">−</span><span style="text-align: center;">∞) = R(</span><span style="text-align: center;">∞) = </span><span style="text-align: center;">−</span><span style="text-align: center;">∞ < 0,</span><span style="text-align: center;"> el dominio de P y Q es un intervalo: el entorno cerrado de cento 0 y radio </span><span style="text-align: center;">√</span><span style="text-align: center;">Z, esto es, Dom (P) = Dom (Q) =</span><span style="text-align: center;"> [</span><span style="text-align: center;">−</span><span style="text-align: center;">√</span><span style="text-align: center;">Z</span><span style="text-align: center;">, </span><span style="text-align: center;">√</span><span style="text-align: center;">Z</span><span style="text-align: center;">]. Como P y Q son funciones pares, </span><span style="text-align: center;">voy a confeccionar una tabla de valores aproximados con x </span><span style="text-align: center;">≥ </span><span style="text-align: center;">0 y a esbozar sendas gráficas...</span></span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><br /></div></div><div style="text-align: left;">
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoTableGrid" style="border-collapse: collapse; border: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-insideh: .5pt solid windowtext; mso-border-insidev: .5pt solid windowtext; mso-padding-alt: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-yfti-tbllook: 480; width: 621px;">
<tbody><tr>
<td style="border: 1pt solid windowtext; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.5pt;" valign="top" width="45">
<p class="MsoNormal"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><b>x<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-left: none; border: 1pt solid windowtext; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.2pt;" valign="top" width="44">
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><b>0<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-left: none; border: 1pt solid windowtext; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.2pt;" valign="top" width="44">
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><b>.1<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-left: none; border: 1pt solid windowtext; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.2pt;" valign="top" width="44">
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><b>.2<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-left: none; border: 1pt solid windowtext; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.2pt;" valign="top" width="44">
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><b>.3<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-left: none; border: 1pt solid windowtext; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.2pt;" valign="top" width="44">
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><b>.4<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-left: none; border: 1pt solid windowtext; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.2pt;" valign="top" width="44">
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><b>.5<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-left: none; border: 1pt solid windowtext; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.2pt;" valign="top" width="44">
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><b>.6<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-left: none; border: 1pt solid windowtext; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.25pt;" valign="top" width="44">
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><b>.7<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-left: none; border: 1pt solid windowtext; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.25pt;" valign="top" width="44">
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><b>.8<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-left: none; border: 1pt solid windowtext; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.25pt;" valign="top" width="44">
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><b>.9<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-left: none; border: 1pt solid windowtext; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.25pt;" valign="top" width="44">
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><b>1<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-left: none; border: 1pt solid windowtext; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.25pt;" valign="top" width="44">
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><b>1.1<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-left: none; border: 1pt solid windowtext; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.25pt;" valign="top" width="44">
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><b>1.2<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: 1pt solid windowtext; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.5pt;" valign="top" width="45">
<p class="MsoNormal"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><b>P(x)<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid windowtext; border-left: none; border-right: 1pt solid windowtext; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.2pt;" valign="top" width="44">
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><b>1<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid windowtext; border-left: none; border-right: 1pt solid windowtext; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.2pt;" valign="top" width="44">
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><b>1.11<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid windowtext; border-left: none; border-right: 1pt solid windowtext; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.2pt;" valign="top" width="44">
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><b>1.17<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid windowtext; border-left: none; border-right: 1pt solid windowtext; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.2pt;" valign="top" width="44">
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><b>1.2<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid windowtext; border-left: none; border-right: 1pt solid windowtext; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.2pt;" valign="top" width="44">
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><b>1.23<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid windowtext; border-left: none; border-right: 1pt solid windowtext; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.2pt;" valign="top" width="44">
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><b>1.24<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid windowtext; border-left: none; border-right: 1pt solid windowtext; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.2pt;" valign="top" width="44">
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><b>1.23<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid windowtext; border-left: none; border-right: 1pt solid windowtext; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.25pt;" valign="top" width="44">
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><b>1.21<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid windowtext; border-left: none; border-right: 1pt solid windowtext; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.25pt;" valign="top" width="44">
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><b>1.17<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid windowtext; border-left: none; border-right: 1pt solid windowtext; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.25pt;" valign="top" width="44">
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><b>1.1<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid windowtext; border-left: none; border-right: 1pt solid windowtext; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.25pt;" valign="top" width="44">
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><b>1<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid windowtext; border-left: none; border-right: 1pt solid windowtext; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.25pt;" valign="top" width="44">
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><b>.8<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid windowtext; border-left: none; border-right: 1pt solid windowtext; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.25pt;" valign="top" width="44">
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><b>∄</b></span></p>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: 1pt solid windowtext; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.5pt;" valign="top" width="45">
