jueves, 25 de febrero de 2016

829. Estrellitas de 5 puntas. RESOLUCIÓN

    Estábamos decorando el aula con estrellitas de 5 puntas porque se acercaba la Navidad. Las estrellitas eran irregulares por no decir chapuceras. Pepe Chapuzas hizo la siguiente observación...
    Profe, mire. Creo que la suma de los ángulos de las 5 puntas es igual para todas las estrellas...

    Comprueba que la observación de Pepe es correcta. ¿Cuánto suman los 5 ángulos?
SOLUCIÓN

    Nina Guindilla había participado entusiasmada en la decoración navideña. La suma de los ángulos la calculó así:

    Mire, profe. En todas las estrella se forma un pentágono convexo. La suma de los ángulos exteriores (suplementarios de los interiores) de cualquier polígono  convexo es 360º, por lo que la suma de los ángulos verdes es 2·360º = 720º. Como la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180º, la suma de los ángulos rojos y verdes es 5·180º = 900º. Por lo tanto la suma de los ángulos rojos es 900º–720º = 180º. 

    Demuestra que la suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono convexo es 360º. ¿Qué ocurre con los polígonos no cóncavos?

RESOLUCIÓN

    Profe, mire. En cada vértice el ángulo interior y el ángulo exterior son suplementarios, esto es, suman 180º. (Si el polígono es cóncavo, algún ángulo interior será mayor que 180º y el "exterior" o "suplementario" será "negativo".) La suma de los N ángulos interiores y exteriores valdrá por lo tanto N·180º. Y como la suma de los ángulos interiores es (N–2)·180º , la de los exteriores será N·180º – (N–2)·180º = 360º.

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