jueves, 19 de mayo de 2022

1636. El quinto postulado

     Estaba hablando de Euclides, el padre de la geometría, y de su obra Los Elementos. Decía que Euclides partía de cinco postulados (o axiomas) y a partir de ellos construía la geometría utilizando la lógica. Y comentaba que el quinto postulado, el de las paralelas, ha traído de cabeza a muchos matemáticos de muchos siglos... Unos porque quisieron "demostrarlo" y otros porque quisieron "negarlo"... Dejé que mis alumnos buscaran información... Pepe Chapuza encontró esto:

    Mire, profe. El quinto postulado afirmaba que en un plano, dados una recta r y un punto P que no fuera de r, había una única recta s que pasara por P y que no cortara a r.
    Esto era evidente: la paralela. ¿Merecía ser un postulado? El caso es que los que quisieron demostrarlo "fracasaron" y los que lo negaron "triunfaron"... Se construyeron geometrías distintas (no euclídeas) con un quinto postulado diferente. Si decimos que por P pasan más de una paralela a r tenemos la geometría hiperbólica y si decimos que por P no pasa ninguna paralela a r tenemos la geometría elíptica...

    Había que olvidarse de la evidencia... ¿Quién puede aportar a la clase más información?

SOLUCIÓN

    Mire, profe. La geometría hiperbólica también se denomina lobachevskiana y fue desarrollada por Gauss, Bolyai y Lobachevsky; la geometría elíptica también se denomina riemanniana y fue desarrollada por Cayley, Klein y Riemann.

    Nina Guindilla también nos reveló que en las geometrías no euclídeas no se cumple el teorema de Pitágoras... ¿Alguna otra cosa so se cumple en las geometrías no euclídeas?


RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota comento que muchas cosas son diferentes en las geometrías no euclídeas, por ejemplo, la suma de los ángulos de un triángulo...

    Mire, profe. En la geometría elíptica la suma es mayor que 180º: parece que los triángulos están hinchados; en la geometría hiperbólica la suma es menor que 180º: parece que los triángulos están pinchados... Jajaja...

miércoles, 18 de mayo de 2022

1635. La dimensión fractal

     Profe, mire. La dimensión está relacionada con los exponentes... Me explico... Un cuadrado es de dimensión 2 y un cubo es de dimensión 3. Por eso en estas potencias los exponentes se leen así: al cuadrado y al cubo.

    Visto de otra manera, las dimensiones son logaritmos: en un cuadrado D = log9 = 2 y en un cubo D = log27 = 3. En un segmento sería D = log3 = 1 y en un punto D = log1 = 0.

    Mire cómo se obtiene el conjunto de Cantor... Dividimos un segmento en tres tercios, borramos el tercio central y quedan dos segmentitos... Dividimos ambos segmentos en tres tercios, borramos sendos tercios centrales y quedan cuatro segmentos... Y repetimos el proceso infinitas veces...




    ¿Se da cuenta? La dimensión del conjunto de Cantor sería D = log2 = 0,6309.

    ¡Pepe Chapuza había calculado una dimensión fractal! ¿Quién busca otro fractal y calcula su dimensión?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla nos mostró el fractal de Vicsek:

    Profe, mire. Dividimos un cuadrado en nueve novenos, suprimimos cuatro y quedan cinco cuadrados. Y repetimos el proceso indefinidamente. Por cierto, se puede suprimir los cuatro cuadrados de dos maneras diferentes para obtener el fractal de Vicsek:


    En cualquier caso, su dimensión fractal es D = log5 = 1,4650.

    ¿Algún fractal más?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota explicó la esponja de Menger. 

    Mire, profe. Si en un cubo de Rubik suprimimos 7 cubitos (el cubito interior y los cubitos centrales de las 6 caras) y repetimos el proceso con los 20 cubitos que quedan, y así indefinidamente, conseguimos un fractal llamado esponja de Menger. Su dimensión fractal es D = log20 = 2,7268.
    Profe, mire. No es fácil visualizar una esponja de Menger, pero sus caras (bases y lados) son alfombras de Sierpiński: dividimos un cuadrado en nueve cuadraditos, suprimimos el central y repetimos el proceso con los que quedan indefinidamente...