<p class="MsoNormal"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><b>Q(x)<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid windowtext; border-left: none; border-right: 1pt solid windowtext; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.2pt;" valign="top" width="44"><p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><span style="text-align: center;">−</span></span></b></i><b>1<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid windowtext; border-left: none; border-right: 1pt solid windowtext; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.2pt;" valign="top" width="44"><p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><span style="text-align: center;">−.</span></span></b></i><b>89<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid windowtext; border-left: none; border-right: 1pt solid windowtext; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.2pt;" valign="top" width="44"><p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><span style="text-align: center;">−</span></span></b></i><b>.82<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid windowtext; border-left: none; border-right: 1pt solid windowtext; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.2pt;" valign="top" width="44"><p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><span style="text-align: center;">−</span></span></b></i><b>.76<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid windowtext; border-left: none; border-right: 1pt solid windowtext; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.2pt;" valign="top" width="44"><p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><span style="text-align: center;">−</span></span></b></i><b>.68<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid windowtext; border-left: none; border-right: 1pt solid windowtext; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.2pt;" valign="top" width="44"><p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><span style="text-align: center;">−</span></span></b></i><b>.61<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid windowtext; border-left: none; border-right: 1pt solid windowtext; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.2pt;" valign="top" width="44"><p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><span style="text-align: center;">−</span></span></b></i><b>.52<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid windowtext; border-left: none; border-right: 1pt solid windowtext; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.25pt;" valign="top" width="44"><p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><span style="text-align: center;">−</span></span></b></i><b>.42<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid windowtext; border-left: none; border-right: 1pt solid windowtext; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.25pt;" valign="top" width="44"><p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><span style="text-align: center;">−</span></span></b></i><b>.31<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid windowtext; border-left: none; border-right: 1pt solid windowtext; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.25pt;" valign="top" width="44"><p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><span style="text-align: center;">−</span></span></b></i><b>.17<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid windowtext; border-left: none; border-right: 1pt solid windowtext; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.25pt;" valign="top" width="44">
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><b>0<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid windowtext; border-left: none; border-right: 1pt solid windowtext; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.25pt;" valign="top" width="44">
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span lang="ES-TRAD" style="color: #274e13;"><b>.26<o:p></o:p></b></span></p>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid windowtext; border-left: none; border-right: 1pt solid windowtext; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt; width: 33.25pt;" valign="top" width="44">
<p class="MsoNormal" style="text-align: center;"><b><span style="color: #274e13;"><span style="text-align: left;">∄</span></span></b></p>
</td>
</tr>
</tbody></table></div><div style="text-align: left;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="color: #274e13; text-align: center;"><b><br /></b></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXf2vZHnZv-qUjH-3V4Wx6N8oAaFtfJKHhPR0hVtytskDRWoq6Hstt9R8fZmY_Oifyi5w8QerhTlrETOS9G-SMaKGpziMMbAutoFH3ZyfyjbPkgoA16RWM1Z5w53wrDmrMeUkJY3HidvtWdGwxC6amxAiERJJinQk71uXa76JpHMnaHP2izPsTQgg3/s265/cuore.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><b><span style="color: #274e13;"><img border="0" data-original-height="260" data-original-width="265" height="210" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXf2vZHnZv-qUjH-3V4Wx6N8oAaFtfJKHhPR0hVtytskDRWoq6Hstt9R8fZmY_Oifyi5w8QerhTlrETOS9G-SMaKGpziMMbAutoFH3ZyfyjbPkgoA16RWM1Z5w53wrDmrMeUkJY3HidvtWdGwxC6amxAiERJJinQk71uXa76JpHMnaHP2izPsTQgg3/w214-h210/cuore.png" width="214" /></span></b></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><i><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><i><b><span style="color: #274e13;"> Como H(0, 0) = </span></b></i><i style="color: #274e13;"><b><span style="color: #274e13;"><span style="text-align: center;">−1 </span></span></b></i><i><b><span style="color: #274e13;">< 0 y H(2, 0) = 27 > 0, el dominio de G sería el plano descorazonado...</span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEideFBQ4ofL2oDnbd43nm3T_zcKiIRnngF-8VP0OhYgCPq9Kw8R8OmTZn0Tg5kULPDUV_ciEP2Kzz5mueD7qaxeyynVdLzmCorAQSD9ofbuMXWLejxrrtKAhqNljNP97Qgyi8cbzaFz0VN2ROOBkEHBrB3ExHt51YRSW00Ng_e2sqhjiD5GXtI5ulOo/s555/cuore2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><b><span style="color: #274e13;"><img border="0" data-original-height="516" data-original-width="555" height="345" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEideFBQ4ofL2oDnbd43nm3T_zcKiIRnngF-8VP0OhYgCPq9Kw8R8OmTZn0Tg5kULPDUV_ciEP2Kzz5mueD7qaxeyynVdLzmCorAQSD9ofbuMXWLejxrrtKAhqNljNP97Qgyi8cbzaFz0VN2ROOBkEHBrB3ExHt51YRSW00Ng_e2sqhjiD5GXtI5ulOo/w370-h345/cuore2.png" width="370" /></span></b></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"> Aunque no se mencione, se ha tenido en cuenta la continuidad de las funciones...</span></b></div></div></div>Joséhttp://www.blogger.com/profile/07510117138022884554noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3945678956967880919.post-86625589480119403982023-01-09T13:54:00.022+01:002023-01-12T08:14:16.909+01:001680. Coordenadas gramaticales<div style="text-align: left;"><b><span style="color: #0c343d;"> Pepe Chapuza estaba estudiando la conjugación en euskera y empezó a poner orden en sus apuntes.</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #0c343d;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #0c343d;"> <i>Profe, mire. Empezamos con el presente de indicativo cortés en número singular del verbo IZAN.</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #0c343d;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: center;"><i><b><span style="color: #0c343d;">ni NAIZ</span></b></i></div><div style="text-align: center;"><i><b><span style="color: #0c343d;">zu ZARA</span></b></i></div><div style="text-align: center;"><i><b><span style="color: #0c343d;">hura DA</span></b></i></div><div style="text-align: center;"><i><b><span style="color: #0c343d;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #0c343d;"><i> Luego la cosa se complica porque el verbo concuerda no solo con el actante absolutivo (ni, zu, hura) sino también con el actante ergativo y con el actante dativo. Así que a cada forma verbal finita le podemos asignar las personas gramaticales de los tres actantes como si fueran coordenadas: 0 si no está presente, 1 para la primera persona, 2 para la segunda y 3 para la tercera. Si escribimos las tríadas de coordenadas de la siguiente manera, </i><span style="font-family: georgia;">(.·.)</span><i>, escribiendo arriba del absolutivo, a la izquierda la del ergativo y a la derecha la del dativo, las tres formas anteriores serían NAIZ </i><span style="font-family: georgia;">(₀¹₀)</span><i>, ZARA </i><span style="font-family: georgia;">(₀²₀)</span><i> y DA </i><span style="font-family: georgia;">(₀³₀)</span><i> porque solo interviene el actante absolutivo...</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #0c343d;"><i><br /></i><i> </i>Pepe no ha hecho más que empezar... ¡Sigue conjugando!</span></b></div><div style="text-align: left;"><u><br /></u></div><div style="text-align: left;"><u><b><span style="color: #800180;">SOLUCIÓN</span></b></u></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> Nina Guindilla jugó y conjugó...<br /> </span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> <i>Profe, mire. Seguimos con el número singular...</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #800180;"> Si intervienen los actantes absolutivo y ergativo </span></b></i><b><span style="color: #800180;"><i style="text-align: center;">(nik, zuk, hark) </i></span></b><i><b><span style="color: #800180;">tenemos las formas</span></b></i></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>NAUZU</i><i> </i><span style="font-family: georgia;">(₂¹₀)</span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>NAU</i><i> </i><span style="font-family: georgia;">(₃¹₀)</span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>ZAITUT</i><i> </i><span style="font-family: georgia;">(₁<span style="text-align: left;">²</span>₀)</span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>ZAITU</i><i> </i><span style="font-family: georgia;">(₃<span style="text-align: left;">²</span>₀)</span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>DUT</i><i> </i><span style="font-family: georgia;">(₁<span style="text-align: left;">³</span>₀)</span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>DUZU</i><i> </i><span style="font-family: georgia;">(₂<span style="text-align: left;">³</span>₀)</span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>DU</i><i> </i><span style="font-family: georgia;">(₃<span style="text-align: left;">³</span>₀)</span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><i> Si intervienen los actantes absolutivo y da</i><i style="text-align: center;">tivo </i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i>(niri, zuri, hari)</i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i style="text-align: