1597. Los teoremas de Guldin

     Mire, profe. Tengo un triángulo con vértices A(1, 1), B(8, 25) y C(17, 13). Si giramos el triángulo alrededor del eje de ordenadas se obtiene un sólido de revolución... ¿Cuanto miden el volumen y el área de este sólido?

    ¡Dos problemas en uno! ¡Típico de Pepe Chapuza...! Ambos se pueden resolver con los teoremas de Guldin... 

SOLUCIÓN

    Profe, mire. Podemos calcular el volumen con el segundo teorema de Guldin...

    La abscisa G del baricentro de la superficie triangular es la media de las abscisas de los vértices: G = (1+8+17)/3 = 26/3.

    Para calcular el área del triángulo tomamos el vector a = BC = (9, −12), su normal n = (12, 9) y el vector b = AC = (16, 12). Así, el área mide S = |b·n| / 2 = (16·12+12·9)/2 = 150. 

    Por el segundo teorema de Guldin, el volumen es  2π·G·S = 2π·26/3·150 = 2600π u³ .

    Nina Guindilla empezó con el volumen... Ahora queda el área del sólido...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota utilizó el primer teorema de Guldin para calcular el área...

    Mire, profe. Del triángulo ahora hay que calcular la abscisa del baricentro del borde (que no es lo mismo que el baricentro de la superficie). 

    Primero hallamos las abscisas P, Q y R de los puntos medios de los lados AB, AC y BC respectivamente.

P = (1+8)/2 = 9/2

Q = (1+17)/2 = 9 

R = (8+17)/2 = 25/2

    Después calculamos las longitudes de los tres lados:

|AB| = √(7²+24²) = √(49+576) = √625 = 25

|AC| = √(16²+12²) = √(256+144) = √400 = 20

|BC| = √(9²+12²) = √(81+144) = √225 = 15

    El perímetro mide L = 25+20+15 = 60. La abscisa H del baricentro del borde se calcula con la media, ponderada con estas longitudes, de P, Q y R;

H = ( 25·9/2 + 20·9 + 15·25/2 ) / 60 = 8

    Por el primer teorema de Guldin, el área del sólido es  2π·H·L = 2π·8·60 = 960π u² .

    Queda para el lector buscar los enunciados de los teoremas de Guldin...