    La dimensión fractal de la alfombra de Sierpiński es D = log8 = 1,8928.

jueves, 12 de mayo de 2022

1634. De cuarto grado

     Cuando entré en clase me encontré en la pizarra dos polinomios de cuarto grado:
 
P(x) = 2x4+7x3+x2−9x+C
Q(x) = 2x4+2x3−9x2−4x+C
 
    El autor, evidentemente, era Pepe Chapuza...

    Profe, mire. Hay que encontrar las raíces de estos dos polinomios... Las únicas pistas que doy es que dos de esas raíces son comunes y que la constante C no es 0.

    Dejé de lado lo que tenía programado porque el problema de Pepe era más interesante...

SOLUCIÓN

    No tardó Nina Guindilla en encontrar las raíces comunes...

    Profe, mire. Las raíces comunes de P(x) y Q(x) son también raíces de
 
P(x)−Q(x) = 5x3+10x25x = 5x(x2+2x−1)

    Como el término independiente C≠0, entonces x=0 no es una raíz ni de P(x) ni de Q(x), y las raíces comunes serán x = −1 ± √8.

    Ahora había que hallar las raíces no comunes...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota ya lo tenía fácil...

    Profe, mire. El polinomio P(x) es divisible entre x2+2x−1, así que divido... 


    Así tenemos que C=3 y que sus raíces no comunes son x = −3/4 ± √33/4.

    Yoyó también calculó las raíces de Q(x) que faltaban... ¿Quiere calcularlas también el lector?

1633. Un piano averiado

     Pepe chapuzas estaba canturreando una melodía que no reconocíamos. Preguntado acerca de la musiquilla respondió que tenía un piano averiado...

    Mire, profe. Las teclas negras no funcionan y al tocar las teclas blancas (de izquierda a derecha) pasa esto: la primera tecla blanca es un do y suena, la siguiente no suena, la siguiente sí, las dos siguientes no, la siguiente sí, las tres siguientes no, la siguiente sí, las cuatro siguientes no, y así sucesivamente... ¿Cuáles de las siete notas musicales no suenan nunca en mi piano?
 
    Un compañero dijo que eso podía depender del número de teclas del piano, porque en un piano con muchas teclas sonarían más notas que en uno con pocas... Entonces Pepe precisó..

    Mire, profe. Mi piano tiene infinitas teclas...

    ¡A tocar el piano!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla no necesitaba tocar ningún piano ni canturrear ninguna melodía...

    Profe, mire. Cada ocho teclas blancas suena la misma nota (en distinta octava), así que tarde o temprano se repite la misma secuencia de notas..., solo tengo que descubrir el ciclo...
    Helo aquí: do, mi, la, mi, do, si y si; las notas que jamás suenan son re, fa y sol.

    Era un problema de congruencias modulares... Así que propuse un problema similar pero con un reloj averiado. Se puso en marcha a la 1 y dio la campanada, a la siguiente hora no dio campanadas, a la siguiente sí, a las dos siguientes no, a la siguiente sí, y así como las teclas del piano. ¿A qué horas no sonarían nunca las campanadas?
    ¡Dadle cuerda al reloj!

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota no necesitaba escuchar las campanadas...

    Mire, profe. Veamos la secuencia cíclica de horas que suenan...

1, 3, 6, 10, 3, 9, 4, 12, 9, 7, 6, 6, 7, 9, 12, 4, 9, 3, 10, 6, 3, 1, 12 y 12


    Jamás escucharemos las campanadas de las dos, de las cinco, de las ocho ni de las once...

miércoles, 4 de mayo de 2022

1632. Integración compleja

     Profe, mire. Hemos aprendido que la integral indefinida es el conjunto de primitivas de una función... (F es una primitiva de f si f es la derivada de F). Y entre las primitivas inmediatas me llamó la atención la de la función f(x) = xn (la potencia n-ésima): la fórmula de la derivada de la potencia n-ésima (f '(x) = n xn−1nos permitiría obtener la de la primitiva si no fuera por una célebre excepción...


