martes, 13 de octubre de 2015

502. SOLUCIÓN de 202. Los onceavos de pi

    Mis alumnos estaban aprendiendo a manejar sus calculadoras. Tenían que realizar cálculos con razones trigonométricas, radianes, etc. La calculadora de Pepe Chapuzas era un poco antigua y en un ejercicio dio el siguiente resultado...
    Pepe me dijo que sospechaba que se habían producido errores de redondeo y que la solución podría ser 0.5 pero que no podía asegurarlo. Dejé que le diera vueltas a la cabeza y debió de darle algunas porque al día siguiente me lo confirmó:
    Profe, 0.5 es la respuesta verdadera. Las calculadoras son tan útiles como chapuceras... Mire este dibujo de un endecágono regular de lado 1... Con los vectores está claro, ¿verdad? Y pasa lo mismo con cualquier polígono regular que tenga un número impar de lados... Si n es un número natural:
    No podía ponerle pegas. Estaba muy claro. ¿O no?

    Explica el dibujo de Pepe.
    Opera sin calculadora:
SOLUCIÓN

    Profesor, lo que ha hecho Pepe es una suma vectorial. El endecágono tiene 1 unidad de lado y por eso los vectores son unitarios (cosθ, senθ). Los ángulos están bien calculados (a partir del ángulo exterior del endecágono 2π/11) y la suma de los cosenos es la suma de las primeras componentes de los vectores que es, evidentemente, 1/2 (medio lado). El razonamiento es válido para cualquier polígono con una cantidad impar de lados...

    Nina Guindilla prosiguió...

    Para el siguiente cálculo dibujo un heptágono regular:

    Por lo que la suma ahora es -1/2.

    Obtén este resultado a partir del anterior utilizando ángulos suplementarios.
    Encuentra resultados parecidos pero con suma de senos...

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