center;"> tenemos las formas</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>NATZAIZU</i><i> </i><span style="font-family: georgia;">(₀¹₂)</span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>NATZAIO</i><i> </i><span style="font-family: georgia;">(₀¹₃)</span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>ZATZAIZKIT</i><i> </i><span style="font-family: georgia;">(₀<span style="text-align: left;">²</span>₁)</span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>ZATZAIZKIO</i><i> </i><span style="font-family: georgia;">(₀<span style="text-align: left;">²</span>₃)</span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>ZAIT</i><i> </i><span style="font-family: georgia;">(₀<span style="text-align: left;">³</span>₁)</span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>ZAIZU</i><i> </i><span style="font-family: georgia;">(₀<span style="text-align: left;">³</span>₂)</span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>ZAIO</i><i> </i><span style="font-family: georgia;">(₀<span style="text-align: left;">³</span>₃)</span></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> <i>Y si intervienen los tres actantes tenemos las formas</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: left;"><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>DIDAZU </i><span style="font-family: georgia;">(₂<span style="text-align: left;">³</span>₁)</span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>DIT </i><span style="font-family: georgia;">(₃<span style="text-align: left;">³</span>₁)</span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>DIZUT </i><span style="font-family: georgia;">(₁<span style="text-align: left;">³</span>₂)</span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>DIZU</i><i> </i><span style="font-family: georgia;">(₃<span style="text-align: left;">³</span>₂)</span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>DIOT</i><i> </i><span style="font-family: georgia;">(₁<span style="text-align: left;">³</span>₃)</span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>DIOZU</i><i> </i><span style="font-family: georgia;">(₂<span style="text-align: left;">³</span>₃)</span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>DIO</i><i> </i><span style="font-family: georgia;">(₃<span style="text-align: left;">³</span>₃)</span></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> Con coordenadas se pueden hacer representaciones gráficas, ¿verdad?</span></b></div><div style="text-align: left;"><i><span style="color: #274e13;"><br /></span></i></div><div style="text-align: left;"><u><b><span style="color: #274e13;">RESOLUCIÓN</span></b></u></div><div style="text-align: left;"><i style="color: #274e13;"><br /></i></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><i> </i>Yoyó Gaviota hizo unos bonitos diagramas hexagonales:</span></b></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #274e13;"><b><br /></b></span><span style="color: #274e13;"><div class="separator" style="clear: both; font-weight: bold; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh6Vj_g_0OcPm-INEQvlqEOtKaN2pOuXN2JQrDJ-RVSLEF0xtyTg_jYMb5gCcuJ2QVuA9MkyRiOXjQXEjl1UI9rP2pCMYLls2rxBOBE_YPszkGYjcb-20WWjoxywH9KRJYqPAt1dlqWDvr0iuTxZgEQUZqnHJdPNc_eBJcgqgMnZnjsNDZzTjK3l888/s528/panal.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="267" data-original-width="528" height="196" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh6Vj_g_0OcPm-INEQvlqEOtKaN2pOuXN2JQrDJ-RVSLEF0xtyTg_jYMb5gCcuJ2QVuA9MkyRiOXjQXEjl1UI9rP2pCMYLls2rxBOBE_YPszkGYjcb-20WWjoxywH9KRJYqPAt1dlqWDvr0iuTxZgEQUZqnHJdPNc_eBJcgqgMnZnjsNDZzTjK3l888/w388-h196/panal.png" width="388" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; font-weight: bold; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; font-weight: bold; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKUjUjHiVku2aFI_zEiP6iLQkqDP80ActJEF4RXRI8Ipc5Q_WbTUOKwEbcIEDtmqhZ0SFUnwOv0O_9VhjHjeQ3l8WRpNa8mfgPxdd5swBHov3nJ9zrMI8B0Rp-y0L7aKl011zmQ-_GMuyILKqtruwnOw8Tg8mBUWzGlYa3d8uyz8IZC8nCxXLZtv10/s528/panal2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="266" data-original-width="528" height="204" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKUjUjHiVku2aFI_zEiP6iLQkqDP80ActJEF4RXRI8Ipc5Q_WbTUOKwEbcIEDtmqhZ0SFUnwOv0O_9VhjHjeQ3l8WRpNa8mfgPxdd5swBHov3nJ9zrMI8B0Rp-y0L7aKl011zmQ-_GMuyILKqtruwnOw8Tg8mBUWzGlYa3d8uyz8IZC8nCxXLZtv10/w405-h204/panal2.png" width="405" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; font-weight: bold; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; font-weight: bold; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjI3bnvczmpHGN6QlhQJSCe8s2Nq3tknTmpo5UYIadAKIRvqV8rnA1V2myKE5AuQoZyGok7n658BPOYEnTMSfDIm9ZD_zPLFd5Cbr3sT7RU-Sp8QsEgPqE3NKCdtTbOAFCSXQdh6KHy6Ah9AvnKXTqP2KyjP8CU62Ng93inG_JHA5nUqGVUXbYceJBZ/s529/panal3.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="267" data-original-width="529" height="203" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjI3bnvczmpHGN6QlhQJSCe8s2Nq3tknTmpo5UYIadAKIRvqV8rnA1V2myKE5AuQoZyGok7n658BPOYEnTMSfDIm9ZD_zPLFd5Cbr3sT7RU-Sp8QsEgPqE3NKCdtTbOAFCSXQdh6KHy6Ah9AvnKXTqP2KyjP8CU62Ng93inG_JHA5nUqGVUXbYceJBZ/w401-h203/panal3.png" width="401" /></a></div><div style="font-weight: bold; text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #274e13;"><b> </b><i><b>Mire, profe. Si queremos incluir el número plural, las formas monovalentes como DA se duplican, las bivalentes como DU y ZAIO se cuadruplican y las trivalentes como DIO se octuplican:</b></i></span></div><div style="font-weight: bold; text-align: left;"><i><br /></i><b><span style="color: #274e13;"><i><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrBFo9nAbYo9IuHKk1nQmBU_nhuHwOBhDUMgWdOmQ7z58lOPX8zNBIHOwH6wJOL9tGyP4hBG_3U6AamBO_GyCbfKb_O_SEGPMr7VNXgH2Rr00r_giH3y61ehAD8FXynzaQT8Hnalf-UfT-agtvbv7LMRnYyNlyTMxgI8WycyepvLQIW-xRf2YbQCOv/s516/plus.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="464" data-original-width="516" height="369" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrBFo9nAbYo9IuHKk1nQmBU_nhuHwOBhDUMgWdOmQ7z58lOPX8zNBIHOwH6wJOL9tGyP4hBG_3U6AamBO_GyCbfKb_O_SEGPMr7VNXgH2Rr00r_giH3y61ehAD8FXynzaQT8Hnalf-UfT-agtvbv7LMRnYyNlyTMxgI8WycyepvLQIW-xRf2YbQCOv/w410-h369/plus.png" width="410" /></a></div></i></span></b></div><div style="font-weight: bold; text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></div><b> ¿Completará y ampliará el lector las coordenadas de Pepe y Nina o los diagramas de Yoyó con otros tratamientos, tiempos, modos y verbos?</b></span></div></div>Joséhttp://www.blogger.com/profile/07510117138022884554noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3945678956967880919.post-56410880706474027602023-01-07T19:25:00.004+01:002023-01-10T19:47:22.674+01:001679. Ecuaciones de cambio de base... <div style="text-align: left;"><b> <span style="color: #073763;"> <i>Mire, profe. El par de vectores A = { <u>u</u>=(3, 5), <u>v</u>=(5, 9) } es una base del plano vectorial porque no son ni vectores nulos ni paralelos entre sí (5/3≠9/5). (Se podría decir que la matriz cuadrada de orden dos formada por las cuatro componentes no puede ser singular...) Del par de vectores B</i><i> = { <u>m</u>=(7, 1), <u>n</u>=(11, 13) } podemos decir exactamente lo mismo </i><i>(11/7≠13/1)</i><i>: se trata de otra base... Cualquier vector <u>w</u> se puede poner de forma única como combinación lineal de A ( <u>w</u> = x<u>u</u> + y<u>v</u> ) y de B ( </i><i><u>w</u> = p<u>m</u> + q<u>n</u></i><i> ). ¿Qué relación existe entre las componentes (x, y)</i><sub><i><span style="font-family: inherit; font-size: xx-small;">A</span></i></sub><i> y las componentes (p, q)</i><sub><i><span style="font-family: inherit; font-size: xx-small;">B</span></i></sub><i>?</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #073763;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #073763;"><i> </i>Pepe Chapuza estaba preguntando por las ecuaciones de cambio de base... Conocidas las componentes de <u>w</u> en B, ¿cómo se pueden calcular las componentes de <u>w</u> en A? </span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #073763;"> Pepe acompañó su enunciado con un dibujo ilustrativo que no se correspondía fidedignamente a los datos numéricos.</span></b><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFT0ro_St8YjYGWh3WBNmiM7oPNUFP7L-Q8sDYPFYAzmv8IK-aOU6dCpPjA2LeuiXcvYCYx0QcDdYJkJF9dzFHsM3sqrMqtzfSUp3Xc2j8v_4QpsXLx1nASKKswPALRJ_5V_9Syu2fRL_qxCvF46xQWSFM-n4s0h2nzERdNhlCxyvTzZIm3SnMUmh5/s570/vectores.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><b><img border="0" data-original-height="336" data-original-width="570" height="213" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFT0ro_St8YjYGWh3WBNmiM7oPNUFP7L-Q8sDYPFYAzmv8IK-aOU6dCpPjA2LeuiXcvYCYx0QcDdYJkJF9dzFHsM3sqrMqtzfSUp3Xc2j8v_4QpsXLx1nASKKswPALRJ_5V_9Syu2fRL_qxCvF46xQWSFM-n4s0h2nzERdNhlCxyvTzZIm3SnMUmh5/w361-h213/vectores.png" width="361" /></b></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><u><span style="color: #800180;">SOLUCIÓN</span></u></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> Nina Guindilla trabajó con matrices...</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> <i>Mire, profe. El mismo vector <u>w</u> se puede escribir como producto matricial de dos formas distintas: con A y con B.