Investígalo y calcula la excentricidad de dicha elipse.
SOLUCIÓN
Nina Guindilla empezó con las ecuaciones de la trayectorias...
Mire, profe. Si la velocidad inicial es "V" y el ángulo inicial es "θ "; si "g" es la aceleración gravitatoria y "t" es el tiempo trascurrido desde el disparo; y si "x" es la abscisa del proyectil y "y" es su ordenada (altura); entonces tenemos...
x = V · cos θ · t (movimiento uniforme de la abscisa)
y = V · sen θ · t – g · t 2 / 2 (movimiento uniformemente acelerado de la ordenada)
y = x · tg θ – g · x 2 / (2V 2 · cos 2θ ) (parábola balística)
cos (2θ ) = 1 – 2 · sen 2θ = 1 – 4 g · Y / V 2
...y aplicando la fórmula fundamental de la trigonometría
Y si llamamos b = V 2 / (4g) llegamos a la ecuación...
Eliminiando t = x / (V · cosθ ) obtenemos
El alcance máximo horizontal se encuentra en y = 0 , ( x > 0 ).
La altura máxima se alcanza en el punto de coordenadas...
x · tg θ – g · x 2 / (2V 2 · cos 2θ ) = 0
tg θ – g · x / (2V 2 · cos 2θ ) = 0
x = tg θ · 2V 2 · cos 2θ / g = 2V 2 · sen θ · cos θ / g
tg θ – g · x / (2V 2 · cos 2θ ) = 0
x = tg θ · 2V 2 · cos 2θ / g = 2V 2 · sen θ · cos θ / g
La altura máxima se alcanza en el punto de coordenadas...
X = V 2 · sen θ · cos θ / g (la mitad del alcance máximo horizontal)
Y = V 2 · sen θ · cos θ / g · tg θ – g · (V 2 · sen θ · cos θ / g) 2 / (2V 2 · cos 2θ ) =
= V 2 · sen 2 θ / g – V 2 · sen 2 θ / g =
Y = V 2 · sen θ · cos θ / g · tg θ – g · (V 2 · sen θ · cos θ / g) 2 / (2V 2 · cos 2θ ) =
= V 2 · sen 2 θ / g – V 2 · sen 2 θ / g =
= V 2 · sen 2θ / (2g)
Teniendo en cuenta que...
sen (2θ ) = 2 · sen θ · cos θ = 2 g · X / V 2cos (2θ ) = 1 – 2 · sen 2θ = 1 – 4 g · Y / V 2
...y aplicando la fórmula fundamental de la trigonometría
1 = sen 2 (2θ ) + cos 2 (2θ ) = (2 g · X / V 2)2 + (1 – 4 g · Y / V 2)2
X 2 / (2b)2 + (Y – b)2 / b2 = 1
...que es la ecuación de una elipse centrada en (0, b) con semieje mayor 2b , semieje menor b y semidistancia focal...
c = √(4b2 – b2) = √3 · b
...y por lo tanto su excentricidad es...
e = c / (2b) = √3/2
Nina Guindilla añadió que en el espacio de tres dimensiones no sería una elipse sino un elipsoide de revolución. Además, comentó que todas las trayectorias (arcos de parábolas) estarían "dentro" de un paraboloide de revolución llamado paraboloide de seguridad (porque los proyectiles no pueden traspasarlo y estaríamos a salvo).
Investiga el asunto...
RESOLUCIÓN
Yoyó Peluso hizo un dibujo y razonó en dos dimensiones: en vez de paraboloide tendría una parábola, más "manejable", que sería la generatriz del paraboloide de revolución...
Mire, profe. La parábola de seguridad tendría su vértice en (0, 2b) porque la máxima altura se alcanza con θ = 90º , y sus raíces en (4b , 0) y (–4b , 0) porque el máximo alcance horizontal se alcanza con θ = 45º y θ = 135º . Por lo tanto la ecuación de la parábola de seguridad sería...
y = – x2 / (8b) + 2b
RESOLUCIÓN
Yoyó Peluso hizo un dibujo y razonó en dos dimensiones: en vez de paraboloide tendría una parábola, más "manejable", que sería la generatriz del paraboloide de revolución...
Mire, profe. La parábola de seguridad tendría su vértice en (0, 2b) porque la máxima altura se alcanza con θ = 90º , y sus raíces en (4b , 0) y (–4b , 0) porque el máximo alcance horizontal se alcanza con θ = 45º y θ = 135º . Por lo tanto la ecuación de la parábola de seguridad sería...
y = – x2 / (8b) + 2b
....y el foco de la parábola se encontraría en el
punto (0, –b) .
Yoyó hizo los cálculos demasiado rápido... pero aún le faltaba demostrar que la
curva roja era realmente una parábola... ¡Esa parábola precisamente!
Profe, mire. Podemos escribir la
ecuación de las trayectorias balísticas así...
y = x · tg θ – x 2 / (8b ·
cos 2θ )
y = x · tg θ – x 2 / (8b) ·
(1 + tg 2θ )
...la cual, llamando w = tg θ , quedaría:
y = x · w – x 2 /
(8b) · (1 + w 2 ) (*)
Para calcular la envolvente de todas las
trayectorias solo hay que derivar respecto de w ...
0 = x – x 2 /
(4b) · w
...o sea:
w = 4b / x
Y sustituyendo w por 4b / x en (*) tendríamos...
y = 4b – x 2 /
(8b) · (1 + 16b 2 / x 2)
y = 4b – x 2 /
(8b) – 2b
y = – x2 / (8b) + 2b
Yoyó ha
utilizado técnicas "elevadas", pero tratándose de balística...
permitiremos los "cañonazos" y la "buena puntería"...
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