    Sin embargo, profe, para la excepción n = −1 hay primitivas que no están contempladas aquí... Por ejemplo:
    ¡Menuda chapuza! Está claro que F '(x) = 1/x pero en F(x) no hay una constante C sino dos diferentes: una a cada lado de la discontinuidad... Y eso les ocurre a otras funciones discontinuas...
    Había llegado peleón a clase Pepe Chapuza... Entonces comenté a toda la clase que si en los números reales no se podía ir de x = −1 a x = +1 sin pasar por x = 0 (donde se hallaba la discontinuidad) con los números complejos se podía dar un rodeo... aunque anduviéramos sobre números imaginarios...
    Y que incluso se podía dar una vuelta alrededor de la discontinuidad y regresar al punto de partida... Así que propuse investigar la integral de la potencia n-ésima xn desde x = +1 hasta volver a x = +1 alrededor del círculo de centro x = 0 y radio r = 1 del plano complejo en sentido antihorario,.. Así nos asomábamos un poco a la integración compleja...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla empezó poniendo un poco de orden...
    Profe, mire. En el plano complejo se acostumbra a usar la letra z para la variable independiente... Los puntos de la circunferencia unidad en el plano complejo, recorridos en sentido positivo, son de la forma  z = eit con 0 ≤ t ≤ 2π, puesto que  eit = cos t + i sen t ; así que la integral se puede resolver mediante un cambio de variable... Se escribe así:

C zn dz = ʃ 0 eitn ieit dt = ʃ 0 ieit(n+1) dt = (e2πi(n+1)−1) / (n+1) = (1−1)/(n+1) = 0

    Nos hemos topado de nuevo con la excepción... Tiene que ser n ≠ −1. ¿Qué pasa en el caso de que n = −1?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota dio el asombroso e importantísimo resultado...

    Mire, profe. Si n = −1,  ʃ 0 ieit(n+1) dt ʃ 0 i dt = 2πi


martes, 3 de mayo de 2022

1631. Sorpresas bajo la campana...

     Ya sabíamos que la campana de Gauss representaba la función de densidad de una distribución normal N(μ, σ) y que un área bajo la campana nos proporciona la probabilidad correspondiente a un conjunto de valores de la variable. Por ejemplo, P(μ<x<μ+σ) = 0,34134, que se puede calcular con la tabla de la normal estándar. (Están en x=μ el máximo y en x=μ±σ los puntos de inflexión de la campana.) A Pepe Chapuza se le ocurrió lo siguiente...

    Profe, mire. Hay muchas funciones que tienen una gráfica acampanada. Por ejemplo:
    ¿Cuánto mide el área bajo esta campana entre el máximo y el punto de inflexión de la derecha?

    ¡Tocad la campana! Os espera una sorpresa...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla empezó ubicando el máximo y los puntos de inflexión de f... 

    Profe, mire. En el máximo se anula la primera derivada y en los puntos de inflexión se anula la segunda derivada...
f (x) = (1+x2)−1
f ' (x) = −2x (1+x2)−2
f " (x) = −2 (1+x2)−2 + 8x2 (1+x2)−3

    Obviamente, f ' se anula en x= 0. Y f " se anula si...

−2 (1+x2+ 8x2 = 0
6x2 −2 = 0
x = ±√3/3

    El área buscada es la del trapecio mixtilíneo...

ʃ 0√3/3 f(x) dx = arctg(√3/3) − arctg(0) = π/6

    ¡Qué sorpresa! ¡Bajo esta campana se encuentra π! 

    Adelanté que otra sorpresa aguardaba bajo la campana 1/√(1+x2) para 0<x<1/2. ¡A tocar la campana!
RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota comentó que era una integral inmediata si se había visto antes la derivada de la función argsenh (argumento del seno hiperbólico)... 

ʃ 01/2 g(x) dx = argsenh(1/2) − argsenh(0) = ln(1/2+√(1+1/4)) = ln(1/2+√5/2) = ln(φ)

   ¡Vaya sorpresa, profe! ¡Bajo esta campana está la razón áurea φ! ¡Es una campana de oro!

    Terminó Yoyó recordando la recíproca del seno hiperbólico...  Se deja al lector las recíprocas de las demás funciones hiperbólicas...

    Mire, profe. Si...
y = argsenh(x)
x = senh(y) = (eye−y)/2 = (e2y−1)/(2ey)
e2y−2xey1 = 0
e= x+√(1+x2)
y = ln(x+√(1+x2))

jueves, 28 de abril de 2022

1630. ¡Más matemáticas!