<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBr5tm_felzJwCppPym3z5Ru6VfHjuw-S0FqMbs5ncbX8zYNdE-bpPbLhCPcBQZWXNQyL6umJ2X4sZVfkrFhnt-YtkptJLnJHu4chnC-zFFsZ3hcv07irsmd8_MSjf7GG3o1L6hX9bRh9Ik-g12Q9Zc7JCFV5fwn_Li89yWdna7yFFOvoZ9edZRARo/s407/matriz1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="99" data-original-width="407" height="78" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBr5tm_felzJwCppPym3z5Ru6VfHjuw-S0FqMbs5ncbX8zYNdE-bpPbLhCPcBQZWXNQyL6umJ2X4sZVfkrFhnt-YtkptJLnJHu4chnC-zFFsZ3hcv07irsmd8_MSjf7GG3o1L6hX9bRh9Ik-g12Q9Zc7JCFV5fwn_Li89yWdna7yFFOvoZ9edZRARo/s320/matriz1.png" width="320" /></a></div></i></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><i><b><span style="color: #800180;"> Por tanto</span></b></i></div></div><div style="text-align: left;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxUQy_I0ZsEzv8ZNmKoBjFvOd1-BI6l-7olfCCBmkPUFGqm3yFzpoZSL05RdVu5Xk_3nakjl4L9S8cDyIFbw-PBGC12sVmVt6MMN6RTfLMT6soUtMrdxRqRDMhmsswD-luyPWeV6bu67eNCOk8jkbODurcBVCuInDhRfg6aqeXvsgUCuZXIiBMclg5/s452/matriz2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><b><span style="color: #800180;"><img border="0" data-original-height="284" data-original-width="452" height="228" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxUQy_I0ZsEzv8ZNmKoBjFvOd1-BI6l-7olfCCBmkPUFGqm3yFzpoZSL05RdVu5Xk_3nakjl4L9S8cDyIFbw-PBGC12sVmVt6MMN6RTfLMT6soUtMrdxRqRDMhmsswD-luyPWeV6bu67eNCOk8jkbODurcBVCuInDhRfg6aqeXvsgUCuZXIiBMclg5/w362-h228/matriz2.png" width="362" /></span></b></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> <i>Así pues, las ecuaciones son </i></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><i><span style="color: #800180; font-size: large;"><b>x = 29m + 17n</b></span></i></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><span style="color: #800180; font-size: large;"><b><i>y = −16m </i><i>− 8n</i></b></span></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><i><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> ¿Cómo sería en el espacio vectorial?</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><br /></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><u><span style="color: #274e13;">RESOLUCIÓN</span></u></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"> Yoyó Gaviota intervino...</span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"> <i>Profe, mire. En tres dimensiones las bases tienen tres vectores y los vectores tienen tres componentes. Los vectores de una base no pueden ser ni nulos ni coplanarios, esto es, el producto mixto de ellos no puede valer cero, esto es, la matriz cuadrada de orden tres determinada por las nueve componentes no puede ser singular... Por lo demás el procedimiento es idéntico...</i></span></b></div></div>Joséhttp://www.blogger.com/profile/07510117138022884554noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3945678956967880919.post-26070933281678903152022-12-28T20:01:00.004+01:002023-01-27T16:52:41.415+01:001678. Juego de garruchas y aparejos<div style="text-align: left;"> <b> <span style="color: #0b5394;"> Pepe Chapuza trajo un juego de garruchas (poleas) y cuerdas para montar un aparejo (polipasto).</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #0b5394;"><br /></span></b><b><span style="color: #0b5394;"> <i>Profe, mire. ¿Qué fuerza F hay que superar tirando de la cuerda para izar un peso P? </i></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #0b5394;"><br /></span></b><b><span style="color: #0b5394;"> Estaba claro que eso dependía del número de poleas y del tipo de polipasto. Aclárale esta cuestión a Pepe. Consideraremos irrelevantes el peso de las cuerdas, los rozamientos y los momentos de inercia... </span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #0b5394;"><br /></span></b><b><u><span style="color: #800180;">SOLUCIÓN</span></u></b></div><div style="text-align: left;"><b><u><span style="color: #800180;"><br /></span></u></b><b><span style="color: #800180;"> Nina Guindilla comentó que principalmente había dos tipos de polipastos: los factoriales y los potenciales. </span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b><b><span style="color: #800180;"> <i> Mire, profe. En un polipasto factorial se alternan las poleas fijas y las móviles según este esquema básico...<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjnn1Zqm8EEpEr7UfpHhUc3KZxPcGKYMzoZKuZSvTCBJ2O229qbegTRUvKy2bYfnzu-Y9Fy_A9j-VkG7IJGbH6J-S_vVz31s46N_omKWW79moZICYUAlDgFHuPo4d1JHXt5z5WQYcNZ5-7zcWzeU3rqgtwnEhQexC66M-yOUNmlBiA9gdKsiVJ-9ggd/s459/poli1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="418" data-original-width="459" height="274" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjnn1Zqm8EEpEr7UfpHhUc3KZxPcGKYMzoZKuZSvTCBJ2O229qbegTRUvKy2bYfnzu-Y9Fy_A9j-VkG7IJGbH6J-S_vVz31s46N_omKWW79moZICYUAlDgFHuPo4d1JHXt5z5WQYcNZ5-7zcWzeU3rqgtwnEhQexC66M-yOUNmlBiA9gdKsiVJ-9ggd/w301-h274/poli1.png" width="301" /></a></div><br /></i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i> La fuerza F y el peso P son inversamente proporcionales a la longitud L de la cuerda extraída y a la altura A alcanzada por el peso, respectivamente, esto es FL=PA. Si hay n poleas según el esquema básico se cumple que F=P/n.</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><i><br /></i></span></b><b><span style="color: #800180;"> Faltaba hablar del polipasto potencial... </span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b><b><u><span style="color: #38761d;">RESOLUCIÓN</span></u></b></div><div style="text-align: left;"><b><u><span style="color: #38761d;"><br /></span></u></b><b><span style="color: #38761d;"> Aquí estaba Yoyó Gaviota...</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #38761d;"><br /></span></b><b><span style="color: #38761d;"><i> Profe, mire. El esquema básico de un polipasto potencial es el siguiente.</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #38761d;"><b><i><br /></i></b></span><b><span style="color: #38761d;"><i><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgMboTgBjPQ0cmXbQCatAX_3VVO-Ntp8mqxu3mcSUa7nBcbimWyr3_gzkzxq3F4IcTMwfrz8dsUTD9nq3xc4BrO0XNTQ1hbroQFi0nDmV5eIAGlBGFbzSTyww5vO9V9GT8ExHX-JgIkExlB8iaObEZHp5MmjfVjQY8FN24qsLT-t9I_QSXv32ts4nEL/s792/poli2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="792" data-original-width="178" height="539" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgMboTgBjPQ0cmXbQCatAX_3VVO-Ntp8mqxu3mcSUa7nBcbimWyr3_gzkzxq3F4IcTMwfrz8dsUTD9nq3xc4BrO0XNTQ1hbroQFi0nDmV5eIAGlBGFbzSTyww5vO9V9GT8ExHX-JgIkExlB8iaObEZHp5MmjfVjQY8FN24qsLT-t9I_QSXv32ts4nEL/w121-h539/poli2.png" width="121" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"> <b><span style="color: #38761d;"><i>Solo hay poleas móviles... Si son n las poleas se cumple que F=P/2</i></span></b><b><span style="text-align: center;"><span style="color: #274e13;"><i style="text-align: left;"><sup><span style="font-size: xx-small;">n</span></sup></i></span></span></b><b><span style="color: #38761d;"><i>. La única pega es la limitación de A, ¿verdad? </i></span></b></div></i></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #38761d;"><i><br /></i></span></b><b><span style="color: #38761d;"> Queda para el lector pensar cuál es tal limitación...</span></b></div>Joséhttp://www.blogger.com/profile/07510117138022884554noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3945678956967880919.post-87247825358156812852022-12-25T12:09:00.006+01:002022-12-26T12:28:30.193+01:001677. En busca del incentro... <b><span style="color: #073763;"> Pepe Chapuza nos dio las coordenadas de los vértices de un triángulo:</span></b><div><b><span style="color: #073763;"><br /></span></b></div><div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #073763;"> A(0, 0) B(21, 0) C(16, 12)</span></b></div><div><b><span style="color: #073763;"><i><br /></i></span></b></div><div><b><span style="color: #073763;"><i> Profe, necesito las coordenadas del incentro de este triángulo, esto es, el centro de su circunferencia inscrita... </i></span></b></div><div><b><span style="color: #073763;"><br /></span></b></div><div><b><span style="color: #073763;"> ¿Quién le echa una mano a Pepe?</span></b></div><div><br /></div><div><u><b><span style="color: #800180;">SOLUCIÓN</span></b></u></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUJrHyCoK0ZzO23ciIRTBPdkoNndDgEX-KuCtOzXKuZAYmZyrS9qVMTRxRFbzdee8qp8X-P20tzCQqRtUdaL4F_440oSwxLQ8TNXdDgPZmp0slA-d-nqb-QEOP3-BLRLB7tgE1XK99LGJ2G30q96UmjjHFiGcoc1-1e2bJh8oeWh6o4Nf0hxbszPFW/s644/incentro.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><b><span style="color: #800180;"><img border="0" data-original-height="357" data-original-width="644" height="208" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUJrHyCoK0ZzO23ciIRTBPdkoNndDgEX-KuCtOzXKuZAYmZyrS9qVMTRxRFbzdee8qp8X-P20tzCQqRtUdaL4F_440oSwxLQ8TNXdDgPZmp0slA-d-nqb-QEOP3-BLRLB7tgE1XK99LGJ2G30q96UmjjHFiGcoc1-1e2bJh8oeWh6o4Nf0hxbszPFW/w376-h208/incentro.png" width="376" /></span></b></a></div><div><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div><b><span style="color: #800180;"> Nina Guindilla sabía que el incentro era el punto de intersección de las tres bisectrices del triángulo... </span></b></div><div><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div><b><span style="color: #800180;"><i> Mire, profe. Voy a calcular las ecuaciones de dos bisectrices y luego su intersección resolviendo el sistema... </i></span></b></div><div><b><span style="color: #800180;"><i> Un vector director de la bisectriz que pasa por A es la suma de los vectores </i></span></b></div><div><b><span style="color: #800180;"><u><i><br /></i></u></span></b></div><div style="text-align: center;"><b style="font-style: italic;"><span style="color: #800180;"><u>AB</u>/|<u>AB</u>| + <u>AC</u>/|<u>AC</u>| = </span></b><b><span style="color: #800180;"><i>(21/21, 0/21) + (16/20, 12/20) = (9/5, 3/5) </i>∥<i> (3, 1)</i></span></b></div><div><b><span style="color: #800180;"><i><br /></i></span></b></div><div><b><span style="color: #800180;"><i> Del mismo modo calculamos un vector director de la bisectriz que pasa por B</i></span></b></div><div><b><span style="color: #800180;"><u><i><br /></i></u></span></b></div><div style="text-align: center;"><b style="font-style: italic;"><span style="color: #800180;"><u>BA</u>/|<u>BA</u>| + <u>BC</u>/|<u>BC</u>| = </span></b><b><span style="color: #800180;"><i>(−21/21, 0/21) + (−5/13, 12/13) = (−18/13, 12/13) </i>∥<i> (−3, 2)</i></span></b></div><div><b><span style="color: #800180;"><i><br /></i></span></b></div><div><b><span style="color: #800180;"><i> Las bisectrices son...