lunes, 26 de noviembre de 2018

1541. El tetraedro. RESOLUCIÓN

    La primera pregunta del examen desconcertó a más de uno, pero Pepe Chapuzas salió airoso... Se pedía comprobar que los tres puntos A(5,–2,–3), B(–1,4,–3) y C(–1,–2,3) eran vértices de un triángulo equilátero. Eso era fácil. Pero después se pedía calcular un punto D(x,y,z) para que A, B, C y D fueran vértices de un tetraedro regular... Lo primero que escribió Pepe fue:

    Hay dos soluciones. Una a cada lado del triángulo equilátero.



    Resuelve el ejercicio del examen.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla comprobó que el triángulo era efectivamente equilátero...

    Mire, profe. Los vectores  AB = (–6,6,0) ,  BC = (0,–6,6)  y  CA = (6,0,–6)  tienen el mismo módulo  (36+36) = 72  por lo que los tres lados del triángulo ABC son iguales...

    El punto D equidista de A, B y C por lo que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones


dist(A,D) = dist(B,D)
dist(A,D) = dist(C,D)
dist(A,D) = 72



(x–5)2 + (y+2)2 + (z+3)2 = (x+1)2 + (y–4)2 + (z+3)2 
(x–5)2 + (y+2)2 + (z+3)2 = (x+1)2 + (y+2)2 + (z–3)2 
(x–5)2 + (y+2)2 + (z+3)2 = 72

    Las dos primeras ecuaciones...

x2 – 10x + 25 + y2 + 4y + 4 = x2 + 2x + 1 + y2 – 8y + 16
x2 – 10x + 25 + z2 + 6z + 9 = x2 + 2x + 1 + z2 – 6z + 9

12y = 12x – 12               y = x – 1
12z 12x – 24               z = x – 2

y sustituyendo en la tercera ecuación...    


(x–5)2 + (x+1)2 + (x+1)2 = 72
x2 – 10x + 25 + x2 + 2x + 1 + x2 + 2x + 1= 72
3x2 – 6x – 45 = 0
x2 – 2x – 15 = 0
x = 5
x' = –3

    Las dos soluciones son  D(5,4,3)  y  D'(–3,–4,–5) .

    Bravo por Nina. Calcula ahora el volumen del tetraedro...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso lo tenía ya facilísimo...

    Profe, mire. El volumen del tetraedro es el un 1/6 del valor absoluto del producto mixto de los vectores AB, BC y CD. 

    El volumen era de 72 u2.