lunes, 1 de febrero de 2016

777. Doble optimización. RESOLUCIÓN

   Hemos empezado el tema de optimización y Pepe Chapuzas está entusiasmado...

    Profe, no me imaginaba las cosas que se podían conseguir con las derivadas... Para el reto de esta semana he propuesto dos ejercicios en uno: una maximización y una minimización...
    Se trata de encontrar las dimensiones de dos conos: el de mayor volumen inscrito en la esfera y el de menor volumen circunscrito en la esfera. Los conos son rectos y de base circular y la esfera tiene de radio 1 metro. Además hay que calcular los dos volúmenes.

SOLUCIÓN
    Profe, mire. Si R y H son el radio y la altura de un cono, el volumen es V(R,H) = πR2H/3. Esta es la función que hay que optimizar... Vamos a utilizar el teorema de Pitágoras en los triángulos morado y azul...
    a) En el cono inscrito, (H1)2+R2 = 12, por tanto R2 = 2HH2. Entonces la función volumen queda V(H) = π(2H2H3)/3. La derivada V'(H) = π(4H3H2)/3 se anula si H = 4/3. La segunda derivada V''(H) = π(46H)/3 sale V''(4/3) = 4/3 < 0. Ahora solo tenemos que calcular el radio del cono R = √(8/316/9) = √8/3, y el volumen V = π·8/9·4/3/3 = 32/81·π es máximo.
    b) En el cono circunscrito, (H1)2 = 12+(H/R)2, por tanto R2 = H/(H2). Entonces la función volumen queda V(H) = πH2/(3H6). La derivada V'(H) = π(H24H)/(H2) se anula si H = 4. La segunda derivada V''(H) = (H24H+8)/(H2)2 sale V''(4) = 2 > 0. Solo falta calcular el radio del cono R = √2, y el volumen V = π·2·4/3 = 8/3·π es mínimo.
 
    Nina Guindilla ha ido demasiado deprisa. ¿No os parece?
    Justifica todos los pasos de Nina.
    Calcula las dimensiones de los conos para optimizar sus áreas laterales (máxima y mínima respectivamente). 
 
RESOLUCIÓN
 
    Yoyó Peluso tenía mucho trabajo adelantado con las soluciones de Nina...
 
    Profe, mire. El área lateral de un cono es A(R,G) = π·R·G donde R y G son el radio y la generatriz respectivamente. Por el teorema de Pitágoras tenemos que G2 = R2+H2, así que es más fácil optimizar el cuadrado del área Q(R,H) = π2·R2·(R2+H2).
    a) En el cono circunscrito tenemos Q(H) = π2·(2H–H2)·(2H) = π2·(4H2–2H3). La función derivada Q'(H) = π2·(8H–6H2) se anula para H = 4/3, que es el mismo valor que el de Nina...
    b) En el cono inscrito tenemos Q(H) = π2·H/(H–2)·(H/(H–2)+H2) = π2·(H4–2H3+H2)/(H–2)2. La derivada Q'(H) = π2·(2H4–10H3+12H2–4H)/(H–2)3 se anula para H = 2+2, que ahora es un valor diferente...                      

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