</i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>x − 3y = 0 </i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i>2x + 3y − 42 = 0</i></span></b></div><div><span style="color: #800180;"><b><i>y el incentro...</i></b></span></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>x = 14 </i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i>y = 14/3</i></span></b></div><div><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div><b><span style="color: #800180;"> Nina ha operado mentalmente demasiado rápido. ¿Quién comprueba la solución? </span></b></div><div><br /></div><div><u><b><span style="color: #38761d;">RESOLUCIÓN</span></b></u></div><div><b><span style="color: #38761d;"><br /></span></b></div><div><b><span style="color: #38761d;"> Yoyó Gaviota no repasó lo cálculos sino que comprobó que la tercera bisectriz pasaba por el punto P(14, 14/3).</span></b></div><div><b><span style="color: #38761d;"><br /></span></b></div><div><b><span style="color: #38761d;"> <i> Profe, mire. </i></span></b></div><div><b><span style="color: #38761d;"><i><br /></i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #38761d;"><i><u>CA</u>/|<u>CA</u>|+ <u>CB</u>/|<u>CB</u>|= (−16/20, −12/20) + (5/13, −12/13) = (−108/260, −396/260) </i>∥ <i>(3, 11)</i></span></b></div><div><b><span style="color: #38761d;"><i><br /></i></span></b></div><div><b><span style="color: #38761d;"><i> La tercera bisectriz, la que pasa por C tiene por ecuación...</i></span></b></div><div><b><span style="color: #38761d;"><i><br /></i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #38761d;"><i>11x − 3y − 140 = 0</i></span></b></div><div><b><span style="color: #38761d;"><i><br /></i></span></b></div><div><b><span style="color: #38761d;"><i>y sustituyendo las incógnitas por las coordenadas del presunto incentro...</i></span></b></div><div><b><span style="color: #38761d;"><i><br /></i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #38761d;"><i>11·14 − 3·14/3 − 140 = 154 − 14 − 140 = 0</i></span></b></div></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #38761d;"><i><br /></i></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #38761d;"><i> </i>Queda para el lector repasar los cálculos...</span></b></div>Joséhttp://www.blogger.com/profile/07510117138022884554noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-3945678956967880919.post-11780293424254540592022-12-12T04:22:00.002+01:002022-12-12T05:45:56.803+01:001676. Las ecuaciones implícitas de una recta<div style="text-align: left;"><b><span style="color: #073763;"> Había explicado en clase que las ecuaciones implícitas de una recta en el espacio consistían en realidad en un sistema de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas, esto es, la intersección de dos planos secantes. Para que fueran secantes, sendos vectores normales no podían ser paralelos, esto es, el rango de la matriz de coeficientes del sistema tenía que ser dos. Muchos problemas de geometría en que se pedía hallar una recta se podían resolver cómodamente con este tipo de ecuaciones. Pepe Chapuza propuso este:</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #073763;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #073763;"> <i>Halla la proyección perpendicular de la recta</i> r: (x, y, z) = (1, 4, 3) + λ (2, 3, 6)<i> sobre el plano </i>ϖ: 2x + 7y + z + 5 = 0.</span></b></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #073763;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #073763;"><i> </i>Si r⊥ϖ la proyección sería un punto P = r ∩ ϖ , pero no es este el caso porque (2, 3, 7) ∦ (2, 7, 1). Así que la proyección es una recta p. Halla sus ecuaciones implícitas. </span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #073763;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><u><span style="color: #800180;">SOLUCIÓN</span></u></b></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"><br /></span></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #800180;"> <b> Nina Guindilla dedujo que la ecuación implícita del plano π era una de las ecuaciones implícitas de la recta p puesto que p ⊂ ϖ ...<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjHlrw5m2KvEEQlla6bw4uUll4FQKxahYH9LwZ1NlFISOpukKfa_Za0gdArSyy9fnsYosHbGevXDXs1Axn1TIUZFuIFx6sjU0SvyV7bHh_cSs2d4u9m4VqlUGHLgdNAwXMaWZJoP4SYCINmU_82JCOsaDeNNYRYor0-zESCFZucECImOOjaUNFc-SWG/s676/proy.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="394" data-original-width="676" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjHlrw5m2KvEEQlla6bw4uUll4FQKxahYH9LwZ1NlFISOpukKfa_Za0gdArSyy9fnsYosHbGevXDXs1Axn1TIUZFuIFx6sjU0SvyV7bHh_cSs2d4u9m4VqlUGHLgdNAwXMaWZJoP4SYCINmU_82JCOsaDeNNYRYor0-zESCFZucECImOOjaUNFc-SWG/w547-h320/proy.png" width="547" /></a></div></b></span></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> <i>Profe, mire. El otro plano ϱ debe cumplir que </i> ϱ ⊃ r<i> y que </i>ϱ ⊥ ϖ .<i> Por lo tanto el vector normal de </i>ϱ<i> será </i>(2, 3, 6) × (2, 7, 1) = (–39, 10, 8) <i>y la ecuación de </i>ϱ <i>es </i>– 39(x–1) + 10(y–4) + 8(z–3) = 0<i>, es decir,</i> ϱ: 39x – 10y – 8z + 25 = 0.<i> La solución es </i> p = ϖ ∩ ϱ<i> .</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> Nina propuso este otro problema:</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> <i>Halla la perpendicular común a las rectas</i> r: (x y, z) = (2, 5, 8) + λ (1, 3, 1 )<i> </i><i>y </i>s: (x, y, z) = (3, 2, 1) + μ (7, 1, 4).</span></b></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><i> </i>Si las rectas tuvieran la misma dirección habría infinitas soluciones pero no este el caso porque (1, 3, 1) ∦ (7, 1, 4). Así que solo hay una perpendicular común p. Halla sus ecuaciones implícitas. </span></b></div><div style="text-align: left;"><b><u><span style="color: #274e13;"><br /></span></u></b></div><div style="text-align: left;"><b><u><span style="color: #274e13;">RESOLUCIÓN</span></u></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"> Yoyó Gaviota empezó calculando el vector director de p, (1, 3, 1) <i>×</i> (7, 1, 4) = (11, 3, –20).<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgltR2Hm42jtn5hK57HEdI_l4pCrYvpwiYeZ9QKRGSHsBHvVDGGE1IO3pPiGM4eANmVGdyOGQFICAH3XlXWQ19HnfD1of3wfCvn7LD368ZWHMQ_jyv2Dex3vlr9t0k_6wLF0lNf-DT9m32a5M30MQNhV5xts_j5CHezAvKi2asAAlVAaSLj52qRg4-r/s676/perp.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="394" data-original-width="676" height="316" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgltR2Hm42jtn5hK57HEdI_l4pCrYvpwiYeZ9QKRGSHsBHvVDGGE1IO3pPiGM4eANmVGdyOGQFICAH3XlXWQ19HnfD1of3wfCvn7LD368ZWHMQ_jyv2Dex3vlr9t0k_6wLF0lNf-DT9m32a5M30MQNhV5xts_j5CHezAvKi2asAAlVAaSLj52qRg4-r/w540-h316/perp.png" width="540" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"> <i>Mire, profe. Podemos determinar </i>p = ϖ ∩ ϱ <i>donde </i>ϖ ⊃ r ∪ p<i> y </i>ϱ ⊃ s ∪ p<i> .</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><i> El vector normal de </i>ϖ<i> </i><i>es</i> (1, 3, 1) × (11, 3, –20) = (–63, 31, –30) <i>por lo que la ecuación de </i>ϖ<i> es </i>–63(x–2) + 31(y–5) – 30(z–8) = 0<i>, esto es, </i>ϖ: 63x – 31y + 30z – 211 = 0<i>.</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><i> El vector normal de </i>ϱ<i> </i><i>es </i>(7, 1, 4) × (11, 3, –20) = (–32, 184, 10)<i> </i><i>por lo que </i><i>la ecuación de </i>ϱ<i> es</i> –16(x–3) + 92(y–2) + 5(z–1) = 0<i>, esto es, </i>ϖ: 16x – 92y – 5z +141= 0<i>.</i></span></b></div>Joséhttp://www.blogger.com/profile/07510117138022884554noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3945678956967880919.post-78985762530381236192022-12-09T18:34:00.003+01:002022-12-12T08:39:25.322+01:001675. La circunferencia de Conway<div style="text-align: left;"><span style="color: #073763;"> <b> Pepe Chapuza enunció el famoso problema de la circunferencia de Conway. </b></span></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #073763;"><br /><i> Mire, profe. Si en un triángulo ABC cualquiera prolongamos desde cada vértice los dos lados que concurren en él la longitud del tercer lado entonces los seis extremos de los lados prolongados son concíclicos.</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #073763;"><i><br /></i><i> </i>Interpreta en un dibujo el enunciado y haz una demostración...</span></b></div><div style="text-align: left;"><u><b><br /><span style="color: #800180;">SOLUCIÓN</span></b></u></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /> Nina Guindilla dibujó un triángulo cualquiera... y prolongó cada lado "por ambos lados"...</span></b><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwlXVToV2YgfQqku_9DICPHZDczWRPwHGag70JW7ccPkkU_oJjNrd23udbtVbWCovt4CdkDZimY6loI4PXEWWjb9Z4s54MfOzHVmEg-lyMHVqto2CoaXwG1eFlqxxwQecyWPXZSGRPqRo3cBJdW4h6sXa-g6Rp7488gYVed7w6oOMZJHz5yry9yusy/s412/conway.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="412" data-original-width="406" height="386" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwlXVToV2YgfQqku_9DICPHZDczWRPwHGag70JW7ccPkkU_oJjNrd23udbtVbWCovt4CdkDZimY6loI4PXEWWjb9Z4s54MfOzHVmEg-lyMHVqto2CoaXwG1eFlqxxwQecyWPXZSGRPqRo3cBJdW4h6sXa-g6Rp7488gYVed7w6oOMZJHz5yry9yusy/w380-h386/conway.png" width="380" /></a></div><b><span style="color: #800180;"> <i>Mire, profe. Tracemos la circunferencia inscrita en ABC y sean D, E y F los puntos de tangencia. Estos dividen a los lados del triángulo en segmentos de longitud a, b y c tal como se muestra en el dibujo. Si P, Q, R, S, T y U son los extremos de los lados prolongados entonces tenemos que...