Pepe Chapuza había diseñado una torre... La base era un hexágono regular y la cubierta era un paraboloide de revolución. Las seis fachadas verticales acababan en arcos parabólicos. Era más o menos así:
Pepe trajo una maqueta. El lado de la base medía 2 pulgadas y si el centro de la base fuera el punto O(0, 0, 0) entonces la ecuación del paraboloide sería P : z = 8 − x2 − y2 . Pepe no pudo evitar plantear un ejercicio...
¿Cuánto mide el volumen de mi maqueta?
SOLUCIÓN
Nina Guindilla calculó las coordenadas de dos vértices del hexágono...
Profe, mire. Como es una figura simétrica puedo fijarme en un cuarto de la base... La ecuación de la recta que pasa por los puntos calculados es R: y = 2 − x/√3 . Así pues...
La variable "x" está entre 0 y √3 .
Fijado el valor de "x", la variable "y" está entre 0 y 2 − x/√3 .
Y fijados los valores de "x" e "y", la variable "z" está comprendida entre 0 y 8 − x2 − y2 .
El volumen es.
= 4 ʃ0√3ʃ02 − x/√3 (8 − x2 − y2) dy dx =
= 4 ʃ0√3 [ 8y − x2y − y3/3 ]02 − x/√3 dx =
= 4 ʃ0√3 ( 16 − 8x/√3 − 2x2 + x3/√3 − 8/3 + x3/(9√3) ) dx =
= 4 ʃ0√3 ( 40/3 − 8x/√3 − 2x2 + 10x3/(9√3) ) dx =
= 4 [ 40x/3 − 4x2/√3 − 2x3/3 + 5x4/(18√3) ]0√3 =
= 4·40√3/3 − 4·4·3/√3 − 4·2·3√3/3 + 4·5·9/(18√3) =
( 160 − 48 − 24 + 10 ) / √3 =
= 98/√3 = 56,58 pulgadas cúbicas.
¿Y cuánto mediría el área lateral, esto es, las seis fachadas?
RESOLUCIÓN
Lo primero que tuvo que hacer Yoyó Gaviota fue hallar la ecuación del arco parabólico...
Mire, profe. La intersección entre el paraboloide y el plano F : x = √3 nos da
z = 8 − 3 − y2 = 5 − y2
Seis fachadas son doce medias fachadas, por lo tanto el área lateral es
12 ʃ01 (5 − y2) dy = 12 [ 5y − y3/3 ]01 = 60 − 4 = 56 pulgadas cuadradas.
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