Mire, profe. Puedo interpretar un poliedro como un grafo: los vértices se convierten en nodos y las aristas en arcos. Así, el grafo de un tetraedro tendría este aspecto:
Se me ocurre calcular los autovalores de la matriz de adyacencia del grafo... (Aunque no sé para qué puede servir...)
¡Solo a Pepe Chapuza se le ocurren estas cosas...! Se ve que Pepe andaba algo "desorientado": se le olvidó decir que era un grafo "no orientado" ;-)
Mire, profe. Sea la matriz...
Por ende, λ=3 es un autovalor simple y λ=−1 es un autovalor triple. (Recuerde que x=−λ.)
El reto estaba servido... ¿Qué autovalores tendrán los demás polígonos regulares?
SOLUCIÓN
Nina Guindilla siguió por la senda iniciada por Pepe...
Profe, mire el grafo del octaedro. (La similitud con los diagramas de Schlegel es innegable.)
Empecemos con el determinante como Pepe...
Por ende, λ=4 es un autovalor simple, λ=0 es un autovalor triple y λ=−2 es un autovalor doble.
Intentadlo con el cubo (con una matriz de dimensión 8x8). Dejaremos para el lector intrépido que lo intente con el icosaedro (matriz 12x12) y el dodecaedro (matriz 20x20)...
RESOLUCIÓN
Yoyó Gaviota fue a por el cubo.
Profe, mire el grafo del cubo:
Por ende, λ=3 y λ=−3 son autovalores simples y λ=1 y λ=−1 son autovalores triples.
Empiezo como Pepe y Nina...
Profe, mire. Si se cambia la numeración de los nodos cambia el orden de filas y columnas de la matriz pero no varían los autovalores...
Dejaremos para el lector intrépido que lo intente con el icosaedro (matriz 12x12) y el dodecaedro (matriz 20x20)... o con otros poliedros...
(En el icosaedro, λ=5 es un autovalor simple, λ=√5 y λ=−√5 son autovalores triples y λ=−1 es un autovalor quíntuple.)
(En el dodecaedro, λ=3 es un autovalor simple, λ=√5 y λ=−√5 son autovalores triples, λ=0 y λ=−2 son autovalores cuádruples y λ=1 es un autovalor quíntuple.)
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