     Muchas veces me preguntan para qué sirve tal o cual cosa que vemos en clase de Matemáticas... Y suelo contestar con las aplicaciones en la vida real o en las otras ciencias; pero siempre hago hincapíé en que las matemáticas sirven para hacer más matemáticas. Así que propuse tareas de repaso de cursos anteriores preguntando qué más matemáticas se podían hacer con los resultados. Una de esas tareas fue factorizar el polinomio

x5 − x4  7x3 + 11x2  8x + 12

    Pepe Chapuza no se lo pensó dos veces:

    Mire, profe. La factorización es  (x+3) (x−2)2 (x2+1) . Y se puede utilizar para descomponer una fracción algebraica en suma de fracciones simples...

    Pues eso... ¡Más matemáticas!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla escribió la siguiente fracción algebraica:

    Profe, mire. Gracias a la factorización de Pepe sabemos que esta fracción algebraica se puede descomponer de la forma

A/(x+3) + B/(x−2) + C/(x−2)2 + (Dx+E)/(x2+1)
de donde
11x4 − 18x3 − 35x2 − 46x + 50  =
=  A(x−2)2(x2+1) + B (x+3)(x−2)(x2+1) + C(x+3)(x2+1) + (Dx+E)(x+3)(x−2)2

    Si  x = −3 , 891+486−315+138+50 = 250A; A = 1250 / 250 = 5.
    Si  x = 2 , 176144−140−92+50 = 25C; C = −150 / 25 = −6.
    Si  x = i , 11+18i+35−46i+50 (Di+E)(13−9i); 96 = 9D+13E, −28 = 13D−9E; D = 2, E = 6.
    Si  x = 0 , 50 = 4A−6B+3C+12E = 20−6B−18+72; B = (−24)/(−6) = 4.
 
    Profe, mire. Esta descomposición se puede utilizar para integrar la fracción algebraica...

    Pues eso... ¡Más matemáticas!

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota integró:

    Mire profe.
 (11x418x3−35x246x+50) / (x5−x4 7x3+11x28x+12) dx =
( 5/(x+3) + 4/(x−2)  6/(x−2)2 + 2x/(x2+1) + 6/(x2+1) ) dx =
= 5 ln |x+3| + 4 ln |x−2| + 6/(x−2) + ln (x2+1) + 6 arctg x + C

miércoles, 27 de abril de 2022

1629. Integrales cíclicas

    Había propuesto integrar la función  f(x) = ln |x| / x  y Pepe Chapuza lo hizo por partes...

    Mire, profe. La derivada de  ln |x|  es  1/x  , así,  F(x) = ln² |x| − F(x)  y  F(x) = ln² |x| / 2 .

    Era un caso de integración cíclica: al integrar por partes se obtiene la misma primitiva. Aunque esta integral se podía haber hecho mediante un cambio de variable, ¿verdad?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla llamó  w = ln |x| , entonces  dw = dx / x .

    Profe, mire.  f(x) dx =  w dw = w²/2 + C = ln² |x| / 2 + C .

    No era un ejemplo demasiado complicado así que propuse esta otra integración cíclica...
 
  P(x) ∈ ∫ eˣ cos(x/3) dx
 
RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota derivó la función exponencial e integró la trigonométrica, aunque podría haberlo hecho al revés: en definitiva, el comportamiento es cíclico...

    Profe, mire. Si indico la derivación con una flecha, tenemos
 
eˣ  →  eˣ  →  eˣ 
cos(x/3)  ←  3 sen(x/3)  ←  −9 cos(x/3) 
por tanto
P(x) = eˣ 3 sen(x/3) + eˣ 9 cos(x/3)  9 P(x)
10 P(x) = eˣ 3 sen(x/3) + eˣ 9 cos(x/3)
P(x) = eˣ/10 ( 3 sen(x/3) + 9 cos(x/3) )

    Siempre es bueno comprobar..., así que voy a derivar la primitiva...

P'(x) = eˣ/10 ( sen(x/3) + 9 cos(x/3) + cos(x/3) − 3 sen(x/3) ) = eˣ cos(x/3)

    Yoyó ha tenido que integrar por partes dos veces para conseguir cerrar el ciclo...

viernes, 22 de abril de 2022

1628. No tan inmediata...

     En la pizarra propuse la siguiente integral indefinida:
    Pepe Chapuza la calculó así...

