1530. Cuadriláteros ortodiagonales. RESOLUCIÓN

    Profe, mire. La fórmula del área del rombo...  A = D·d/2  se puede aplicar a todos los cuadriláteros ortodiagonales, esto es, a aquellos cuyas diagonales "D" y "d" son perpendiculares... (Está claro que los rombos son ortodiagonales...) El siguiente dibujo muestra lo que he dicho:

    Pepe Chapuzas ha abierto una vía de investigación... Buscad información acerca de los cuadriláteros ortodiagonales y ya nos contaréis...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla encontró un precioso teorema relacionado con los cuadriláteros ortodiagonales...

    Mire, profe. Si construimos un cuadrado sobre cada lado de un cuadrilátero ortodiagonal, entonces el área de dos cuadrados opuestos coincide con la de los otros dos... En el dibujo tendríamos  ÁREA AZUL = ÁREA NARANJA .

    Por supuesto, Nina traía una demostración...

    Mire, profe. Nombremos  P ,  Q ,  R  y  S  a los vértices del cuadrilátero y  T  a la intersección de las diagonales. Por el teorema de Pitágoras...

PS² + RQ²= (PT² + TS²) + (RT² + TQ²) =

reordenando y de nuevo con Pitágoras...

= (PT² + TQ²) + (RT² + TS²) = PQ² + RS²

que es lo que había que demostrar...

    Nina nos propone otro tema para investigar:

    Profe, mire. Se dice que un cuadrilátero es equidiagonal si sus diagonales tienen la misma longitud... ¡Buscad información!

RESOLUCIÓN

     Yoyó Peluso encontró un bonito teorema:

    Mire, profe. Este cuadrilátero es equidiagonal porque  |PR| = |QS| . Resulta que el área de un cuadrilátero equidiagonal es igual al producto de sus bimedianas. (Una bimediana de un cuadrilátero es el segmento que une los puntos medios de dos lados opuestos.) Si K, L, M y N son los puntos medios de los lados como se muestra en la figura, entonces...

A = |KM|·|LN|

    Además, las bimedianas de un cuadrilátero equidiagonal son perpendiculares...

    Veamos la demostración:

    Mire, profe. El cuadrilátero KLMN es el paralelogramo de Varignon del cuadrilátero PQRS. Los lados KL y MN son paralelos a la diagonal PR y los lados LM y NK son paralelos a la diagonal QS. Como...

|KL| = |MN| = |PR|/2 = |QS|/2 = |LM| = |NK|

...el paralelogramo KLMN es un rombo y KM y LN son sus diagonales, lo que asegura su perpendicularidad... Y como el área de un cuadrilátero es el doble del área de su paralelogramo de Varignon...

A = 2·|KM|·|LN|/2 = |KM|·|LN|

    Yoyó terminó con el siguiente comentario...

    Mire, profe. Si un cuadrilátero es ortodiagonal y equidiagonal a la vez, entonces su paralelogramo de Varignon es un cuadrado...