</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: center;"><i><b><span style="color: #800180;">PF = SF = QE = TE = RD = UD = a+b+c</span></b></i></div><div style="text-align: center;"><i><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #800180;"> De aquí se desprende que el incentro J del triángulo ABC está en las mediatrices de los lados prolongados y por ello...</span></b></i></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: center;"><i><b><span style="color: #800180;">PJ = QJ = RJ = SJ = TJ = UJ</span></b></i></div><div style="text-align: center;"><i><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #800180;"> De aquí se desprende que los seis puntos P, Q, R, S, T y U están en una circunferencia con centro en J.</span></b></i></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><i> </i>¿Cuánto mide el radio R de esta circunferencia?</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><br /></b></div><div style="text-align: left;"><u><b><span style="color: #274e13;">RESOLUCIÓN</span></b></u></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"> Yoyó Gaviota midió...</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"> <i>Profe, mire. Si el semiperímetro del triángulo ABC mide s = a+b+c y si el radio de la circunferencia inscrita en ABC mide r, entonces, aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo PFJ por ejemplo, tenemos que R = PJ = </i><i style="text-align: center;">√(s²+r</i><i style="text-align: center;">²).</i></span></b></div>Joséhttp://www.blogger.com/profile/07510117138022884554noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3945678956967880919.post-27611982750010181002022-12-04T20:58:00.008+01:002022-12-08T18:25:56.948+01:001674. La seudoesfera<b><span style="color: #073763;"> Pedí a mis alumnos que indagaran acerca de superficies de curvatura constante y automáticamente les vino a la mente las esferas... por analogía con las circunferencias. Entonces Pepe Chapuza comentó que había varios conceptos de curvatura de superficies... entre los que destacaban la curvatura gaussiana y la curvatura media.</span></b><div><b><span style="color: #073763;"><i><br /></i></span></b><div><b><span style="color: #073763;"><i> Mire, profe. Si nos referimos a la curvatura de Gauss, la esfera tiene curvatura constante positiva, pero en el espacio hay también superficies con curvatura constante negativa, como las seudoesferas (o pseudoesferas)...</i></span></b></div><div><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgYY70OlofATvOd4_RG72MOrmZbwLId_Nc86r2feTqtuEpXrX10QNhe2hwStIXO1XEJFG1sk8YdICkVkQaYrjBtuPXG9J7gNNTjnPQbAGGgFXWXna9lXWkt-HdC-i6ElZmWuQjk--25cKL8OnRQoANvYmkKo0mW-NonF9GBfI7eMCKb_FHFFy3Qs6G3/s707/pseudo.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="202" data-original-width="707" height="164" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgYY70OlofATvOd4_RG72MOrmZbwLId_Nc86r2feTqtuEpXrX10QNhe2hwStIXO1XEJFG1sk8YdICkVkQaYrjBtuPXG9J7gNNTjnPQbAGGgFXWXna9lXWkt-HdC-i6ElZmWuQjk--25cKL8OnRQoANvYmkKo0mW-NonF9GBfI7eMCKb_FHFFy3Qs6G3/w576-h164/pseudo.png" width="576" /></a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><div><b><span style="color: #073763;"> Indaga tú también...</span></b><div><br /></div><div><u><b><span style="color: #800180;">SOLUCIÓN</span></b></u></div><div><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div><b><span style="color: #800180;"> <i>Mire, profe. Una esfera de centro O y radio 1 se puede parametrizar en función de la latitud V y la longitud W:</i></span></b></div><div><b><span style="color: #800180;"><i><br /></i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>{ x = cosV cosW ; y = cosV senW ; z = senV }</i></span></b></div><div><b><span style="color: #800180;"><i><br /></i></span></b></div><div><b><span style="color: #800180;"><i> En los polos norte y sur las latitudes son extremas (V = ±π/2) y las longitudes quedan indeterminadas... Se puede parametrizar la esfera sin polos cambiando el parámetro V por otro parámetro U de la siguiente manera...</i></span></b></div><div><b><span style="color: #800180;"><i><br /></i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>{ x = sechU cosW ; y = sechU senW ; z = tanhU }</i></span></b></div><div><b><span style="color: #800180;"><i><br /></i></span></b></div><div><b><span style="color: #800180;"><i> Pues bien, la seudoesfera se puede parametrizar así:</i></span></b></div><div><b><span style="color: #800180;"><i><br /></i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>{ x = sechU cosW ; y = sechU senW ; z = U − tanhU }</i></span></b></div><div style="text-align: center;"><i><br /></i></div></div></div><div><b><span style="color: #800180;"><i> La seudoesfera es una superficie de revolución cuya generatriz es una tractriz (persecutriz):</i></span></b></div><div><b><span style="color: #800180;"><i><br /></i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>{ x = sechU ; y = 0 ; z = U − tanhU }</i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i><br /></i></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><i> Finalmente, los planos, los conos y los cilindros son superficies de curvatura constante nula...</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><i><br /></i></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><i> </i>Nina Guindilla nos presentó algunas superficies de curvatura gaussiana constante, pero hay otras... Habrá que seguir indagando...</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #274e13;"><u><b>RESOLUCIÓN</b></u></span></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #274e13;"><u><b><br /></b></u></span></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #274e13;"><b> Yoyó Gaviota nos desveló algunas superficies preciosas...</b></span></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #274e13;"><b><br /></b></span></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #274e13;"><b> <i>Mire, profe. Entre las superficies con curvatura gaussiana constante están la de Sievert (positiva), la de Dini (negativa) y la de Kuen (negativa).</i></b></span></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #274e13;"><b><i><br /></i></b></span></div><div style="text-align: left;"><span><span><i style="color: #274e13; font-weight: bold;"> </i><b style="color: #274e13;"><i> </i>El lector puede ver estas superficies y otras en Internet. También puede indagar sobre las superficies de curvatura media constante... ¡Le sorprenderán!</b></span></span></div><div style="text-align: left;"><b style="color: #274e13;"><br /></b></div><div style="text-align: left;"><b style="color: #274e13;"> Un ejemplo sería la catenoide (relacionada con las catenarias):</b></div><div style="text-align: left;"><span><span style="color: #274e13;"><b><br /></b></span></span></div><div style="text-align: center;"><span><span style="color: #274e13;"><b><span>{ x = coshU cosW ; y = coshU senW ; z = U }</span></b></span></span></div><div style="text-align: center;"><span><span style="color: #274e13;"><b><span><br /></span></b></span></span></div><div style="text-align: left;"><span><span style="color: #274e13;"><b><span> Otro ejemplo sería la helicoide (relacionada con las hélices):</span></b></span></span></div><div style="text-align: left;"><span><span style="color: #274e13;"><b><span><br /></span></b></span></span></div><div style="text-align: center;"><span><span style="color: #274e13;"><b><span>{ x = U cosW ; y = U senW ; z = W }</span></b></span></span></div>Joséhttp://www.blogger.com/profile/07510117138022884554noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3945678956967880919.post-67972860181252233182022-11-24T00:06:00.004+01:002022-12-06T19:28:57.084+01:001673. Entre un punto y un círculo<div style="text-align: left;"><div><span style="color: #073763;"><b> <i>Profe, mire. Calcule las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto P(−10, </i><i>−5) y que son tangentes al círculo C de centro Q(10, 10) y radio R = 7.</i></b></span></div><div><span style="color: #073763;"><b><br /></b></span></div><div><span style="color: #073763;"><b><i> </i>Pepe Chapuza ha enunciado este problema de geometría. ¿Te atreves con él?</b></span></div><div><br /></div><div><u><b><span style="color: #800180;">SOLUCIÓN</span></b></u></div><div><u><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></u></div><div><b><span style="color: #800180;"> Nina Guindilla siempre se atreve...</span></b></div><div><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div><b><span style="color: #800180;"> <i>Profe, mire. Primero voy a comprobar que el punto P es exterior a C. Basta probar que la potencia de P respecto de C es positiva...</i></span></b></div><div><i><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>|PQ|² </i><i style="text-align: left;">− R</i><i>² = (10+10, 10+5)</i><i>² </i><i style="text-align: left;">− 7</i><i>² = 20</i><i>² + 15</i><i>² </i><i style="text-align: left;">− 7</i><i>² = 400 + 225 </i><i style="text-align: left;">− 49 = </i><i>576 = 24</i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i>²</i></span></b><b><span style="color: #800180;"><i> > 0</i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i><br /></i></span></b></div><div><b><span style="color: #800180;"><i>...aunque no hace falta utilizar la potencia para deducir la posición del punto respecto del círculo: el círculo C está en el I cuadrante y el punto P está en el III cuadrante...