    Profe, mire. El integrando es un polinomio, así que es una integral inmediata... Solo tengo que desarrollar el binomio de Newton para lo cual echo mano del triángulo de Pascal...

56  x (x⁶ + 6x⁵ + 15x⁴ + 20x³ + 15x² + 6x + 1) dx =
= 56  (x⁷ + 6x⁶ + 15x⁵ + 20x⁴ + 15x³ + 6x² + x) dx =
= 56 (x⁸/8 + 6x⁷/7 + 15x⁶/6 + 20x⁵/5 + 15x⁴/4 + 6x³/3 + x²/2) + C =
= 7x⁸ + 48x⁷+ 140x⁶ + 224x⁵ + 210x⁴ + 112x³ + 28x² + C

    No era tan inmediata... ¿Algún atajo?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla hizo la integral por partes:

    Profe, mire. Si  u = 56 x ,  du = 56 dx ; y si  dv = (x+1)⁶ dx ,  v = (x+1)⁷/7 . Entonces

56 x (x+51)⁷/7 −  56 (x+1)⁷/7 dx  =  8x (x+1)⁷ − (x+1)⁸ + K

    ¿Más atajos?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota realizó un cambio de variable:

    Profe, mire. Si  t = x+1 dt = dx . Entonces

 56 (t−1) t⁶ dt =  (56 t⁷ − 56 t⁶) dt = 7t⁸ − 8t⁷ + K = 7(x+1)⁸ − 8(x+1)⁷ + K

    Queda para el lector comprobar que las primitivas encontradas por Pepe, Nina y Yoyó difieren como mucho en una constante, esto es, son polinomios que apenas difieren, si acaso, en el término independiente...

jueves, 21 de abril de 2022

1627. Un ángulo curvilíneo

     Había escrito en la pizarra las funciones  f(x) = x³  y  g(x) = 2x²  y pedí calcular los ángulos que formaban las curvas en los puntos de intersección. Aclaré que un ángulo curvilíneo era el ángulo determinado por las rectas tangentes a las curvas. Y que la existencia de esas rectas estaba asegurada por la derivabilidad de los monomios... Pepe Chapuza, que conocía muy bien los monomios, dibujó un bosquejo de las gráficas... y calculó esos puntos comunes...

    Mire, profe. La ecuación  x³ = 2x²  es equivalente a  x² (x−2) = 0 . Por lo que los puntos comunes son O(0, 0) y P(2, 8). Las derivadas nos proporcionan las pendientes de las rectas tangentes...

f '(x) = 3x²     f '(0) = 0     f '(2) = 12
g'(x) = 4x     g'(0) = 0     g'(2) = 8

    En O el ángulo es de puesto que las dos rectas tangentes son horizontales. Para calcular el ángulo en P tenemos los vectores directores F = (1, 12) G = (1, 8) de las rectas tangentes... y aplicamos la fórmula...

arccos ((F·G)/(F·G)) = arccos (97/√145/√65) = arccos 0,99915... = 2º 21' 41"

    ¿Quién calcula el ángulo sin recurrir a los vectores directores?

SOLUCIÓN

    Nina guindilla trabajó directamente con las pendientes.

    Mire, profe. Puedo utilizar la fórmula del arcotangente...

arctg (((f '(2)g'(2))/(1+f '(2)·g'(2))) = arctg (4/97) = arctg 0,041237... = 2º 21' 41"

    ¿Alguna otra posibilidad?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota lo hizo de otra manera.

    Mire, profe. La fórmula de Nina es la de la tangente del ángulo diferencia...

arctg (f '(2)) − arctg (g'(2)) = arctg 12 − arctg 8 = 85º 14' 11" − 82º 52' 30" = 2º 21' 41"

miércoles, 6 de abril de 2022

1626. El vaso "perfecto"

     Queríamos diseñar un vaso cilíndrico cuyas proporciones permitieran "una rentabilidad inmejorable y un rendimiento insuperable", esto es..., la mayor capacidad posible con la menor superficie posible, es decir..., ¿qué razón h/r entre la altura y el radio del cilindro serían las idóneas para maximizar el volumen V y minimizar el área A a la vez? (Las medidas h, r, V y A son del interior del vaso.) Pepe Chapuzas saltó del pupitre...

    ¿En qué quedamos? ¿Maximizamos el volumen o minimizamos el área? 

