Profe, mire. La ecuación C: x²+y² = z² corresponde a una superficie cónica doble con vértice en O(0, 0, 0). Si cortamos C con el plano ω: 3y + 4z = 35 obtenemos una elipse E (que por eso se dice que es una sección cónica).
Se pide calcular el volumen encerrado por C y ω, que es un cono oblicuo...
Pues nada... ¡A calcular el volumen pedido por Pepe Chapuza!
SOLUCIÓN
A ver como lo ha calculado Nina Guindilla...
Mire, profe. El volumen de un cono oblicuo es un tercio de la base por la altura. Aquí, la base es el área [E] de la elipse y la altura h es la distancia del vértice O al plano ω.
Como el plano ω es paralelo al eje X, entonces los ápsides A y A' de la elipse están en el plano x=0 por lo que para hallarlos resolvemos el sistema:
x = 0
x² + y² = z²
3y + 4z = 35
Por tanto
y = ± z
Si y = z ; 3z + 4z = 35 ; 7z = 35 ; z = 35/7 = 5 ; y = 5
Si y = −z ; −3z+4z = 35 ; z = 35 ; y = −35
y...
A(0, 5, 5)
A'(0, −35, 35)
El semieje mayor de la elipse mide a = |AA'|/2 = √(40²+30²)/2 = 25.
El centro de la elipse es el punto medio del segmento AA', esto es M(0, −15, 20), así, los extremos del eje menor B y B' están en los planos y=−15 y z=20 por lo que para hallarlos resolvemos el sistema:
y = −15
z = 20
x²+y² = z²
Por tanto
x² = 20² −(−15)² = 175 ; x = ± √175 = ± 5√7
y...
B(5√7, −15, 20)
B'(−5√7, −15, 20)
El semieje menor de la elipse mide b = |BB'|/2 = 5√7 .
Así que el área de la elipse es [E] = abπ = 25·5√7·π = 125π√7 .
La distancia de O a ω es h = 35/√(3²+4²) = 7 .
Por lo tanto el volumen pedido es V = 1/3 · 125π√7 · 7 (aproximadamente 2424,3 u³).
Para rizar el rizo pedí calcular los focos y la excentricidad de la elipse E...
RESOLUCIÓN
A Yoyó Gaviota los rizos se le rizaban solos...
Mire, profe. La semidistancia focal es c = √(a²−b²) = √(25²−175) = √450 = 15√2 .
Para hallar los focos F y F' resolvemos el sistema:
x² + (y+15)² + (z−20)² = 450
x = 0
3y + 4z = 35
Por tanto
y = (35−4z)/3
((35−4z)/3+15)² + (z−20)² = 450
(80−4z)² / 9 + (z−20)² = 450
6400 − 640z + 16z² + 9z² − 360z + 3600 = 4050
25z² − 1000z + 5950 = 0
z² − 40z + 238 = 0
z = 20∓9√2
y = (35−4·(20∓9√2))/3 = −15±12√2
y...
F(0, −15+12√2, 20−9√2)
F'(0, −15−12√2, 20+9√2)
La excentricidad es e = c/a = 15√2 / 25 = 3√2 / 5 (aproximadamente 0,8485).
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