1587. Un reloj aleatorio

    Mire, profe. He permutado al azar las horas en la esfera del reloj... ¿Existirá alguna permutación en la cuál todo trío de horas consecutivas sume menos de 20?

    En el reloj de Pepe Chapuzas no se daba esta circunstancia: 12 + 3 + 11 = 26.

    Investiga los relojes aleatorios...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla investigó la cantidad de permutaciones con que habría que probar...

    Mire, profe. Hay 12! = 479001600 (cuatrocientos setenta y nueve millones mil seiscientas) permutaciones posibles. Con una permutación estoy probando realmente veinticuatro ya que puedo empezar por cualquiera de las doce horas (permutaciones circulares) y girar en sentido negativo o positivo (horario o antihorario). Por lo tanto "solo" habría que probar por 12!/24 = 19958400 (diecinueve millones novecientos cincuenta y ocho mil cuatrocientas)...

    Obviamente no íbamos a abordar la cuestión de esta manera...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota razonó por reducción al absurdo...

    Profe, mire. Vamos a llamar a las 12 horas permutadas  H₁ ,  H₂ ,  H₃ , ... ,  H₁₂ .

Supongamos que

H₁ + H₂ + H₃ < 20 ,  H₂ + H₃ + H₄ < 20 , ... ,  H₁₂ + H₁ + H₂ < 20

o sea

H₁ + H₂ + H₃ ≤ 19 ,  H₂ + H₃ + H₄ ≤ 19 , ... ,  H₁₂ + H₁ + H₂ ≤ 19

    Cada hora aparece en tres sumas... Sumando las doce desigualdades tenemos

3·( H₁ + H₂ + H₃ + ... + H₁₂ ) ≤ 12·19 = 228

sin embargo, ordenando las horas tenemos la suma de una progresión aritmética...

3·( H₁ + H₂ + H₃ + ... + H₁₂ ) = 3·(1+2+3+...+12) = 3 · (1+12)·12/2 = 234

contradictoriamente...

    La respuesta es: ¡NO! ¡Suceso imposible! ¡Ningún caso favorable!¡Probabilidad cero!

    Vale, Yoyó. Ya nos hemos enterado...