    ¿Qué pensáis los demás? ¿Diseñamos el vaso "perfecto"?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla comentó que del cilindro en realidad no nos daban ni el área ni el volumen así que podíamos tomar una cosa como función enlace y la otra como función objetivo. De hecho tampoco nos pedían ni la altura ni el radio sino la relación entre ambos...

    Profe, mire. Obviando la ambigüedad del enunciado...

A = πr² + 2πrh
V = πr²h
h = V/π/r²
A = .πr² + 2V/r
dA/dr = 2πr − 2V/r² = 0
2πr³ = 2V
r = ∛(V/π)
h = V/π/∛(V/π)² = ∛(V/π)
h/r = 1
d²A/dr² = 2π + 4V/r³ > 0

    El vaso será muy "perfecto", profe, pero demasiado cómodo no parece...

    Dejando aparte su opinión, Nina ha minimizado A a partir de V. ¿Quién lo hace al revés?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota lo hizo al revés... Dada A maximizó V...

    Mire, profe.
h = A/2/π/r − r/2
V = πr²(A/2/π/r − r/2) = Ar/2 − πr³/2
dV/dr = A/2 − 3πr²/2 = 0
A/2 = 3πr²/2
r = √(A/3/π)
h = A/2/π/√(A/3/π) − √(A/3/π)/2 = 3√(A/3/π)/2− √(A/3/π)/2 = √(A/3/π)
h/r = 1
d²V/dr² = − 3πr < 0

    Evidentemente salía lo mismo: el radio y la altura tenían que ser iguales... Comenté en clase que este cambio de perspectiva entre enlace y objetivo se puede efectuar en muchos problemas de optimización...

jueves, 31 de marzo de 2022

1625. Belleza integral...

     Pepe Chapuza sabía que el tema de integrales daba miedo, así que se propuso asustar:

    Profe, mire que integral...


    ¡Ánimo, valientes! No os enfrentáis al miedo sino a la belleza...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla no tardó en coger al toro por los cuernos...


    Profe, mire. He tenido que acordarme de que

exx0/0! + x1/1! + x2/2! + x3/3! + x4/4! + x5/5! + ···
e = 1 + 1 + 1/2 + 1/3! + 1/4! + 1/5! + ···
    ¡Bravo!
    No se fue Nina sin plantear otra belleza integral...

    Profe, mire. Si E es la función "parte entera" calcule   ʃ01 E(10x) dx .

RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Se trata de la integral definida de una función escalonada. En el dibujo se comprueba que el área que buscamos (la azul) es (el rectángulo menos la amarilla):

9 − log2 − log3 − log4 − log5 − log6 − log7 − log8 − log9 =
= 9 − (log2+log3+log4+log5+log6+log7+log8+log9) =
= 9 − log(2·3·4·5·6·7·8·9) =
= 9 − log 9!
cuyo valor aproximado es 3,44.

martes, 29 de marzo de 2022

1624. Un círculo mágico.

    Pepe Chapuza nos mostró el siguiente círculo mágico:
    Profe, mire. Aparecen los números del 1 al 32 y en cada circunferencia y en cada diámetro los números suman siempre 132 (66 en cada semicircunferencia y en cada radio)... 
    Mire, profe. Se puede poner esta misma disposición en una esfera (sería una esfera mágica), distribuyendo los números en paralelos y meridianos...
    En realidad, eran modificaciones de cuadrados mágicos. ¿Puedes traer a clase alguna figura mágica?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla trajo una estrella mágica de siete puntas y dos vueltas:
    Mire, profe. Se sabe que no hay estrellas mágicas de cinco puntas (con los números del 1 al 10). Y la estrella mágica de seis puntas es archiconocida... Así que he aquí mi estrella mágica favorita...

    ¿Alguna aportación más?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota se presentó con dos estrellas mágicas más: la de ocho puntas y la de nueve, ambas de dos vueltas...
    Mire, profe. En una estrella mágica de N puntas aparecen los números del 1 al 2N. La suma de todos estos números es N·(2N+1), así que la suma en cada lado es 2·(2N+1) = 4N+2. Esto se puede comprobar con las estrellas de 7, 8 y 9 puntas que hemos visto:

4·7 + 2 = 30
4·8 + 2 = 34
4·9 + 2 = 38

    Sigue buscando la magia de las matemáticas...