1576. ¿Serán coprimos?

     Empecé la clase pidiendo a mis alumnos que eligieran dos números naturales al azar... En ese momento me interrumpió Pepe Chapuza...

    Disculpe, profesor. ¿Podría elegir unos naturales tan grandes para los cuales el universo no tuviera espacio suficiente para poder escribirlos?

    La clase esbozaba una irónica sonrisita pero mi respuesta fue tajante: sí... Y seguí con mi discurso... La cuestión era sencilla. ¿Cuál era la probabilidad de que los naturales elegidos fueran coprimos o primos entre sí o primos relativos o (como preferimos decir los profes) de que su máximo común divisor fuera 1...? Pepe se rascó la cabeza... Hizo un dibujo y empezó a divagar:

    Mire, profe. Siempre recordaré la primera vez que me pidieron en un examen el MCM y el MCD de dos números. Yo, tan despistado como de costumbre, contesté 1900 y 1400 pensando que se trataban de números romanos...

    Yo también me acordaba (ahora era yo el que sonreía), pero había que seguir con el tema del día...

    Profe, mire. Está claro que si el número no se puede escribir de lo grande que es, menos se puede descomponer en factores primos... Y salvo que ambos naturales fueran múltiplos de 2 o de 5 (cosa sencilla de averiguar si conocemos la última cifra de cada uno) sería humanamente imposible encontrar divisores primos comunes...

    Le dije a Pepe que no se rindiera. Que se acordara del principio de incertidumbre para objetos diminutos como el electrón. Aunque no se pudieran calcular a la vez su velocidad y su posición en el átomo, sí se podía averiguar la región en la que había una probabilidad dada de encontrarlo... (Por eso ya no se habla de órbitas sino de orbitales.)

    Entiendo lo que quiere decir, profe... Aunque no se pudieran factorizar los enormes naturales que he elegido siempre quedaba el cálculo de probabilidades para abordar el asunto... 

    Sabía que si Pepe estaba convencido la clase respondería. Dejémosla indagar...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla respondió, como siempre. Nina nunca me falla...

    Profe, mire. La probabilidad de que un número sea múltiplo de un primo  p  es 1/p. La probabilidad de que los dos números sean múltiplos de p (sucesos independientes) será  1/p · 1/p = 1/p². La probabilidad de que alguno no sea múltiplo de p (suceso contrario) será 1−1/p². Si recordamos la fórmula de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica tenemos que

1 / (1−1/p²) =  1 + 1/p² + 1/p⁴ + 1/p⁶ + ... = ∑_n (1/p²ⁿ)     (n≥0)

1−1/p² = 1 / ∑_n (1/p²ⁿ)     (n≥0)

    Los dos números elegidos serán coprimos si no tienen ningún factor primo común, es decir, la intersección de los sucesos contrarios de antes, y como estos son independientes, la probabilidad será el producto de probabilidades...

∏_p (1−1/p²)      (p primo)     =

=  ∏_p ( 1 / ∑_n (1/p²ⁿ) )      (p primo; n≥0)     =

=  1 / ∏_p ∑_n (1/p²ⁿ) )      (p primo; n≥0)     =

=  1 / ∑_m (1/m²)      (m>0)

    Este último paso había que detallarlo... y Nina lo detalló...

    

    Mire, profe. Multiplicando potencias de números primos se van obteniendo todos los números naturales. Así que multiplicando inversos de cuadrados de potencias de números primos se van obteniendo todos los inversos de los cuadrados de los números naturales...

    A Nina le faltaba el último cálculo. La clase tenía otro día para pensar...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota terminó los cálculos:

    Mire, profe. La serie de Maclaurin para la función seno es

sen x  =  ∑_n ( sen⁽ⁿ⁾(0) ·  xⁿ/n! )      (n≥0)

(la serie de Maclaurin es la serie de Taylor centrada en x=0).

    Como las derivadas sucesivas de la función seno tienen un comportamiento cíclico ...

... la serie queda ... 

sen x  =  ∑_n ( (−1)^(n−1)/2· xⁿ / n! )      (n>0  impar)

(o también)

sen x  =  ∑_n ( sen (n·π/2) · xⁿ / n! )      (n>0  impar)

... y por tanto

sen x / x  =  ∑_n ( (−1)^n/2· xⁿ / (n+1)! )     (n≥0  par)

(o también)

sen x / x  =  ∑_n ( cos (n·π/2) · xⁿ / (n+1)! )     (n≥0  par) 

    Para x=0 tomamos límites. (Cuando  x  tiende a  0 ,  senx / x  tiende a  1 ) 

    Como las raíces de  sen x / x  son de la forma  ± m·π  (m >0)  y el término independiente de su serie es  1  (es el límite de antes) tendremos

 sen x / x  =  ∏_m ( (x−m·π)/(−m·π) · (x+m·π)/(m·π) )      (m >0)     =

=  ∏_m ( (1−x/m/π) · (1+x/m/π))      (m >0)     =

=  ∏_m (1−x²/m²/π²)      (m >0) 

    Los términos de segundo grado deben coincidir. En la suma, para n = 2 nos queda −x²/3! = −x²/6 y en el producto nos queda  ∑_m (−x²/m²/π²)  (m >0)  así que igualando

−x²/6  =  ∑_m (−x²/m²/π²)      (m >0)

y multiplicando por −π²/x²

π²/6  =  ∑_m (1/m²)      (m >0) 

que es el inverso de la probabilidad buscada. La solución es  6 / π²  =  0,607927

    Solo añadí algunos comentarios:

    La solución era 1/ζ(2) donde la función

 ζ(z) = ∑_m (1/m^z)      (m >0)

(o también)

ζ(z) = ∏_p ( 1 / (1−1/p^z) )      (p primo)

se denomina función zeta de Riemann. Esta función se puede generalizar de forma continua y derivable a todo el plano complejo salvo para z=1. Los ceros de esta función constituyen uno de los grandes problemas matemáticos aún no resueltos. Euler calculó ζ(2) y otras imágenes de ζ.