1579. En perfecta armonía

    Pepe Chapuza estaba calculando fracciones egipcias, que son sumas de fracciones unitarias como por ejemplo esta: 1/2 + 1/4 + 1/5 = 19/20. Entonces se me ocurrió preguntar cuánto sumaban las infinitas fracciones unitarias... Pepe no tardó en responder...

    Mire, profe. Hay sumas con infinitos sumandos con resultado finito (son series convergentes) y otras con resultado infinito (son series divergentes). 

    Entre las series convergentes hay series geométricas: la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón menor que 1 cuya fórmula aprendimos hace tiempo. Por ejemplo

con la que se puede ilustrar la paradoja de la dicotomía de Zenón... Con longitudes...

o con áreas...

    Entre las series divergentes está la serie armónica (que se llama así por los armónicos musicales)

    Que la serie armónica sea divergente está demostrado desde hace mucho tiempo y de muchas maneras diferentes. Busca alguna de estas demostraciones...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla trajo la siguiente demostración

    Mire, profe. El área azul (claro y oscuro) sería el valor la serie armónica  ∑_k>0 ( 1/k )  mientras que el área bajo la hipérbola equilátera (azul oscuro) sería  ʃ ₁^∞ ( 1/x ) dx . Por tanto

    ∑_k>0 ( 1/k )  >  ʃ ₁^∞ ( 1/x ) dx  =  ( ln x ) /₁^∞  =  ln ∞ − ln 1  =  ∞

    (Recordamos que las series infinitas y las integrales impropias son límites...)

    Nina, además, encontró algo interesante...

    Profe, mire. El área azul claro sería  ∑_k>0 (1/k)  −  ʃ ₁^∞ ( 1/x ) dx  =  ∞ − ∞  que constituye una indeterminación..., pero puede realizarse de otra manera:

∑_k>0 ( 1/k − ʃ _k^k+1 ( 1/x ) dx )  =  

=  ∑_k>0 ( 1/k − ( ln x ) /_k^k+1 )  =

=  ∑_k>0 ( 1/k − ln (k+1) + ln k )  =

=  ∑_k>0 ( 1/k − ln (1+1/k) )

o de forma equivalente

∑_k>0 ( ʃ _k^k+1 ( 1/E(x) − 1/x ) dx )  =

=  ʃ ₁^∞ ( 1/E(x) − 1/x ) dx 

que es una serie convergente cuyo valor  γ  (gamma) se denomina constante de Euler...

γ  =  −Π'(0) =  0,5772...

    Debió aclarar Nina que la función E indica la parte entera y la función Π generaliza los números factoriales:  Π(x) = ʃ ₀^∞ ( t^x/e^t ) dt ;  Π(n) = n! .

    Dejemos aún el tema abierto...

RESOLUCIÓN

    Como el tema estaba abierto, entró Yoyó Gaviota...

    Profe, mire. La divergencia de la serie armónica se puede demostrar más fácilmente...

1 + 1/2 + (1/3+1/4) + (1/5+1/6+1/7+1/8) + ...  >

>  1 + 1/2 + (1/4+1/4) + (1/8+1/8+1/8+1/8) + ...  =

=  1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ...  =  ∞.

    Sin embargo, la serie 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + 1/5 − 1/6 + 1/7 − 1/8 + ... = ∑_k>0 ( (−1)^k−1/ k ), llamada serie armónica alternada, converge a ln2. Como 1/(1+x) = ∑_k>0 ( (−1)^k−1 x^k−1 ), podemos integrar, ln (1+x) = ∑_k>0 ( (−1)^k−1 x^k / k ) ya que ln 1 = 0. Para x = 1 se tiene el resultado.