viernes, 30 de octubre de 2015

540. SOLUCIÓN de 240. Polígonos naturales, naturalmente

    Profe, mire. Estos polígonos regulares tienen todos un ángulo interior que mide una cantidad entera (un número natural) de grados sexagesimales. Ayer me puse a averiguar cuántos polígonos regulares (y cuáles) comparten esta peculiaridad... pero se me hizo de noche... Y esta mañana tenía demasiado sueño... ¿Me podría echar una mano?
    Parece que a Pepe Chapuzas se le han pegado las sábanas. Ha llegado tarde a clase... y encima con este problema. Igual piensa que así no le voy a poner un retraso en el parte... Al final, él se quedará con su retraso en el parte y el que resuelva su problema se llevará un positivo. ¡Ánimo!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla partió de la fórmula que nos da el ángulo interior de un polígono regular de N lados: Î =  180º·(N–2):N...

    Profe, voy a despejar el número de lados N...
ηN = 180º·N–360º
(180º–Î)·N = 360º
N = 360º:(180º–Î) = 360º:Ê
    Tengo que buscar divisores naturales Ê de 360º menores que 180º. Ê es el suplementario de Î, (por ejemplo el ángulo exterior o el ángulo central del polígono). Para cada posible valor de Ê tendré una solución, esto es, un polígono regular de N lados cuyo ángulo interior Î mide un número natural de grados sexagesimales... Por lo anterior, se deduce que N tiene que ser un divisor de 360 mayor que 2. Hay 22 en total... 


N

3

4

5

6

8

9

10

12

15

18

20

Î

60º

90º

108º

120º

135º

140º

144º

150º

156º

160º

162º


N

25

30

36

40

45

60

72

90

120

180

360

Î

165º

168º

170º

171º

172º

174º

175º

176º

177º

178º

179º
 
   Prueba que en todo polígono regular, el ángulo central y el ángulo exterior coinciden.

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