<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh_IFXgtuGCymh_oUaz4cOIv7DFNwJKNkGyKHrbPEzVoBYb2k2fBlVilk7d7YdENb2jZK-13YLovZ-qMv6NCy_QunqygwwpNuVrryueZlGRYcMtHVt3evdvSCU13yh3VF7Axm2nWtVclCyaVq1M3LndA1pHzvTwfBDow4TpbCi2GAOMUthFgwB-xgn-/s911/dibujo.png" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="478" data-original-width="911" height="346" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh_IFXgtuGCymh_oUaz4cOIv7DFNwJKNkGyKHrbPEzVoBYb2k2fBlVilk7d7YdENb2jZK-13YLovZ-qMv6NCy_QunqygwwpNuVrryueZlGRYcMtHVt3evdvSCU13yh3VF7Axm2nWtVclCyaVq1M3LndA1pHzvTwfBDow4TpbCi2GAOMUthFgwB-xgn-/w659-h346/dibujo.png" width="659" /></a></div></i></span></b></div><div><b><span style="color: #800180;"><i> Por esa misma razón ninguna de las dos soluciones es vertical (ni horizontal) por lo que las ecuaciones se pueden</i></span></b><i><b><span style="color: #800180;"> escribir en forma punto-pendiente. El dibujo es ilustrativo pero no refleja fidedignamente las medidas... Si α y β son los ángulos que se muestran en la figura, las pendientes de las soluciones son...</span></b></i></div><div><i><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>p = tg (</i><i>α+</i><i>β) = (tg </i><i>α +</i><i> tg </i><i>β) / (1 </i><i>−</i><span style="font-size: x-small;"> </span><i>tg </i><i>α</i><i> tg </i><i>β) = (15/20</i><i> +</i><i> 7/24</i><i>) / (1 </i><i>−</i><i> 3/4·7/24</i><i>) = 4/3</i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>p = tg (</i><i>α</i><i>−</i><i>β) = (tg </i><i>α </i><i>−</i><i> tg </i><i>β) / (1 </i><i>+</i><span style="font-size: x-small;"> </span><i>tg </i><i>α</i><i> tg </i><i>β) = (15/20</i><i> </i><i>−</i><i> 7/24</i><i>) / (1 </i><i>+</i><i> 3/4·7/24</i><i>) = 44/117</i></span></b></div><div><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div><i><b><span style="color: #800180;"> Por lo tanto las soluciones son...</span></b></i></div><div style="text-align: center;"><i><b><span style="color: #800180;">t : y+5 = 4/3 · (x+10)</span></b></i></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>t' : </i><i>y+5 = 44/117 · (x+10)<br /></i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i><br /></i></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><i> </i>Las soluciones son "bonitas" en el sentido de que no contienen radicales. ¿Podría alguien indicar cómo se pudo preparar el enunciado para conseguirlo?</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><u>RESOLUCIÓN</u></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><u><br /></u></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"> Yoyó Gaviota se dió cuenta de que la distancia entre P y Q era 25.</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"> <i>Mire, profe. Se ha utilizado 25 como hipotenusa de dos triángulos pitagóricos: 7-24-25 y 15-20-25. Este último se denomina a veces isíaco en referencia a la diosa Isis de los antiguos egipcios...</i></span></b></div></div>Joséhttp://www.blogger.com/profile/07510117138022884554noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3945678956967880919.post-77467409777847938472022-11-14T10:43:00.000+01:002022-11-14T10:43:02.017+01:001672. El depósito cilíndrico<div style="text-align: left;"><b><span style="color: #073763;"> <i>Mire, profe. Un depósito cilíndrico con tapa, cuyo interior tiene base B y altura H, pesa P. Obviamente, cuando está vacío su centro de gravedad se halla a altura H/2, y cuando está del todo lleno su centro de gravedad se halla también a esa misma altura... ¿A qué altura h de líquido de densidad D hay que llenar el depósito para que el centro de gravedad esté lo más bajo posible?<p style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiYymoGP87qEaHnmK6WxpBLv4jm94WGmN0rR26aE1qdC8nTokwfMoFV2_IcPcAARAA0SuCOYMU7RmEp0THM-MP6khIZR_LwOXDexxjyD1hvJQEGdpsRsjGvJGMol_hUSHuSniFg-qr437RyOscxGqM-0l2Y6x6SkiLhJs4nXEQJpqrn9Eqnlf0owW-1/s278/cilindro.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="278" data-original-width="196" height="278" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiYymoGP87qEaHnmK6WxpBLv4jm94WGmN0rR26aE1qdC8nTokwfMoFV2_IcPcAARAA0SuCOYMU7RmEp0THM-MP6khIZR_LwOXDexxjyD1hvJQEGdpsRsjGvJGMol_hUSHuSniFg-qr437RyOscxGqM-0l2Y6x6SkiLhJs4nXEQJpqrn9Eqnlf0owW-1/s1600/cilindro.png" width="196" /></a></p></i></span></b><b><span style="color: #073763;"> Pepe Chapuza reta a la clase con este problema de optimización. (Se suponía que todos los datos estaban expresados en unidades del SI.) </span></b></div><p><b><span style="color: #800180;"><u>SOLUCIÓN</u></span></b></p><p><b><span style="color: #800180;"> Para Nina Guindilla los retos son pasatiempos... </span></b></p><p><b><span style="color: #800180;"> <i>Profe, mire. La altura del centro de gravedad será la media ponderada de H/2 y h/2 cuyos pesos son P y DBh respectivamente:</i></span></b></p><p style="text-align: center;"><i><b><span style="color: #800180;">(PH/2 + DBh²/2) / (P + DBh)</span></b></i></p><p><i><b><span style="color: #800180;"> Si anulamos la derivada respecto de h tenemos...</span></b></i></p><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>DBh (P + DBh) − DB </i><i>(PH/2 + DBh²/2) = 0</i></span></b></div><div style="text-align: center;"><i><b><span style="color: #800180;">h (P + DBh) − (PH/2 + DBh²/2) = 0</span></b></i></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>Ph + D</i><i>B</i><i>h</i><i>² </i><i>− </i><i>PH/2</i><i> − </i><i>D</i><i>B</i><i>h</i><i>²/2 = 0</i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>D</i><i>B</i><i>h</i><i>²/2 + Ph </i><i>− </i><i>PH/2</i><i> </i><i>= 0</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #800180;">...y si C = P/(DB)</span></b></i></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>h</i><i>² + 2Ch </i><i>− CH = 0</i></span></b></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #800180;"><i>h = </i><i>− C + √(C</i><i>² + CH)</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #800180;"> (La otra solución no es posible.) </span></b></i></div><div style="text-align: center;"><i><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><i> </i>Quedaba comprobar que se trataba efectivamente de un mínimo...</span></b></div><div style="text-align: left;"><u><br /></u></div><div style="text-align: left;"><u><b><span style="color: #274e13;">RESOLUCIÓN</span></b></u></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"> Yoyó Gaviota realizó la comprobación teniendo en cuenta que 0 ≤ h ≤ H y que C > 0.</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"> <i>Profe, mire. El signo de la derivada coincide con el signo de...</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: center;"><b><span style="color: #274e13;"><i>h</i><i>² + 2Ch </i><i>− CH = (h + C − √(C² + CH)·(<i>h + C +</i><i> </i><i>√(C</i><i>² + CH)</i></i></span></b></div><div style="text-align: center;"><i><i><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></i></i></div><div style="text-align: left;"><i><i><b><span style="color: #274e13;">...y por lo tanto con el signo de</span></b></i></i></div><div style="text-align: center;"><i><i style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><i style="text-align: center;">h + C </i><i style="text-align: center;">−</i><i style="text-align: center;"> </i><i style="text-align: center;">√(C</i><i style="text-align: center;">² + CH)</i></span></b></i></i></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><i style="text-align: center;"> Así, cuando 0 ≤ h < </i><i style="text-align: center;">− C + √(C</i><i style="text-align: center;">² + CH), la derivada es negativa y la función es menguante, y cuando </i><i style="text-align: center;">− C + √(C</i><i style="text-align: center;">² + CH) < h </i><i style="text-align: center;">≤</i><i style="text-align: center;"> H, la derivada es positiva y la función es creciente, lo cual demuestra que se trata de un mínimo efectivamente...</i></span></b></div>Joséhttp://www.blogger.com/profile/07510117138022884554noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3945678956967880919.post-90765282548184290742022-11-02T13:08:00.004+01:002022-11-07T21:26:22.460+01:001671. Las pirámides egipcias<div style="text-align: left;"> <span style="color: #073763;"> <i><b>Mire, profe. De una pirámide de base cuadrada determinada por L (el lado de la base) y H (la altura) se sabe que la media aritmética de L y H es 197m y la media geométrica de L y H es 195m. ¿Cuánto mide el volumen de la pirámide?</b></i></span></div><div style="text-align: left;"><span style="color: #073763;"><b><i><br /></i></b><i><b><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgjX7jTaMsJZ3v82pTX3s4wJL1hsQZX_UhuWOHV7we0xkH4-rOvuDARwhJNAsZFGQXV_aYSQasql2EpibLvzDNjnjnvtl1uZy3EpuFEoa0FQ5iCByxVZABplGF8mfNzC_6tLmYEd4LhSls6aG4iPZgw6PEQWqz8qekf_Hl_SeJGFn_70NyMXVo2LvkO/s375/piram.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="227" data-original-width="375" height="194" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgjX7jTaMsJZ3v82pTX3s4wJL1hsQZX_UhuWOHV7we0xkH4-rOvuDARwhJNAsZFGQXV_aYSQasql2EpibLvzDNjnjnvtl1uZy3EpuFEoa0FQ5iCByxVZABplGF8mfNzC_6tLmYEd4LhSls6aG4iPZgw6PEQWqz8qekf_Hl_SeJGFn_70NyMXVo2LvkO/s320/piram.png" width="320" /></a></div><br /></b></i><b> Pepe Chapuza sueña con ir alguna vez a Egipto... </b></span></div><p><u><b><span style="color: #800180;">SOLUCIÓN</span></b></u></p><p><b><span style="color: #800180;"> A Nina Guindilla le gustaría ser egiptóloga... Nina calculó L y H... </span></b></p><p><b><span style="color: #800180;"> <i>Profe, mire. Si la media aritmética es 197m, entonces L+H = 2·197; y si la media geométrica es 195m, entonces L·H = 195². Por lo tanto L y H son las soluciones de la ecuación de segundo grado x² – 2·197x + 195² = 0, que se puede resolver completando cuadrados...