685. El baricentro del trapecio. RESOLUCIÓN

    Habíamos visto que el baricentro (centro de gravedad) de un triángulo estaba en la intersección de sus medianas, y que el baricentro de un paralelogramo estaba en la intersección de sus diagonales, pero... ¿Dónde se hallaba el centro de gravedad de un trapecio?

    Pepe Chapuzas dio la siguiente respuesta:

    Mire, profe. Trapecio es una palabra griega que significa mesa. Los lados paralelos se llaman bases y los otros dos patas... Si adosamos a cada pata un trapecio igual al dado pero invertido obtenemos un trapecio mayor. La intersección de las diagonales de este trapecio grandote nos proporciona el baricentro del trapecio inicial...

    Esto habrá que justificarlo, ¿verdad?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla calculó primero la posición del baricentro  G  de un trapecio...
    Primero dedujo que  G  estaba en la recta que pasa por los puntos medios de las bases:

    Mire, profe. Si prolongamos las patas del trapecio hasta que se corten, conseguimos dos triángulos en posición de Tales. Los baricentros  G'  y  G"  de los triángulos grande y pequeño estarán en su mediana común (que pasará por tanto por los puntos medios de las bases del trapecio). Como el trapecio se obtiene sustrayendo el triángulo pequeño al triángulo grande, entonces los tres baricentros  G , G'  y  G"  estarán alineados porque las coordenadas de  G'  son medias ponderadas (los pesos son las áreas) de las coordenadas de  G  y  G" .

    Después calculó la altura a la que se encontraba  G  con lo que su ubicación quedaba determinada:

    Mire, profe. Si trazo una paralela a una pata puedo dividir el trapecio en un paralelogramo más un triángulo. Las coordenadas del baricentro  G  del trapecio serán las medias ponderadas de las coordenadas del baricentro  G'  del paralelogramo y del baricentro  G"  del triángulo, siendo los pesos las áreas. Si  A ,  A'  y  A"  son las áreas del trapecio, del paralelogramo y del triángulo, si  B'  y  B"  son las bases mayor y menor del trapecio, y si  H  es la altura del trapecio, tendremos que la altura de  G'  será  H/2 , la altura de  G"  será  H/3  y la altura de  G  será...

Y  =  (A' · H/2 + A" · H/3) / A  =
=  ( H · B" · H / 2 + H · (B'–B") / 2 · H / 3 ) / ( H · (B'+B") / 2 )  =
=  H · (3B" + B' – B") / (B'+B") / 3  =
=  H · (B' + 2B") / (3B' + 3B")

   A Nina no le dio tiempo para terminar porque tuvo que marcharse... Nos quedamos con las ganas...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso continuó la tarea de Nina... Primero calculó la altura de la intersección de las diagonales del trapecio grandote:

    Mire, profe. Las diagonales del triángulo grandote determinan con las bases del trapecio dos triángulos semejantes, por tanto...

 Y / (B' + 2B")  =  (H – Y) / (2B' + B")  =  H / (3B' + 3B")

Y  =  H · (B' + 2B") / (3B' + 3B")

    Solo faltaba comprobar que la intersección de las diagonales del trapecio grandote caía en la recta que une los puntos medios del trapecio inicial...

    

    Mire, profe. Los puntos medios de las bases del trapecio grandote son los mismos que los de las del trapecio inicial. La recta que pasa por ellos es la mediana común de los triángulos semejantes (en posición de Tales) que se obtienen al prolongar las patas del trapecio grandote. Si  P  y  S  son las patas del trapecio y  Q  y  R  sus prolongaciones, tendremos que

P·R = Q·S

    La mediana común y las diagonales del trapecio grandote son cevianas del triángulo grande (y del pequeño) que cumplen el teorema de Ceva ya que tenemos obviamente que

P·R·(B'+B"/2) = Q·S·(B'+B"/2)

    Por lo tanto son cevianas concurrentes... en G.