miércoles, 23 de mayo de 2018

1532. Razón y sinrazón... RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas ha retado a la clase:

    Los lados de un triángulo están en progresión geométrica de razón  r . ¿Qué valores puede tomar dicha razón  r ?

    ¡Gana el reto!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla razonó...

    Mire, profe. El lado mayor de un triángulo es menor que la suma de los otros dos...

    Si  r = 1  entonces los tres lados son iguales y el triángulo es equilátero... (Hay gente que opina que la razón de una progresión geométrica no puede ser 1, lo cual es una sinrazón.)

    Si  r > 1 , entonces  a < ar < ar. Y por lo tanto


a + ar > ar2
1 + r > r2
r2 – r – 1 < 0
1 < r < (1+5)/2 = φ

    La razón de la progresión tiene que ser menor que la razón áurea  φ = 1,618...


    Si  r < 1 , entonces  a > ar > ar. Y por lo tanto


a < ar + ar2
1 < r + r2
r2 + r – 1 > 0

 y con la fórmula de la solución de la ecuación cuadrática...

1 > r > (–1+5)/2 = 1/φ

    La razón de la progresión tiene que ser mayor que  1/φ = 0,618...

    Por lo tanto
1/φ < r < φ

    Y si en vez de un triángulo tuviéramos un cuadrilátero con lados en progresión geométrica... ¿Qué valores podría tomar la razón de dicha progresión?
    Y si fuera un polígono de  n  lados... ¿Quá valores podría tomar la razón si  n  tiende a infinito?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso tomó el relevo en el razonamiento...

    Mire, profe. Los lados del cuadrilátero serán a, ar, ar2 y ar3.
    Si r = 1 tenemos un cuadrado...
    Si r > 1, tenemos 
a < ar < ar2 < ar3
a + ar + ar2 > ar3
1 + r + r2 > r3
 r3 – r– r – 1 < 0

y con la fórmula de la solución de la ecuación cúbica...


    Si r < 1, podemos invertir el orden de los lados del cuadrilátero y la razón de la progresión sería entonces 1/r > 1, y por lo anterior

    Aproximadamente...
0,543689... < r < 1,839286...

    En el caso de un polígono de  n  lados...
    Si fuera r < 1, tendríamos
a > ar > ar2 > ar3 > ... > arn
a < ar + ar2 +...+ arn
1 < r + r2 +...+ rn

    Cuando n tiende a infinito...
1 < r / (1–r)
1–r < r
1 < 2r
r > 1/2
    Y si fuera r > 1, invirtiendo el orden...
1/r < 1
a > a/r > a/r2 > a/r3 > ... > a/rn
y por lo anterior
1/r > 1/2
r < 2
    Por tanto
0,5 < r < 2

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