</i></span></b></p><div style="text-align: center;"><i><b><span style="color: #800180;">(x–197)² = 197²–195² = 784</span></b></i></div><div style="text-align: center;"><i><b><span style="color: #800180;">x–197 = ±√784 = ±28</span></b></i></div><div style="text-align: center;"><i><b><span style="color: #800180;"> x = 197±28 ∊ {225, 169}</span></b></i></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #800180;"> Por lo tanto hay dos posibilidades: L = 225m y H = 169m o L = 169m y H = 225m. </span></b></i></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><i> La fórmula que nos da el volumen de la pirámide es V = L²·H/3. En un caso tendremos V = 225²·169/3 = 2851875m³ y en el otro V = 169²·225/3 = 2142075m³.</i></span></b></div><p><b><span style="color: #800180;"> ¿A qué altura se halla el centro de gravedad de la pirámide en cada caso?</span></b></p><p><u><b><span style="color: #274e13;">RESOLUCIÓN</span></b></u></p><p><b><span style="color: #274e13;"> Yoyó Gaviota, ducho en jeroglíficos, intervino... </span></b></p><p><b><span style="color: #274e13;"> <i>Mire, profe. La altura del centro de gravedad no depende de L. El baricentro se encuentra a un cuarto de H. Por lo tanto, en un caso será 169/4 = 42,25m y en el otro 225/4 = 56,25m.</i></span></b></p>Joséhttp://www.blogger.com/profile/07510117138022884554noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3945678956967880919.post-63841807437255498002022-10-19T00:43:00.006+02:002022-10-19T11:48:12.090+02:001670. La potencia matricial (2ª parte) <div style="text-align: left;"><span style="color: #134f5c;"> <b> Había escrito en la pizarra una pequeña matriz...</b></span></div><div style="text-align: left;"><b><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiY7jZt9IHbMKEvJ-74_BeD19FjZO5koaSg5CnlUjf-7I0MU5uAdRSqYy2edDHqycbzBQgcyiUWb5WvEi1Te0uPWXU63jcvPX40oaZN2vi7K2CW-Wqh4uLA2WI9k9XqS9VLSlqhEf9B5vqbvJmwYcpNgOXv8DG7xLwVmQr_4pgoJc_qrbpynfqdIiOB/s219/a1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="78" data-original-width="219" height="73" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiY7jZt9IHbMKEvJ-74_BeD19FjZO5koaSg5CnlUjf-7I0MU5uAdRSqYy2edDHqycbzBQgcyiUWb5WvEi1Te0uPWXU63jcvPX40oaZN2vi7K2CW-Wqh4uLA2WI9k9XqS9VLSlqhEf9B5vqbvJmwYcpNgOXv8DG7xLwVmQr_4pgoJc_qrbpynfqdIiOB/w205-h73/a1.png" width="205" /></a></div></b><b><span style="color: #134f5c;">...y pedía calcular A<span style="font-size: medium;">²¹³</span> y A<span style="font-size: medium;">³¹²</span>. Era fácil, ¿verdad? Pepe Chapuza salió a la "palestra"...</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #134f5c;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #134f5c;"> <i>Profe, mire...<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgaZGhgzLs10_byZ-3oygnbvnWG1XFARZHSW_PmEr8sDPsX62Xg2nnjfwJ0AlDrbB4RfCHc_coK3lFzeCJwcf0sUIpfPVI5FYXP7ezmDiwa3lzyuWTl2R97S5oLFBqMfYuiLb2WhT3gfwmQbNTI_5kl2Gjl0ZwD0W7vIUEbyJ_ExMDG2m-6tb7z07ZZ/s529/a2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="78" data-original-width="529" height="73" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgaZGhgzLs10_byZ-3oygnbvnWG1XFARZHSW_PmEr8sDPsX62Xg2nnjfwJ0AlDrbB4RfCHc_coK3lFzeCJwcf0sUIpfPVI5FYXP7ezmDiwa3lzyuWTl2R97S5oLFBqMfYuiLb2WhT3gfwmQbNTI_5kl2Gjl0ZwD0W7vIUEbyJ_ExMDG2m-6tb7z07ZZ/w500-h73/a2.png" width="500" /></a></div><br /></i></span></b></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #134f5c;">...por lo tanto, si n es par A<span style="font-size: medium;">ⁿ</span> = </span></b></i><i><b><span style="color: #134f5c;">−</span></b></i><i><b><span style="color: #134f5c;">A y si n es impar A<span style="font-size: medium;">ⁿ</span> = A. Esto es válido para valores de n>0. Así que </span></b></i><b><span style="color: #134f5c;"><i>A<span style="font-size: medium;">²¹³ </span></i></span></b><i><b><span style="color: #134f5c;">= A</span></b></i><b><span style="color: #134f5c;"><i> y A<span style="font-size: medium;">³¹² </span></i></span></b><i><b><span style="color: #134f5c;">= </span></b></i><i><b><span style="color: #134f5c;">−</span></b></i><i><b><span style="color: #134f5c;">A. </span></b></i></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #134f5c;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #134f5c;"> Pepe propuso un ejercicio similar pero ahora con una matriz mayor:</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgplF3yJ2d0lm1MbbnfSg2mkbnTreiQMvbyqVYnBt9_CU5h7Bj7R76CyQXrHpL6x8AzKznYXFufPd46netyQ8N22CJ2Jqkqee2rYQJSpOgehAlsBHbop4Ahbe1EruP43wF0y0fStPViEpDmsATlCLkmnFyNySf3vFYpCTkK0wf5mMPFSseHGD8fIRL-/s225/b1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="120" data-original-width="225" height="111" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgplF3yJ2d0lm1MbbnfSg2mkbnTreiQMvbyqVYnBt9_CU5h7Bj7R76CyQXrHpL6x8AzKznYXFufPd46netyQ8N22CJ2Jqkqee2rYQJSpOgehAlsBHbop4Ahbe1EruP43wF0y0fStPViEpDmsATlCLkmnFyNySf3vFYpCTkK0wf5mMPFSseHGD8fIRL-/w209-h111/b1.png" width="209" /></a></div></b></div><div style="text-align: left;"><b><u><span style="color: #800180;">SOLUCIÓN</span></u></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> Nina Guindilla calculó las primeras potencias y dio con la clave...</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #800180;"> Mire, profe:<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhgMD1tSsvrIeQhxiffiBvk_QupPzBVH2xNvYpK9WDruW3tMnGbW-yBEzYhTqNUFQD2Cga8yUma2nfRpeJ-i4FYcCmq7syn8s2qwhBDCOcL566RaoJveTdmx3EsV5m21xEJd0W8e1RxExKOKqem51AGBk7tUAnfRxm7480PRU9kqh-siiakJaN_SK7z/s535/b2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="120" data-original-width="535" height="110" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhgMD1tSsvrIeQhxiffiBvk_QupPzBVH2xNvYpK9WDruW3tMnGbW-yBEzYhTqNUFQD2Cga8yUma2nfRpeJ-i4FYcCmq7syn8s2qwhBDCOcL566RaoJveTdmx3EsV5m21xEJd0W8e1RxExKOKqem51AGBk7tUAnfRxm7480PRU9kqh-siiakJaN_SK7z/w488-h110/b2.png" width="488" /></a></div><br /></span></b></i></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><i> por lo tanto... B<span style="font-size: medium;">ⁿ</span> = I si n ≡ 0 mod 3, </i><i>B<span style="font-size: medium;">ⁿ</span> = B si </i><i>n ≡ 1 mod 3 y</i><i> </i><i>B<span style="font-size: medium;">ⁿ</span> = B</i><i><span style="font-size: medium;">ᵗ</span></i><i> si </i><i>n ≡ 2 mod 3. Y en este caso vale para todos los números enteros n.</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></i></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><i> </i>Nina propuso un ejercicio de recurrencia...</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #800180;"> <i>Mire, profe. Si sabemos de una matriz cuadrada C que C<span style="font-size: medium;">²</span> = 3C+2I, calcula C<span style="font-size: medium;">⁴</span> y C<span style="font-family: inherit; font-size: medium;">⁻</span><span style="font-family: inherit; font-size: medium;">¹</span><span style="font-family: inherit;">.</span></i></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><br /></b></div><div style="text-align: left;"><b><u><span style="color: #274e13;">RESOLUCIÓN</span></u></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"> Yoyó Gaviota calculó:</span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"><br /></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span style="color: #274e13;"> <i>Profe, mire: </i></span></b></div><div style="text-align: left;"><i><b><span style="color: #274e13;"> C</span></b></i><b><span style="color: #274e13;"><i><span style="font-size: medium;">⁴</span> = (C</i></span></b><b><span><i><span style="color: #274e13; font-size: medium;">²</span></i></span></b><b><span style="color: #274e13;"><i>)</i></span></b><b><span><i><span style="color: #274e13; font-size: medium;">²</span></i></span></b><b><span style="color: #274e13;"><i> = (</i></span></b><b><span style="color: #274e13;"><i>3C+2I</i></span></b><b><span style="color: #274e13;"><i>)</i></span></b><b><span><i><span style="color: #274e13; font-size: medium;">²</span></i></span></b><b><span style="color: #274e13;"><i> = 9</i></span></b><b><span style="color: #274e13;"><i>C</i></span></b><b><span><i><span style="color: #274e13; font-size: medium;">² </span><span style="color: #274e13;">+ 12C + 4I</span></i></span></b><b><span style="color: #274e13;"><i> = 9(</i></span></b><b><span style="color: #274e13;"><i>3C+2I</i></span></b><b><span style="color: #274e13;"><i>) + 12C + 4I = 39C + 22I</i></span></b></div><div style="text-align: left;"><b><span><i><span style="color: #274e13;"> </span></i></span></b><span style="font-family: inherit;"><b><span style="color: #274e13;"><i>C<span style="font-size: medium;">⁻</span><span style="font-size: medium;">¹ </span></i></span></b><b><span style="color: #274e13;"><i>= I</i></span></b><b><span style="color: #274e13;"><i>C<span style="font-size: medium;">⁻</span><span style="font-size: medium;">¹</span></i></span></b><b><span style="color: #274e13;"><i> = (C</i></span></b><b><span><i><span style="color: #274e13; font-size: medium;">²</span></i></span></b><b><span style="color: #274e13;"><i> − 3C)</i></span></b><b><span style="color: #274e13;"><i>C<span style="font-size: medium;">⁻</span><span style="font-size: medium;">¹</span></i></span></b></span><b><span style="color: #274e13;"><i><span style="font-family: inherit;">/</span>2= (C </i></span></b><b><span style="color: #274e13;"><i>− 3I)/2 </i></span></b><b><span style="color: #274e13;"><i>= 0,5C </i></span></b><b><span style="color: #274e13;"><i>− 1,5I.</i></span></b></div>Joséhttp://www.blogger.com/profile/07510117138022884554noreply@blogger.com0