miércoles, 28 de octubre de 2015

536. SOLUCIÓN de 236. Una extraña flor

    Pepe Chapuzas estaba dibujando una extraña flor en su cuaderno y le tuve que recordar que no estábamos en clase de Dibujo sino de Matemáticas. Rápidamente me comentó que era un dibujo para ilustrar el reto que iba a plantear a la clase para el fin de semana.
    Alrededor de un polígono irregular convexo de N lados (amarillo) se adosan N triángulos equiláteros (verdes) que determinan entre sí N ángulos (rojos). ¿Cuánto suman estos ángulos?

    Obtén una fórmula que dependa de N.

SOLUCIÓN

    Veamos cómo fue deshojando esta flor Nina Guindilla...

    Profe, mire. Si el polígono tiene N vértices, la suma de sus ángulos internos es (N–2)·180º = N·180º – 360º. Todos estos ángulos internos son convexos porque el polígono es convexo, pero en realidad cada vértice determina dos ángulos: uno convexo (el de dentro) y otro cóncavo (el de fuera). Para cada ángulo convexo Â del polígono, el cóncavo correspondiente medirá 360º – Â, y por tanto, el ángulo rojo correspondiente será 240º – Â. Así, la suma de todos los ángulos rojos valdrá N·240º – N·180º + 360º = N·60º + 360º = (N+6)·60º.

    Prueba que la suma de los ángulos internos de un polígono es (N–2)·180º.

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