viernes, 26 de febrero de 2016

834. Con triángulos y cuadrados... RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Estaba jugando con los triángulos equiláteros y los cuadrados para hacer mosaicos, ya sabe, los que tienen los lados de 5cm, y empecé a combinarlos para hacer polígonos. Entonces me pregunté cuántos polígonos diferentes habría suponiendo que...
   a) Tienen que ser convexos.
   b) Sus lados no pueden medir más de 5cm.
   c) Deben estar formados por al menos un triángulo y un cuadrado.
   Por lo que habría que descartar polígonos como los siguientes:
    El primero porque no es convexo, el segundo porque tiene lados de 10cm, y el tercero porque no tiene cuadrados. Yo he encontrado los siguientes: un pentágono, un hexágono, un heptágono, un octágono, un eneágono, un decágono y un dodecágono. ¿Habrá alguno más?
    Os propongo que investiguéis la cuestión. Respondedme con vuestras conclusiones...
SOLUCIÓN

    Antes de leer cómo ha enfocado Nina Guindilla el problema hazte con un juego de triángulos equiláteros y cuadrados... y así podrás comprender sus afirmaciones.

    Profe, mire. Con las 3 condiciones del enunciado los polígonos solo pueden tener 4 tipos de ángulos: 60º, 90º, 120º y 150º. Si el polígono tuviera A, B, C y D ángulos de cada tipo, y N ángulos en total, tendríamos la ecuación  A+B+C+D = N .
    Si en el polígono hubiera un ángulo de 60º, sería de un triángulo... que tendría que estar adosado a 1 cuadrado. (El diamante o rombo de 2 triángulos no está permitido.) Solo habría dos posibilidades: el pentágono (A=1, B=D=2, N=5) y el hexágono (A=2, D=4, N=6).
    Si en el polígono hubiera un ángulo de 90º, sería de un cuadrado... que tendría que estar adosado a 1 o a 2 triángulos. En el primer caso sería el pentágono de antes y en el segundo caso solo habría una posibilidad: el heptágono (B=2, C=1, D=4, N=7).
    Si solo hubiera ángulos de 120º (triángulo más triángulo) y/o de 150º (triángulo más cuadrado), en el perímetro del polígono se formaría una cadena de triángulos y cuadrados en la que no habría cuadrados consecutivos. (Si en el perímetro no hubiera ningún cuadrado tendríamos un hexágono de 6 triángulos que no está permitido.) De hecho, en el perímetro no podría haber más de 3 triángulos consecutivos. Si aparecieran 3 triángulos consecutivos solo habría una posibilidad: el octógono (C=D=4, N=8). Si aparecieran 2 triángulos consecutivos habría dos posibilidades: el eneágono (C=3, D=6, N=9) y el decágono (C=2, D=8, N=10). Finalmente, si no hubiera triángulos consecutivos solo habría una posibilidad: el dodecágono (D=N=12).

    Comprueba que también se cumple la ecuación 4A+3B+2C+D = 12 para todos los polígonos. ¡No es casualidad! Busca un significado geométrico para esta ecuación...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso comprobó que 4A+3B+2C+D = 12 para todos los polígonos de Pepe... pero no podía explicar si era pura casualidad... Se dio de plazo hasta final de mes... y el mismo día 30 se dio cuenta de que la clave estaba en el número 30...
 
    Mire, profe. Si multiplico la ecuación por 30 tengo 120A+90B+60C+30D = 360. Los coeficientes 120, 90, 60 y 30 son precisamente (en grados) los ángulos suplementarios de 60º, 90º, 120º y 150º respectivamente, por lo que 120A+90B+60C+30D es la suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo que siempre es 360º.

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